2018-2019学年北京市东城区高一下学期期末考试数学试题

1、北京市东城区2018-2019学年下学期高一期末教学统一检测数学试卷祝考试顺利 注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿 纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上 新答案；不准使用铅笔和涂改

2、液。不按以上要求作答无效。4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中， 选出符合题目要求的一项.1 .直线y & 1的倾斜角为（）A. 30oB. 60oC. 120oD. 150o【答案】B【解析】【分析】根据直线方程

3、求得直线的斜率，由此求得直线倾斜角【详解】依题意可知直线的斜率为J3,故倾斜角为60°,故选B.【点睛】本小题主要考查直线斜率与倾斜角，属于基础题2 .某校有高一学生400人，高二学生380人，高三学生220人，现教育局督导组欲用分层抽样的方法抽取50名学生进行问卷调查，则下列判断正确的是（）A.高一学生被抽到的可能性最大B.高二学生被抽到的可能性最大C.高三学生被抽到的可能性最大D.每位学生被抽到的可能性相等【答案】D【解析】【分析】根据分层抽样是等可能的选出正确答案.【详解】由于分层抽样是等可能的，所以每位学生被抽到的可能性相等，故选D.【点睛】本小题主要考查随机抽样的公平性，考

4、查分层抽样的知识，属于基础题.3 .如图，正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为1,那么四棱锥Di ABCD的体积是（）1A.一41B.-31C.2D. 1【答案】B【解析】【分析】根据锥体体积公式，求得四棱锥的体积.【详解】根据正方体的几何性质可知D1D平面ABCD ,所以1 _1 /1,VD1 ABCD二SABCDDD1二 1 11二，故选B.333【点睛】本小题主要考查四棱锥体积的计算，属于基础题4.已知向量 a (1,1), b = (2,x),若 ar r r 一b与4b 2a平行，则实数x的值为（）A. 2B. 0C. 1D. 2【解析】分析】,.-r r . r先求得a b与

5、4br 2a,然后根据两个向量平行的条件列方程，解方程求得x的值.r【详解】依题意 arrr r r3,x 1 与 4b 2a6,4x 2 ,由于 a b 与 4br 一， 一2a平行，所以 3 4x 26x 10, 12x 6 6x 6 0,解得 x 2,故选 D.【点睛】本小题线性运算，考查两个向量平行的条件,属于基础题.1A.一85C.87D.8先求得全是正面的这个概率求得至少出现一次反面的概率【详解】基本事所以至少出现一次反面的概率为1 -818,全是正面的的事件数为1,故全是正面的概率为 -8【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，考查正难则反的思想，属于基础题6.在 ABC 中，若

6、 acosB bcosA,则4 ABC为（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰或直角三角形D.等腰直角三角形利用正弦定理化简已知条件，得到tanA tanB,由此得到 A B ,进而判断出正确选项【详解】由正弦定理得 sin AcosB sinBcosA,所以tanA tanB ,所以A B ,故三角形为等腰三角形，故选 A.考查同角三角函数的基本关系式,【点睛】本小题主要考查利用正弦定理判断三角形的形状, 属于基础题.7 .若直线3x y a 0过圆x2 y2 2x 4y 0的圆心，则a的值为（）A. 5B. 3C. 1D. 1【答案】A【解析】【分析】求得圆的圆心，代入直线方程，由此求得

7、a的值.5,【详解】依题意可知，圆的圆心为1,2，代入直线方程得3 2 a 0,解得a故选A.【点睛】本小题主要考查由圆的一般方程求圆心坐标，考查方程的思想，属于基础题.r , - uuurc,则向量BD可以表不为（）uuu r uur r uur8 .如图，向量 AB a，AC b，CDrrrB. abcrrrC. bacr r r D. b a c【答案】C【解析】【分析】uuur利用平面向量加法和减法的运算，求得BD的线性表示uuiruuurunrumruuiruur uurrrr【详解】依题意bdadabACCDAB ,即BDbac，故选C.【点睛】本小题主要考查平面向量加法和减法的运

