分数布朗运动(南开2011-3)

1、分数布朗运动和反常扩散分数布朗运动和反常扩散包景东 北京师范大学物理系 ()2011年3月23日 南开大学 今日物理内容提要内容提要 1.分数布朗运动与反常扩散 2.连续时间无规行走理论(CTRW) 3.分数阶微积分应用 4. 计算统计物理：反常扩散的模拟 5. CTRW在金融领域的应用 6.小结牛顿物理牛顿物理: : 试图对自然现象做精确的测量，将自然界理解为确试图对自然现象做精确的测量，将自然界理解为确定性的定性的“时钟时钟”；麦克斯韦玻耳兹曼物理：麦克斯韦玻耳兹曼物理：偏离平均不再是一个误差，大的方偏离平均不再是一个误差，大的方差不再是测量精度的指标；差不再是测量精度的指标；布朗运动：布

2、朗运动： (1)1785年年Jan Ingenhausz观测观测木炭粉末在酒表面木炭粉末在酒表面运动运动； (2)1828年年Robert Brown观测花粉观测花粉, 尘埃尘埃, 烟灰在水表面的运动烟灰在水表面的运动; (3)1905 年年Albert Einstein用随机行走解释流体分子的热运动用随机行走解释流体分子的热运动; (4)1926年年Jean Perrin因为测量因为测量Avogadro常数获常数获Nobel物理奖物理奖; 进一步发展是什么呢？进一步发展是什么呢？导 语1. 反常扩散反常扩散反常扩散反常扩散: 反常扩散是指自由系统偏离正常布朗运动的扩散行为，表现为粒子的方均位

3、移满足其中K称为广义扩散系数，称为功率指数或者扩散指数。0 1称为欠扩散(sub-diffusion)， 1 2称为超扩散(super-diffusion);=0 称为局域化(localization)， =2称为弹道扩散(ballistic diffusion)，它们是扩散的两个极限。1,)(20tKxtx正常布朗运动5 .12)(ttx信天翁0204060801000100200300400500600700=kBT/ =0 tBao and Zhuo: PRL 91, 138104 (2003) 热扩散的极限：热扩散的极限：弹道扩散弹道扩散2t研究反常扩散研究反常扩散-输运的主要手段：输

4、运的主要手段：1.广义热力学统计 (Tsallis统计)2.非线性媒介Fokker-Planck方程和分数阶Fokker-Planck方程 (FFPE)3.广义主方程 (GME)4.广义Langevin方程 (GLE)和分数阶Langevin方程 (FLE)5.连续时间无规行走 (CTRW)“非标准统计物理非标准统计物理”2. 连续时间无规行走理论连续时间无规行走理论Pearson-Einstein一维无规行走理论：1、假设粒子只在相邻格点之间跳跃，不同格点用下标 j 区分;2、假设粒子向 j1 格点跳跃的概率相等，均为0.5。于是，粒子的一维扩散主方程为：),(21),(21),(11txx

5、WtxxWttxWjjj连续时间无规行走理论连续时间无规行走理论连续性近似下x 0, t 0，将主方程两边分别对x 和t 做泰勒展开，左边得到：右边得到：将上面两式代入主方程，就得到自由场扩散方程：其中 称为扩散系数。 )(),(),(2ttWttxWttxWjjj)(2)(),(),(32221xxWxxWxtxWtxxWjjjj),(221txWxKtWtxKtx2)(lim20, 01连续时间无规行走理论连续时间无规行走理论1965年，Montroll和Weiss在无规行走的基础上进行扩展，即将无规行走的固定时间间隔和固定跳跃距离都假设成随机变量，提出连续时间无规行走(CTRW)。连续时

6、间无规行走理论连续时间无规行走理论在CTRW理论中，粒子的扩散过程包含两个基本要素：随机跳跃距离；随机跳跃距离；随机等待时间随机等待时间，它们的联合分布密度函数(x,)。跳跃距离分布函数记为(x)，等待时间分布函数记为()，两者都可由(x,)得到：(x)dx 表示跳跃距离取值在(x, x+dx)的概率； ()d表示等待时间在(,+d)的概率。),()(, ),()(0 xdxxdx连续时间无规行走理论连续时间无规行走理论粒子t时刻在初始位置的存活概率为：其Laplace变换形式为：用(x,t)表示粒子t时刻到达坐标x处的概率密度，并假设粒子初始分布为W0(x)，由此可得描述无规行走过程的广义主

