最新河南省天一大联考高一上学期第一次阶段性测试数学试题(解析版)

1、2019-2020 学年河南省天一大联考高一上学期第一次阶段性测试数学试题、单选题1已知集合 A 1,0,1,2,3,4, B x|x 3，则 A B (A 1,0,1,2B 1,0,1C0,1,2Dx|x 3答案】 A解析】 根据集合的交运算，结合已知，进行求解详解】 由集合的交运算，可得A B 1,0,1,2 .故选： A.点睛】 本题考查集合的交运算，属基础题x2已知 f(x)a log2 x,x，若 f f( 2)01 ，则实数 a 的值为()A 2B2C0D1【答案】D【解析】由已知条件，利用分段函数性质，先求出1 f ( 2) ，1 再算出 f ，即可44求出 a .【详解】由题意

2、得2x ,x 0,已知函数f (x)a log2 x,x0,所以 f (2) 1，则 f f ( 2)f 1 a 21得 a 1 ，故选： D.本题考查分段函数的概念，还涉及函数的性质和函数值的求法，同时考查运算能力 .13函数 f(x) 2 x 的定义域为( ) lgxA, 2B 0,2C 0,1 U 1,2D 1,2【答案】 C【解析】 由函数解析式可知，根据对数真数大于0，分母不为 0 和二次根式的被开方数大于等于 0，即可求出定义域 .【详解】x0由题意可得 lgx 0 ，化简得 0 x 2且 x 1，即 x 0,1 1,2 .2x0故选： C.【点睛】本题考查求具体函数的定义域的方法

3、， 注意函数的定义域是函数各个部分的定义域的交集.4若 y f ( x)的定义域为 R，值域为 1,2 ，则 y f(x 1) 1的值域为( )A 2,3B 0,1C 1,2D 1,1【答案】 A【解析】 根据函数的平移规则，结合原函数的值域求解 .【详解】因为 y f(x 1) 1是将原函数 f x ，向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位得到，但是左右平移不改变值域，故 y f (x 1) 1的值域为 2,3 .故选： A.【点睛】本题考查函数图像的上下平移和左右平移对函数值域的影响 .x15函数 f(x) ex log2 1的零点所在的区间是()x第 9 页 共 16 页A0,14

4、B1,14,21C 12,1D (1,2)【答案】 C则零点就在【解析】 将选项中区间左右端点代入函数解析式， 若发现两端函数值异 该区间 .详解】1因为 f e 2 0 ，而 f 1 e 1 02则 f 1 f 1 0 ，根据零点存在性定理可知21函数零点所在区间为： ,1 .2故选： C.【点睛】 本题考查函数零点所在区间的确定，判断依据是零点存在性定理 .0.26设 a 30.2, b log0.3 0.4,c log4 0.2，则 a,b, c的大小关系是(A a b cB c b aC c a bD b c a【答案】 B【解析】 将a,b,c与 1和 0进行比较，从而得出结果 .【

5、详解】a 30.2 30 1， b log 0.3 0.4 log 0.3 0.3 1?且 b 0，c log 4 0.2 log 41 0 ，故 a b c ， 故选： B.【点睛】即可区分 .则 a 的取值范围本题考查指数式和对数式大小的比较，一般地，先与 1 和 0 进行比较，7设 m R，幂函数 f(x) (2m 2)xm1，且 f(a 1) f(2 a)，为(AB12,2C ( 1,2D2, )【答案】 B【解析】 由 f x 是幂函数，求得参数的值，再求解不等式即可【详解】因为 f(x) (2m 2)xm 1是幂函数，1故 2m 2 1 ，解得 m ，2则 f x x ，其在 0,

6、 为单调增函数，则不等式 f (a 1) f (2 a) 等价于 a1012 a 0 ，解得 a ,2 .2a12a故选： B.【点睛】本题考查幂函数解析式的求解，以及利用函数单调性求解不等式8函数 f(x)110|x 1|的图象大致为(解析】 根据函数的定义域，以及单调性，结合选项进行选择详解】1因为 f(x) 10|x 1| 定义域为 R，故排除 C、D选项；又 10x 1 1，故 f x 0,1 ，故排除 B.故选： A.【点睛】 本题考查由函数的解析式，选择函数的图像 . 一般地，要从定义域、值域、单调性、特 殊点出发进行选择 .29已知函数 f （x） log2 x2 2x a 的最

