高斯公式通量和散度-ppt课件

1、一、高斯公式一、高斯公式二、简单运用二、简单运用三、物理意义三、物理意义通量与散度通量与散度四、小结四、小结一、高斯公式一、高斯公式设空间闭区域设空间闭区域 由分片光滑的闭曲面围成。函数由分片光滑的闭曲面围成。函数 ),(zyxP、),(zyxQ、),(zyxR在在 上具有一阶连上具有一阶连 续偏导数续偏导数, , 则有公式则有公式 RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)( dSRQPdvzRyQxP)coscoscos()( 或或这里这里 是是 的整个边界曲面的的整个边界曲面的外侧外侧，,cos ,cos cos是是 上点上点),(zyx处的法向量的方向余弦处的法向量的方向余弦.

2、. 高斯公式高斯公式Gauss 公式的本质公式的本质表达了空间闭区域上的三重积分与其边境曲表达了空间闭区域上的三重积分与其边境曲面上的曲面积分之间的关系面上的曲面积分之间的关系. . RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(dSRQP)coscoscos( 二、简单的运用二、简单的运用例例 1 1 计计算算曲曲面面积积分分 xdydzzydxdyyx)()( 解解, 0,)(yxRQxzyP 其中为柱面其中为柱面122 yx及及 平面平面3 , 0 zz所围成的空所围成的空 间闭区域间闭区域 的整个边界曲面的整个边界曲面 的外侧的外侧. . , 0, 0, zRyQzyxPxzy11

3、o3 dxdydzzy)( dzdrdrzr )sin(.29 ( (利用柱面坐标得利用柱面坐标得) )解解, 0,)(yxRQxzyP , 0, 0, zRyQzyxPxdydzzydxdyyx)()( dzzrrdrd )sin(301020 xzy11o3dvzRyQxP)( 运用运用Guass公式时应留意公式时应留意:1 1. .RQP , ,是是对对什什么么变变量量求求偏偏导导数数; ; 2.2.是否满足高斯公式的条件是否满足高斯公式的条件; ; 3.3.是取闭曲面的外侧是取闭曲面的外侧. . 例例 2 2 利利用用高高斯斯公公式式计计算算曲曲面面积积分分 dszyx)coscosc

4、os(222 , , 其其中中为为锥锥面面 222zyx 介介于于平平面面 0 z及及 )0( hhz 之之间间的的部部分分的的 下下侧侧, ,cos ,cos cos 是是 在在 ),(zyx 处处的的法法向向量量的的 方方向向余余弦弦. . 解解xyzoh 曲面曲面 不是封锁曲面，不是封锁曲面，不能直接用高斯公式。不能直接用高斯公式。)( :2221hyxhz 补充补充h h 1 解解曲面曲面 不是封锁曲面，不是封锁曲面，不能直接用高斯公式。不能直接用高斯公式。)( :2221hyxhz 补充补充xyzoh h h 1 取上侧，取上侧， 1 . 1 围围成成空空间间区区域域. 1的的外外侧

5、侧恰恰好好是是空空间间区区域域 , 上使用高斯公式上使用高斯公式在在 ,2xP ,2yQ ,2zR ).(2zyxzRyQxP , 上使用高斯公式上使用高斯公式在在 ,2xP ,2yQ ,2zR ).(2zyxzRyQxP 1)coscoscos(222dSzyx dvzyx)(2xyzoh h h 1 xyD .,020 :hzrhr， dzrzrrdrdhrh )sincos(2020 .214h .,sin,coszzryrx 1)coscoscos(222dSzyx dvzyx)(2 .,020 :hzrhr， dzrzrrdrdhrh )sincos(2020 .214h .,sin

6、,coszzryrx .:1hz . 0 , 0 yxzz. 0cos , 0cos , 0cos 1)coscoscos(222dSzyx 12dSz.:1hz . 0 , 0 yxzz. 0cos , 0cos , 0cos 1)coscoscos(222dSzyx 12dSz xyDdxdyh2.4 h 故所求积分为故所求积分为 dSzyx)coscoscos(222 421h 4 h .214 h 三、物理意义三、物理意义-通量与散度通量与散度设有向量场设有向量场 ),( ),( ),(),(kzyxRjzyxQizyxPzyxA 沿沿场场中中某某一一有有向向曲曲面面的的第第二二类类曲

7、曲面面积积分分为为 1. 1. 通量的定义通量的定义: : RdxdyQdzdxPdydzdSnASdA 0称为向量场称为向量场 ),( zyxA 向正侧穿过曲面的向正侧穿过曲面的通量通量. . 设设有有向向量量场场),(zyxA, ,在在场场内内作作包包围围点点M的的闭闭曲曲 面面 , , 包包围围的的区区域域为为V, ,记记体体积积为为V. .若若当当V收收缩缩 成成点点M时时，极极限限 VSdAMV lim 存在存在, , 则则称称此此极极限限值值为为A在在点点M处处的的散散度度, , 记记为为Adiv. . 2. 2. 散度的定义散度的定义: :散度在直角坐标系下的方式散度在直角坐标系下的方式 dSvdvzRyQxPn)( dSvVdvzRyQxPVn1)(1 dSvVzRyQxPn1)(),( dSvVzRyQxPnM1lim积分中值定理积分中值定理, ,两边取极限两边取极限, ,.divzRyQxPA 高斯公式可写成高斯公式可写成. dSAdvAdivn)coscoscos (0 RQPnAAn 的的边边界界曲曲面面，是是空空间间闭闭区区域域其其中中 . 的的外外侧侧法法向向量量上上的的投投影影在在曲曲面面是是向向量