8、算，属于基础题9.设m, n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A.若 ，m , n ，则 m nB.若 / ,m/ ,n/ ,则 m/nC.若m/ ,n/ ，则 mnD.若m ,m/n,n/ ,则【答案】D【解析】【分析】根据线线、线面和面面平行和垂直有关定理，对选项逐一分析，由此得出正确选项【详解】对于A选项，两个平面垂直，一个平面内的直线不一定垂直另一个平面内的直线，故A选项错误.对于B选项，两个平面平行，一个平面内的直线和另一个平面内的直线不一定平行，故B选项错误.对于C选项，两条直线都跟同一个平面平行，它们可能相交、异面或者平行，故C选项错误.对于D选项，根据

9、平行的传递性以及面面垂直的判定定理可知，D选项命题正确.综上所述，本小题选 D.【点睛】本小题主要考查空间线线、线面和面面平行和垂直有关定理的运用，考查逻辑推理能力，属于基础题.哥德巴赫猜想是10.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.A.“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30 7 23 .在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是1121B. 一141 C. 151D. 一18【解析】分析：先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于 30的取法，最后根据古典概型概率公式求概率.详解：不超过30的素数有2, 3, 5, 7, 11

10、, 13, 17, 19, 23, 29,共10个，随机选取两2个不同的数，共有 C10 45种方法，因为7+23=11+19=13+17=30,所以随机选取两个不3 1同的数，其和等于 30的有3种万法，故概率为一二一，选C.45 15点睛：古典概型中基本事件数的探求方法：（1）列举法.（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.（3）列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.（4）排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题

11、，每小题4分，共20分.11.在 ABC 中，a 点，b 1, c 1,则 A .【答案】120o【解析】【分析】利用余弦定理求得 cosA的值，进而求得 A的大小. 1 1 31o .一【详解】由余弦定理得 cosA -,由于A 0,180 ,故A 120°.2 1 12【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.12.某住宅小区有居民2万户，从中随机抽取 200户，调查是否安装宽带，调查结果如下表所示：宽带租户业主已安装6042未安装3662则该小区已安装宽带的居民估计有 户.【答案】10200【解析】【分析】计算出抽样中已安装宽带的用户比例，乘以

12、总人数，求得小区已安装宽带的居民数.60 4251【详解】抽样中已安装宽带的用户比例为60 42 上1 ,故小区已安装宽带的居民有2001005120000 10200 户.100【点睛】本小题主要考查用样本估计总体，考查频率的计算，属于基础题13.已知点A(2,5)B(3,2),则向量um AB=，与向量Aur同向的单位向量为先求得uuu AB uuu AB(1).(1, 7).噂unnAB，通过uunAB押町求得ABuuuAB同方向的单位向量.uuu题意AB 1, 7故AB同方向的单位向量为1,_7_1 4927.210 ,10【点睛】本小题主要考查向量减法的坐标运算，考查向量同方向的单位

13、向量的求法14 .已知直线|：x J3y 6 0与圆x2 y2 12交于A,B两点，过A,B分别作|的垂线与x轴交于C,D两点，则|CD| .【答案】4【解析】【分析】联立直线l的方程和圆的方程，求得A,B两点的坐标，根据点斜式求得直线 AC, BD的方程, 进而求得C, D两点的坐标，由此求得|CD|的长.【详解】由X2月 6 0解得A 0,273,B 3,J3,直线l的斜率为叵,所以直线x2 y2 123AC, BD的斜率为73,所以lAc：y 2於V3xBD：y展V3 x 3 ,令y 0,得C 2,0 ,D 2,0 ,所以 |CD 4.本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查相互垂直的两条