7、方程(GME)：tdt0)(1)(uuu)(1)()()() , () , (),(00 xWtttxxtxdtdxtxt连续时间无规行走理论连续时间无规行走理论于是，粒子的分布函数W(x,t)满足：将GME代入上式，得到：对以上方程做Fourier-Laplace变换，得到粒子分布函数在相空间满足的方程：这是一个代数方程，记为方程(A)。ttttxdttxW0) () ,(),()()() , () , (),(00 xWtttxxtxWdtdxtxWt),(1)()(1),(0ukkWuuukW连续时间无规行走理论连续时间无规行走理论正常扩散正常扩散正常扩散情况下，CTRW理论要求等待时间

8、分布的一次矩均和跳跃距离分布的二次矩有限，通常选择泊松函数和高斯函数分别作为等待时间和跳跃距离的分布，记作：它们的Laplace变换和Fourier变换形式分别为：2220104exp41)(,exp)(xx)(1)(),(1)(42220kkkuuu连续时间无规行走理论连续时间无规行走理论将上面两式代入方程(A)，并舍去高阶项，化简得到：注意到：可得描述自由粒子正常扩散的扩散方程：其中K1为扩散系数。),()(),(210ukWkKkWukuW)(),(),(),(),(022xWuxuWtxWLtkWktxWFtx),(),(221txWxKtxWt连续时间无规行走理论连续时间无规行走理论

9、欠扩散欠扩散欠扩散情况下，CTRW理论要求粒子跳跃距离分布的二次矩有限，故依然选择高斯函数作为粒子跳跃距离的分布；同时要求粒子等待时间分布的一次矩发散，通常选择的等待时间分布函数具有如下的长尾渐进形式：其Laplace变换形式为：10)(A)(1)(0uu连续时间无规行走理论连续时间无规行走理论将欠扩散等待时间分布和跳跃步长分布的相空间表达式代入方程(A)，得到：利用分数阶积分的Laplace变换公式：可得：),()(1),(20ukWukKkWuukW),(),(0uxWutxWILt),()(),(2200txWxKIxWtxWt分数阶幂连续时间无规行走理论连续时间无规行走理论注意到分数阶

10、导数和分数阶积分的关系：最后得到描述自由粒子欠扩散的分数阶扩散方程(FDE)：其中Riemann-Liouville分数阶导数算符分数阶导数算符定义为：可见和整数阶导数不同，分数阶导数包含了对历史的记忆，体现出非马尔科夫性质。10,010ttItD),(),(2210txWxKDtxWtttttttxWdtttxWD0110) () ,()(1),(连续时间无规行走理论连续时间无规行走理论将欠扩散粒子方均位移(MSD)的定义式做Fourier变换，得到：将W(k,u)的表达式代入计算，并做Laplace逆变换，可得：可见从CTRW模型出发，选择合适的等待时间分布函数，即可得到方均位移正比于t的

11、结果。02222),(),()(kukWkdxuxWxFux10,)1 (2)(2tKtx此情况下，要求等待时间分布的一次矩有限而跳跃距离分布的二次矩发散。因此，通常选择泊松函数作为等待时间的分布；而选择Lvy分布作为跳跃距离的分布，它具有一个长的拖尾，其渐进形式为：Fourier变换形式为：/2,|)2/sin()1 ()(1xx|1)|exp()(kkk超扩散超扩散可得到自由粒子超扩散的分数阶扩散方程：其中 是Reisz-Weyl分数阶导数算符。上述分数阶扩散方程的解具有如下幂律渐进形式：),(),(txWDKtxWtx21,|),(1xtKtxWxD可见粒子空间分布函数具备Lvy分布的典

12、型特征，因此粒子的方均位移是发散的。现采用以空间分布宽度替代方均位移的方法，空间分布宽度定义为：这种方法相当于假设空间存在一个宽度随时间增长的虚拟“盒子”，在计算粒子方均位移的时候，只统计“盒子”内部粒子的贡献。21,),()(2/2/22tdxtxWxtxLtLtL 1. 相变中的临界现象； 2. 复杂网络； 3. 广义中心极限定理； 4. 长尾经济理论；|1)(xxp幂律分布 反常扩散：长尾分布 超扩散 长程关联 欠扩散3.分数阶微积分应用tttttxWdtttxWD0110) () ,()(1),(Riemann-Liouville分数阶导数算符分数阶导数算符定义21分数计算的例子半积分