7、小值为 3，则 a （ ） A6B 7C 8D9【答案】 D【解析】 判断函数的单调性，找到最小值点对应的自变量，代值计算即可 . 【详解】若 x2 2x a 0 在 R上恒成立， 则根据复合函数的单调性可知，f x 区间,1 单调递减，则1, 单调递增，故 f x minf 1 log2 a 13，解得 a 9 ，此时满足 x2 2x 90 在 R 上恒成立，若 x2 2xa 0 在 R上不恒成立，则该函数没有最值综上所述：a 9.故选： D.【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性的判断，遵循同增异减的原则 .10常见的三阶魔方约有 4.3 1019 种不同的状态，将这个数记为 A ，二阶魔

8、方有 A560 38种不同的状态，将这个数记为 B ，则下列各数与 最接近的是（ ）（参 B考数据： log310 2.1, 4.3 0.6 34 ）3 560A0.6 3 28B0.6 1028C0.6 328D 0.6 332【答案】 C【解析】 根据题意，结合参考数据，应用对数运算法则，对数据进行估算 .【详解】由题可知：log33BA 4.3 1019= 4.3 108 两边取对数可得B 560 38194.31019log 3 log3 8log3 ABA log3 B log3 BA故 327.93 4 19 8 log3log3 3log 3 10 log3 353log34 1

9、9 2.1 855 27.93A5B3解得： A 0.6 327.9 ，B故与之最接近的为 0.6 328 .故选： C.【点睛】 本题考查对数的运算，涉及数据的估算；要结合参考数据进行处理， 思路 .是解决本题的重要11已知函数 f(x)xxeexxee2x的最大值为 M ，最小值为m ，则 M m ( )A1B2C1 1D2 1 ee21e答案】解析】分离参数，构造一个奇函数，再进行求解详解】因为 f(x)xe x 2x 2x=1+x x xe e e不妨令 h x2xx 2x x ，显然 h eex 为奇函数，故h x maxh x min 0 ，则 f x maxx h xmin ma

10、xh x min 2 23 560 3 38故选： B.点睛】本题考查函数的奇偶性与函数最值之间的关系， 本题的难点在于分离常数， 构造奇函数12设函数f(x)2x2xa,x 2, 2 若5ax 4a ,x2.f(x) 有两个零点，则实数 a 的取值范围是AB 12,2(2,C12,24,D 12,2(4,0第 10 页 共 16 页答案】 C解析】 分段考虑函数的零点，结合一元二次方程根的分布，对参数进行讨论详解】2 2 2为方便说明，不妨令 h x 22 a?(x 2)?， g x x2 5ax 4a2 x 2因为 h x 是单调函数，故其在定义域上的零点个数可以是0 或 1；对 g x

11、，因为 n 9a2 0 ，故其可以在定义域有 1 个零点，或 2个零点； 故当 f x 有两个零点，只有下面两种可能：当 4 a 0,4 时，即 a 0,4 时，h x 在其定义域内有 1个零点，此时只要保证g x 在其定义域 1 个零点即可，等价于方程 x2 5ax 4a2 0有 1个根在区间2, ，只需2 0 ，即：24a2 10a 4 0 ，解得12,2或g0且52a2 ，解得 a 12 ，故a12,2当a 0,4 ，即a,0 4,时，h x 在其定义域内没有零点，此时只要保证gx在其定义域 2 个零点即可等价于方程22x 5ax 4a0有 2个根在区间 2, ，2，解得 a4,5a 只

12、需 2 g21综上所述： a ,2 4, .2故选： C.【点睛】本题考查根据函数的零点个数求参数的范围， 涉及二次方程根的分布， 其难点是对参数 进行分类讨论 .二、填空题13已知函数 y ax 2(a 0,且a 1)的图象恒过点 M ，则M 的坐标为 .【答案】 (0,3)【解析】 根据函数平移，结合指数函数恒过定点 0,1 即可求得 .【详解】因为 y ax 恒过定点 0,1 ，又函数 y ax 2是由 y a x向上平移 2 个单位得到，故 y ax 2 恒过定点 0,3 .故答案为： 0,3 .【点睛】 本题考查指数型函数恒过定点的问题，其一般思路为，根据函数图像变换进行求解 . 1

