立体几何中的向量方法课件

1、立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法以单位正方体以单位正方体 的的顶点顶点O为原点为原点,分别以射线分别以射线OA，OC， 的方向为正方向的方向为正方向,以以线段线段OA,OC, 的长为单位的长为单位长度长度,建立三条数轴建立三条数轴:x轴轴,y轴轴,z轴轴,这时我们建立了一个这时我们建立了一个空间直角坐标系空间直角坐标系 。CBADOABC DO DO Oxyz一、空间直角坐标系：一、空间直角坐标系：yxzABCABCDO点点O叫做叫做坐标原点坐标原点，x轴、轴、y轴、轴、z轴叫做轴叫做坐标轴坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为

2、称为xoy平面平面、 yoz平面平面、和、和 zox平面平面立体几何中的向量方法oxyz1.x轴与轴与y轴、轴、x轴与轴与z轴均成轴均成1350,而而z轴垂直于轴垂直于y轴轴1351350 01351350 02.y轴和轴和z轴的单位长度相同，轴的单位长度相同，x轴上的单位长度为轴上的单位长度为y轴轴(或或z轴轴)的单位长度的一半的单位长度的一半空间直角坐标系的画法：空间直角坐标系的画法：立体几何中的向量方法xyzO(3,4,2)(3,0,0)(0,4,0)(0,0,2)(3,4,0)3ABADBC2C4., 243:1写出所有点的坐标，中，在长方体例DOOCOACBADOABC0 , 0 ,

3、 02 , 4 , 02 , 0 , 3立体几何中的向量方法z z1x xy y1练练1 1 请你作一个空间直角坐标系，并在空间直请你作一个空间直角坐标系，并在空间直角坐标系中，作出点（角坐标系中，作出点（5 5，4 4，6 6）（5，4，6）O546变式变式 在空间直角坐标系中，在空间直角坐标系中，作出点（作出点（-5-5，4 4，6 6）立体几何中的向量方法练习练习zxyOACDBABCPP343立体几何中的向量方法练习练习zxyABCOADCBQQ立体几何中的向量方法若若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则则AB = OB- -OA=(x2,y2,z2)- -(x1,y1

4、,z1) =(=(x2 2- -x1 1 , , y2 2- -y1 1 , , z2 2- -z1 1) )空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标终点的坐标减去起点的坐标. .二、空间向量的坐标表示二、空间向量的坐标表示立体几何中的向量方法练1：在空间直角坐标系中，在空间直角坐标系中，已知A=（2，1，3），B=（1，2，5），则_AB_BA 练2：在空间直角坐标系中，在空间直角坐标系中，已知A=（2，x，y）， 则B=_），（52-1AB 立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法三、空

5、间向量的数量积运算三、空间向量的数量积运算四四. .空间共线向量定理空间共线向量定理: :对空间任意两个对空间任意两个向量向量 的充要条件是存在实数的充要条件是存在实数使使baobba/),(,bacos|babaa b 1 12233a ba ba b ab 1 12 23 30.( ,)aba ba ba b 都都不不是是零零向向量量立体几何中的向量方法练1：在空间直角坐标系中，在空间直角坐标系中，已知_),1, 5 , 1 (),5 , 2 , 3(baba则练2：在空间直角坐标系中，在空间直角坐标系中，已知_,/),2 , y, x(),1 , 2 , 4(yx，baba则且立体几何中

6、的向量方法立体几何中的向量方法五、距离与夹角的坐标表示五、距离与夹角的坐标表示1. 1.距离公式距离公式（1 1）向量的长度（模）公式）向量的长度（模）公式注意：此公式的几何意义是表示长方体的对注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。角线的长度。立体几何中的向量方法练1：在空间直角坐标系中，在空间直角坐标系中，已知_),1, 5 , 1 (),5 , 2 , 3(bababa，则立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法| ABABAB AB212121(,)xxyyzz222212121()()()xxyyzz222,212121()()()A Bdxxyyzz在空间直角坐标系中，已

7、知、在空间直角坐标系中，已知、，则，则111(,)A xyz222(,)B xyz（2）空间两点间的距离公式）空间两点间的距离公式立体几何中的向量方法2.2.两个向量夹角公式两个向量夹角公式注意：注意：（1）当）当 时，同向；时，同向；（2）当）当 时，反向；时，反向；（3）当）当 时，。时，。cos,1 a b与 abcos,1 a b与 abcos,0 a bab立体几何中的向量方法练1：在空间直角坐标系中，在空间直角坐标系中，已知. ),1, 5 , 1 (),5 , 2 , 3(ba求与所成的角的余弦值求与所成的角的余弦值.ba立体几何中的向量方法练练2如图如图, 在正方体中，在正方体

8、中，求与所成的角的余弦值，求与所成的角的余弦值.1111ABCDA B C D 11B E 11114A BD F1BE1DFF1E1C1B1A1D1DABCyzxO立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法3.2.1立体几何中的向量方法方向向量与法向量立体几何中的向量方法lAPa 直线的方向向量直线的向量式方程 换句话说换句话说, ,直线上的非零向量叫做直线的直线上的非零向量叫做直线的方向向量方向向量APta 一、方向向量与法向量立体几何中的向量方法2、平面的法向量、平面的法向量 Aa lP平面平面 的向量式方程0a AP 换句话说换句话说, ,与平面垂直的非零向量叫做平面与平面垂直的非零向量

9、叫做平面的的法向量法向量立体几何中的向量方法oxyzABCO1A1B1C1例1. 如图所示, 正方体的棱长为1直线OA的一个方向向量坐标为_平面OABC 的一个法向量坐标为_(1)平面AB1C 的一个法向量坐标为_(-1,-1,1)(0,0,1)(1,0,0)立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法令令x、y、z中某个为定值中某个为定值立体几何中的向量方法 练习练习 如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是是正方形，侧棱正方形，侧棱PD底面底面ABCD，PD=DC=1 ,E是是PC的中点，的中点， 求平面求平面EDB的一个法向量的一个法向量.ABCDP PE E解：如图所示建立空间直角坐标系解：如图所示建立空间直角坐标系.(0,0,0),(0,0,1),1 1(0, )2 2PE依依题题意意得得D DB(1, 1，B(1, 1，0)0)1 1(0, )2 2DE DB =(1, 1，DB =(1, 1，0)0)XYZ设平面设平面EDB的法向量为的法向量为( , ,1)nx y, nnDEDB 则1101, 1, 1220ynxy于是立体几何中的向量方法如图所示，在直四棱柱如图所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1 中，中，已知已知DC=DD1=2AD=2AB=2，ADDC， ABDC.求平面求平面A1BD的一个法向量的一个法向量立体几何中的向量方法