13、函数半导数半积分函数半导数xxxxxxerfxxxxerfxxxxxxxxxxxCCxCxfdxdxfDxfxfdxdxfDxx/ )4ln(ln 2)4ln(/2)()exp(/1)exp()()exp() 2/1() 1(1,) 2/3() 1(/23/42/2/0/1/2)()()()()(2/ 12/ 12/32/ 12/ 12/ 102/ 12/ 12/ 10 自相似系统自相似系统 瞬态欧姆定率的富立叶变换瞬态欧姆定率的富立叶变换：)()()(VIZCiRRRZZCiRZ42)(,)(1)(21在电阻和电容均接近零的极限下，但保持一个常数(1)，我们有：所以2CR2/1)(iZ )(

14、)()()(2/ 1ViZVI)()(2/10tVDtIt02468-3-2-10123 f(t)t024-505 Y Axis Titlet B 三角形波的半阶导数后的曲线三角形波的半积分后的图像01020304050-2.0-1.8-1.6-1.4-1.2-1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0 Y Axis TitleX Axis Title锯齿波的半阶导数图像02468100246810 Y Axis TitleX Axis Title矩形波的半阶导数图像 0() ( )( ),tdvdxmmtt v t dtt vdt

15、dt0( )( )( )(1)txxdU xtt广义朗之万方程分数阶朗之万方程宏观时间尺度与分子微观碰撞时间的不可分性分数阶速度 10,bbmFa)()()(, )()()(0stTmksttFdssxstmxmBt 10,)(lim110bzzbz00)()0( 0dttbm2006年年12月月这种行为符合这种行为符合Zhang和和Bao用用Langevin模拟的模拟的预言预言。Zhang and BaoPRE 2005“我们已经在实验上显示了我们已经在实验上显示了16文文的一个超扩散系统在周期场中输的一个超扩散系统在周期场中输运所具有的奇异现象运所具有的奇异现象 ”16 Bao et al

16、. PRE 74, 041125 (2006)J.D.BaoPRL (2005)14 December 2006A Nuclear Magic Trick德国德国GSI26Mg+248Cm26Mg+248Cm实验和我们的理论工作的意义实验和我们的理论工作的意义: :寻找双幻核寻找双幻核Z=108 l 兰州国家重离子加速器即将建成兰州国家重离子加速器即将建成 最佳弹靶组合和能量的预言最佳弹靶组合和能量的预言l 裂变碎片输出量的系统计算裂变碎片输出量的系统计算 评价低能裂变产物评价低能裂变产物机遇与需求：机遇与需求：发展扩散模型发展扩散模型 (中国核数据中心中国核数据中心)Dieter-Acker

17、mann_GSI/University_of_Mainz_-_IReS-Symposium-2004SHE Synthesis Status September 2004GSIRIKENFLNRhigh cross-sections (0.5 5 pb)low cross-sections ( 35 fb) Z=128? 极限极限在冷熔合和热熔合之间在冷熔合和热熔合之间搭桥搭桥为鉴别新超重元素实验为鉴别新超重元素实验寻根寻根理论研究作用：理论研究作用：减低实验的风减低实验的风险和代价险和代价!4. 计算统计物理：反常扩散的模拟 欠扩散欠扩散若系统表现出欠扩散行为，则系统的稳定态分布由等待时间分

18、布函数决定，采用等待时间分布函数为Mittag-Leffler密度函数：其中 称为Mittag-Leffler函数，其级数表达式为：)/()(0Edd)/(0E100)1 ()/()/(nnnEMonte-Carlo模拟模拟为了使算法更易于实现，同时节省计算时间，在0.9的情况下，可用Pareto密度函数近似替代Mittag-Leffler函数：其中等待时间子样序列Ti可以通过如下方法抽得：其中是一个0,1区间均匀分布随机数。)/()(0Pdd)/()1 (11)/(0/10P/1/10)1 (1iT欠扩散情况下，选择高斯函数作为跳跃距离的分布，即：则跳跃距离子样序列Xi的抽样方法如下：其中1