13、4已知集合 A 0,m, m2 3m 2 ，且 2 A，则实数 m的值为 .【答案】 3【解析】 由集合 A 的元素，以及 2 A，分类讨论，结合集合元素互异性，即可得出实 数 m 的值 .【详解】由题可得，若 m 2 ，则 m2 3m 2 0 ，不满足集合元素的互异性，舍去；若 m2 3m 2 2，解得 m 3或 m 0，其中 m 0 不满足集合元素的互异性， 舍去， 所以 m 3.故答案为： 3.【点睛】本题考查集合元素的互异性， 结合元素与集合关系以及通过对集合中元素构成的特点求第 8 页 共 16 页参数值 .15已知函数 f(x) loga x b(a 0,a 1)的定义域、值域都是

14、 1,2 ，则 a b 5 【答案】 或 3.2【解析】 分析：分类讨论 a 的取值范围，得到函数的单调性，代入数据即可求解 详解：当 0 a 1时，易知函数 f x 为减函数，由题意有f 1 b 2f 2 loga 2b 1 ，解得：a 1,b 2 ，符合题意，此时 a252；当 a 1 时，易知函数 f x为增函数，由题意有f 1 b 1f 2 loga 2b 2 ，解得2,b 1，符合题意，此时 a b3.综上可得：5a b的值为 或 3.25 故答案为： 或 3.2点睛：在对数式中，真数必须是大于 0 的，所以对数函数 y log ax 的定义域应为 x|x0 对数函数的单调性和 a

15、的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按 0a1 进行分类讨论log2(x 1),0, x 1,16已知 f (x) 是定义在 R上的奇函数，且当 x0时， f(x) 2 则 x 3 1,x1,1方程 f (x) 的所有实根之和为 .2【答案】 2 1【解析】 画出分段函数的图像，根据图像，结合解析式，进行求解 .【详解】 根据分段函数的解析式，以及函数为奇函数，作图如下：上，关于 x 3 对称，且 y x 3 1在区间,1 上，关于 x 3 对称，1故其与直线 y 的所有交点的横坐标之和为 0.2故 f (x)1所有根之和，即为当2x 0,1 时的根，此时 log 21x 1 ，解得

16、x22 1.故答案为：2 1.【点睛】三、解答题17 计算（ 1）0.25414 20112216(2) 2log 3232 log339log 38log43log83 log32 log 92【答案】（ 1）4（2）3本题考查函数图像的交点，涉及函数图像的绘制，函数奇偶性的应用，属函数综合题4【解析】（ 1）根据指数运算法则，直接计算即可得出结果； （ 2）根据对数运算法则，直接计算即可得出结果.【详解】1 4 1解：（ 1）原式 1 24 4 2 2 4 4 22 =-442）原式28 log3 329log232log233log32log322111533log39log23log3

17、2122 2 32624点睛】本题主要考查指数运算以及对数运算，熟记运算法则即可，属于基础题型18已知集合 A x| 3 x 2,B x|log2x 3 ,C x|1 m x m 3 . （1）求 A CRB ；（2）若 C （AU B） ，求实数 m的取值范围 .【答案】（ 1） x | 3 x, 0 （2） （ ,4【解析】（ 1）求解对数不等式，再求补集和交集即可；（ 2）先求并集，对集合 C是否为空集进行讨论，分别求解 .【详解】（ 1）函数 y log 2 x 在 （0, ） 上单调递增，由 log2 x 3得0 x 8，Bx|0 x 8. eRB x | x剠0或 x8.AeRB

18、x| 3x, 0 .（2）A B x| 3x 8 .若C，则 1 mm 3 ，解得 m, 11 m m 3, 若 C ，则 1 m 3, ，解得 1 m, 4.m 3 8,实数 m 的取值范围为 （ ,4.【点睛】本题考查集合的运算，以及集合之间的包含关系，涉及对数不等式的求解 .2x 1119已知函数 f （x） x 的图象经过点 1, .2x a3（ 1）求 a 的值；（ 2）求函数 f （x） 的定义域和值域；（ 3）判断函数 f （x） 的奇偶性并证明 .【答案】（ 1） 1；（ 2）定义域为 R，值域为 （ 1,1）；（3） f （ x）是奇函数，证明见详解【解析】（ 1）将函数过的