14、直线斜率的关系，考查直线的点斜式方程，属于中档题.15 .下列五个正方体图形中，是正方体的一条对角线，点 M, N, P分别为其所在棱的中点,求能得出I，面MNP的图形的序号（写出所有符合要求的图形序号 ）【答案】【解析】为了得到本题答案，必须对 5个图形逐一进行判别.对于给定的正方体，l位置固定，截面MNP变动，l与面MNP是否垂直，可从正、反两方面进行判断. 在MN、NP、MP三条线中， 若有一条不垂直1,则可断定l与面MNP不垂直；若有两条与l都垂直，则可断定1，面MNP； 若有l的垂面/面MNP,也可得 吐面MNP.解法1作正方体ABCD AiBiCiDi如附图，与题设图形对比讨论.在

15、附图中，三个截面BAiD、 EFGHKRF口 CBDi都是对角线l （即ACi）的垂面.对比图，由MN / BAl, MP/ BD,知面MNP/面BAD,故得 吐面MNP.对比图，由MN与面CBiDi相交，而过交点且与l垂直的直线都应在面 CBDl内，所以MN 不垂直于l,从而l不垂直于面MNP.对比图，由MP与面BA lD相交，知l不垂直于 MN,故l不垂直于面 MNP.对比图，由MN / BD, MP/ BA.知面 MNP/面BA D,故 U 面MNP.对比图，面MNP与面EFGHKRg合，故 U面MNP.综合得本题的答案为.解法2如果记正方体对角线l所在的对角截面为GL .各图可讨论如下

16、：在图中，MN,NP在平面S上的射影为同一直线，且与 l垂直，故l,面MNP.事实上，还可这样考虑：l在上底面的射影是 MP的垂线，故lMP； l在左侧面的射影是 MN的垂线， 故lMN,从而U面MNP.在图中，由MP,面a ,可证明MN在平面厘上的射影不是l的垂线，故l不垂直于 MN.从 而l不垂直于面MNP.在图中，点M在S上的射影是l的中点，点P在仪上的射影是上底面的内点，知 MP在 修上的射影不是l的垂线，得l不垂直于面 MNP.在图中，平面 3垂直平分线段 MN,故 HMN,又l在左侧面的射影（即侧面正方形的一条对角线）与MP垂直，从而lMP,故吐面 MNP.在图中，点N在平面5上的

17、射影是对角线l的中点，点M、P在平面"上的射影分别是上、下底面对角线的 4分点，三个射影同在一条直线上，且l与这一直线垂直.从而1，面MNP.至此，得 为本题答案.三、解答题共5小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.r r r r r r r r16 .已知向量 a，b 满足：|a| 2, |b|=l, (a b) (2 a b) 8 .,r , r , ,一(I)求a与b的夹角 ；r r(n)求 |a b|.【答案】(i )=60。( n ) 77【解析】【分析】r r r r 利用向量数量积的运算， 化简(a b)(2a b) 8 ,得到cos ,由此求得 的大

18、小.(II)r r 9r r先利用向量的数量积运算，求得 |a b|2的值，由此求得|a b|的值.r r r r【详解】解：(i)因为(a b)(2a b) 8,所以 7+2cos 8 .,1所以cos -.因为 00 V 0<180o,所以=60。.rr 2 rr 2r2 r rr2(n)因为 |ab|(ab)a2a bb，r r由已知 |a | 2 , |b|=1 ,r r 9所以 |a b |2 4 2 1 7 .r r 所以 |a b| 、,7 .计算，考查向量模的求法，属于【点睛】本小题主要考查向量数量积运算，考查向量夹角 基础题.17.在4ABC 中，若 bsinA asi

19、n(B ). 3(I )求角B的大小；(n)若a 2, b J3,求 ABC的面积.【答案】(i ) B ( n )正 32【解析】【分析】(I)利用正弦定理化简已知条件，由此求得 B的大小.(II)利用余弦定理求得 c的值，再根据三角形面积公式求得三角形面积.【详解】解：(1)在 ABC中，由正弦定理可知，bsin A asinB,所以 asinB asin(B 一). 3所以B B .3即B 3(11)在4 ABC中，由余弦定理可知，,222b a c 2accosB .所以 3 4 c2 2c.所以c 1.所以 ABC的面积s acsin B . 22【点睛】本小题主要考查正弦定理和余弦

