导数与最值解题方法指导

1、精品文档当求解函数的最值问题时，所用的一般都是配方法、二次函数 图象、反函数法、换元法、判别式法或基本不等式等常用的方法，但 有些问题仅用上述初等方法不能解决或解答起来较繁琐，学了导数 后，这种困惑大多可迎刃而解。本文以几道典型题目为例，和大家共 同探讨用导数求最值的方法步骤以及需要注意的问题。一、求函数在特定区间上的最值例1:求函数f(x)= X2-4X+6在区间1 , 5内的最大值和最小值。题目分析：函数在特定区间上的最值一般有两种情况：(1)如果函数f (x)在a, b上单调增加(减少)，则f (a)是f(x)在a, b上的最小值(最大值)，f (b)是f (x)在a, b上的最大值(最

2、小值)。(2)如果函数在区间a, b内有极值，将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值.正确解答：f'(x)=2x-4,令 f'(x)=0,即 2x-4=0 ,得 x=2。x1(1, 2)2(2, 5)5y'负0正y3减2增11故函数f(x)在区间1 , 5内有极小值为2,最大值为11,最小值为2。总结升华：求f(x)在闭区间a,b上的最值的步骤： 求f(x)在区间(a ,b)内的极值(极大值或极小值)(2)求出区间端点处的函数值；(3)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大 值，最小的一个最

3、小值。趁热打铁：求函数y = x3 + 3 x29x在上4,4 的最大值 和最小值。题目解析：(1)由 f '(x)=3x2 +6x9,得驻点为x1 二 3, x2=1驻点处的函数值为f (-3)=-27, f (1)= -4(2)区间端点4,4 处的函数值为f (4)=20 , f (4)=76(3)比较以上各函数值，可知函数在4, 4 上的最大值为f (4)=76,最小值为 f ( 3)=27 。警铃长鸣：1、看清楚题目中给的条件到底是开区间还是闭区间，若 是闭区间，则将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一 个为最大值，最小的一个最小值；若是开区间，则不需要和

4、端点值比 较。2、求函数极值时，导数值为0的点是该点为极值点的必要条件，但 不是充分条件。二、实际应用中的最值问题例2:把长度为16cm的线段分成两段，各围成一个正方形，它们的面积之和的最小值为多少？题目分析：建立面积和正方形的周长的函数关系，再求最小值.正确解答：设一段长为xcm,则另一段长（16x）cm.MS A6-X.2- 324 25ti / 。5;+ (-)= -2x4 ZC(O < x4416名.S' = 4-2,令 S' =0 有 x=8.列表:x（。，8）8(8, 16)S，一0十 当x = 8时,S有最小值8cm2.总结升华：这是解实际应用题的一般方法.先构造函数关系，再求 满足条件的解，极值或最值。趁热打铁：如图所示，在二次函数f（x）=4x-x 2的图象与x轴所围成图形中有个内接矩形ABCD求这个矩形面积的最大值。题目解析：设点B的坐标为（x,0）且0<x<2, f（x）=4x-x 2图象的对称轴为x=2, 点C的坐标为（4-x,0）, . |BC|=4-2x, |BA|=f(x)=4x-x2。矩形面积为 y=(4-2x)(4x-x 2)=16x-12x 2+2x3y' =16-24x+6x2=2(3x 2-12x+8) 2 r-2 lx = 2 ± 3x = 2 3令 y' =