19、点的坐标代入函数解析式，求解参数；第 20 页 共 16 页2)利用分母不为零求定义域，采用不等式法求函数值域；3)先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断f x 与 f x 之间的关系 .详解】1)由题意知 f ( 1)1121a21，3，解得a 1.2)因为 f (x)2xx12x 122x 1 2x 0 ， 2x f (x) 的定义域为 R.2x (0, )， 2x2 1(0,2) ， f (x) 的值域为 ( 1,1).3)函数 f (x) 是奇函数 .证明如下： f(x) 的定义域为 R，关于原点对称，且 f( x) 22xx 11 11 22xxf(x) ， f (x) 是奇函数

20、，即证 .点睛】 本题考查函数解析式，定义域和值域的求解，以及函数奇偶性的证明，涉及指数运算， 属函数综合基础题 .1200 万元，每个项目至少20某投资公司计划在甲、乙两个互联网创新项目上共投资要投资 300万元.根据市场分析预测：甲项目的收益 P与投入 a满足P 4 5a 30，1 乙项目的收益 Q 与投入 a 满足 Q a 50. 设甲项目的投入为 x.5( 1)求两个项目的总收益关于 x的函数 F(x).( 2)如何安排甲、乙两个项目的投资，才能使总收益最大？最大总收益为多少？(注：收益与投入的单位都为“万元” )【答案】( 1) F(x)1x 4 5x 260,300 x 900；(

21、 2)甲项目投资 500 万元，5乙项目投资 700 万元； 360 万元【解析】 (1) 由题意得，分别代入甲和乙的收益函数即可得出两个项目的总收益关于 x的函数 F(x) ；(2) 利用换元法，令 t x ，则 t 10 3,30 ，得出关于 t 的二次函数，根据已知区 间内的二次函数即可求出最大值以及对于的x 值，即可得出答案 .【详解】( 1)由题知，甲项目投资 x万元，乙项目投资 1200 x万元 .所以 F(x)4 5x 30 1(12005x)501x 4 5x 2605x 300依题意得解得 300x900.1200 x 300故 F(x)1x 4 5x 260,3005x90

22、0( 2)令 tx ，则 t 10 3,30y 1t2 4 5t 260 1(t 10 5)2 360 55当 t 10 5 ，即 x 500 ， y 的最大值为 360.360所以当甲项目投资 500 万元，乙项目投资 700 万元时，总收益最大，最大总收益为 万元 .【点睛】本题考查函数模型的应用以及二次函数的性质，利用换元法及二次函数求最值 .2)若当 x1,2 时， f (x) 4恒成立，求 k 的取值范围 .答案】( 1) k 4 ，图像见解析； (2) 8,4 3解析】( 1)根据 f(x 1)是偶函数，得出 f(x) 的对称轴，结合二次函数对称轴，求出k ，便可以得出 f(x)

23、解析式，即可画出二次函数图像；2)由条件，得出 f (x)min 4 ，分类讨论对称轴和所给区间比较，结合单调性，分别求出每种情况的最小值，分析加以排除，即可得出k 的取值范围【详解】( 1)由题得，函数f(x 1)是偶函数，可得函数 f(x) 的图象关于 x 1对称，4即k41 ，得 k则yf (x) 2x24x2 的大致图象如图所示 .4k当1，即 k 4时， f (x) 在 1,2 上单调递增，此时 f (x)min f ( 1) 2 k 2 k当2，即 k 8时， f(x)在4此时 f (x)min f (2) 8 2k 24 ，得 k 8 ，所以 8 k 4 ；1,2 上单调递减，4 ，得 k 7 ，不符合条件；当1k 2 ，即 44kk 8 时， f (x) 在 ( 1, ) 上单调递减，在4k,2 上单调递增，4此时 f (x)minf (k4)4k2k24，得 4 3 k 4 3 ，所以 4 k 4 3 .4综上所述， k 的取值范围是8,4 3【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，利用偶函数性质以及二次函数的对称轴、单调性、最 值，同时还考