20、定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.18.2018年北京市进行人口抽样调查，随机抽取了某区居民13289人，记录他们的年龄， 将数据分成10组:0,10) , 10,20) , 20,30),90,100,并整理得到如下频率分布直方图:器军组距（I）从该区中随机抽取一人，估计其年龄不小于60的概率；（n）估计该区居民年龄的中位数（精确到0.1）；（出）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该区居民的平均年龄【答案】（I） 0.235 （n） 43.6 （出）44【解析】【分析】（I）计算60,100之间的频率和，由此估计出年龄不小于60的概率.（II）从左往右，计算出频率

21、之和为0.5的位置，由此估计中中位数.（III）用各组中点值乘以频率人后相加，求 得居民平均年龄的估计值.【详解】解：（D设从该区中随机抽取一人，估计其年龄不小于60为事件A ,P（A） 0.125 0.065 0.04 0.005 0.235所以该区中随机抽取一人，估计其年龄不小于60的概率为0.235.（n）年龄在0,40）的累计频率为 0.075 0.035 0.16 0.18 0.45,0.05 0.014 3.6,所以估计中位数 40 3.6 43.6.（出）平均年龄为5 0.075 15 0.035 25 0.16 35 0.18 45 0.14 55 0.175 65 0.125

22、 75 0.065 85 0.04 ,44【点睛】本小题主要考查频率分布直方图的识别与应用，考查频率分布直方图估计中位数和平均数，考查运算求解能力，属于中档题 .19.如图，在四棱锥 P ABCD中，底面ABCD为正方形，PA 平面ABCD , PA AB ,AC与BD交于点O , E , F分别为AB , PC的中点.BC(I)求证：平面 PAD 平面PCD ；(n)求证：EF /平面PAD ；(出)求证：AF 平面POD .【答案】(I)见解析(n)见解析(出)见解析【解析】【分析】(I)通过证明CD 平面PAD来证得平面PAD 平面PCD. (II)取PD中点G ,连接 FG,AG ,通

23、过证明四边形 AEFG为平行四边形，证得 EF/AG ,由此证得 EF /平面 PAD. (III)通过证明OD 平面PAC证彳导OD AF ,通过计算证明证得 AF PO , 由此证得AF 平面POD .【详解】证明：(I)因为PA 平面ABCD,所以PA CD.因为 CD AD , AD PA=A ,所以CD 平面PAD因为CD 平面PCD所以平面PAD 平面PCD .(n)取PD中点G ,连结FG, AG ,因为F为PC的中点2因为E为AB的中点，底面 ABCD为正方形,1所以 AE/CD ,且 AE= 1CD .所以 FG/AE ,且 FG=AE .所以四边形AEFG为平行四边形.所以

24、 EF/AG .因为EF 平面PAD且AG 平面PAD ,所以EF平面PAD .(出)在正方形 ABCD中，OD AC,因为PA平面ABCD ,所以PA OD.因为AC PA A,所以OD 平面PAC .所以OD AF在 PAC中，设PO交AF于H .因为PA AC ,且O,F分别为AC,PC的中点，所以AF FC.所以 FAC FCA.设PA 1 ,由已知PA AB ,所以 AC 、, 2 .所以 tan APO tan ACP -2 . 2所以 APOACP.所以 APOACP,且 AOP为公共角，所以 APOA HAO.所以 AHO 90o.所以AF PO.因为 PO OD=O ,所以AF 平面POD.【点睛】本小题主要考查线面垂直、面面垂直的证明，考查线面平行的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20.已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，与直线3x 4y 7 。相切，且被y轴截得的弦长为2J3,圆C的面积小于13.(1)求圆C的标准方程：(2)设过点M (0,3)的直线l与圆C交