19、 ,2均为0,1区间均匀分布随机数。2224exp41)(xx)2sin(ln2)2cos(ln22121iiXorX自由场自由场CTRW数值算法数值算法 超扩散超扩散超扩散的平均等待时间确定，而跳跃距离的方差发散。选择泊松函数作为等待时间的分布：其子样序列Ti可通过反函数法直接抽样：其中是一个0,1区间均匀分布随机数。)1ln(0iT010exp)(自由场自由场CTRW数值算法数值算法同时，选择Lvy分布作为跳跃距离的分布函数，其渐进形式为：跳跃距离子样序列Xi的抽样方法如下：(1)产生辅助序列i，其分布函数 F() 具有和Lvy分布相 同的指数渐进行为，为便于运用直接抽样法，取/2,|)2

20、/sin()1 ()(1xx0,)|1 (2110,)|1 (21)(F自由场自由场CTRW数值算法数值算法(2) 将得到的辅助序列i做如下处理得到Xi：其中m为任意正整数，为保证得到的子样基本满足Lvy分布，需要m50，本文所有涉及Lvy分布抽样的地方均取m=100。mjjiamX11)2/sin()(2a结结 果果。和图中直线斜率分别为图，时自由粒子和功率指数随时间变化曲线；位移自由粒子欠扩散的方均58766. 041293. 0lglg6 . 04 . 0)()()(22txbtxa。；和图中直线斜率分别为图，时自由粒子和功率指数随时间变化曲线；宽度自由粒子超扩散的分布1060096.

21、139635. 1lglg6 . 14 . 1)()()(22LtxbtxaLL改进改进Metropolis方法方法(存在外势存在外势) Metropolis方法在1953年建立的(J. Chem. Phys.) Metropolis方法通过构建一个马尔科夫链，使系统演化，通过运用物理判据（如细致平衡条件），引导系统经过有限步骤到达平衡态。 Metropolis方法在相变动力学以及统计力学领域有着经久不衰的广泛应用，可以说是Monte Carlo方法的杰作之一。Metropolis方法方法的改进的改进xixi+1U(x)/exp(, 0,)/exp(, 0; 0,111TkUUxxTkUUUx

22、xBiiBii并且如果但是如果)()(),(11iiiixUxUxxUU其中，考虑不同的势U1和势U2，传统的Metropolis方法无法区分两种势之间的差别，由于U0，此次跳跃总是可以实现的；然而，粒子从xi到xi+1的需要先跨越势2的势垒，才能实现此次跳跃。为了体现势垒对粒子跳跃的影响，我们改进了Metropolis方法，加入了粒子是否翻越势垒的判断：如果需要翻越势垒，则势能差取否则，势能取Metropolis方法方法的改进的改进U2(x)U1(x)xixi+1x0)()(),(00iixUxUxxUU)()(),(11iiiixUxUxxUUCTRW-Metropolis方案方案 将CT

23、RW模型与改进的Metropolis方法相结合； CTRW模型用于控制粒子的等待时间长短，以及跳跃的方向和距离； 改进的Metropolis方法用于判断粒子能够实现某次跳跃，即通过其引入了外部势场对粒子运动的影响。早期的CTRW方法能够模拟任意扩散指数系统不能应用于外部势场中的输运问题固定小步长的CTRW方法只能模拟1的反常系统能够应用于外部势场中的输运问题CTRW-Metropolis方案能够模拟任意扩散指数系统能够应用于外部势场中的输运问题环境依赖的环境依赖的CTRW模型模型以往以往CTRW模型的不足模型的不足1.这些模型都假设粒子的跳跃是瞬时的，没有瞬时速度的概念，因此无法研究与粒子速度

24、及其分布相关的物理量；2.这些模型都只能模拟过阻尼系统（无惯性项），限制了CTRW在阻尼依赖问题中的应用。环境依赖的环境依赖的CTRW模型模型环境依赖的环境依赖的CTRW模型模型11324x12x223x3434x123411vv12x22vv233433vv以往的CTRW环境依赖的CTRW环境依赖的环境依赖的CTRW模型模型 用脉冲速度(pulse velocity: v)和飞行时间(flight time: )取代以往的CTRW的跳跃步长和等待时间。 一次飞行过程的算法：非阻尼环境因素。包含势场和外部信号等：飞行过程满足牛顿方程为则此次飞行的起始速度和脉冲速度中抽取此次飞行的时间从各自的)

25、()()()()()(. 2);()0()(),(. 1txftxftvmtvmtvtxtvtvtvtvpdf环境依赖的环境依赖的CTRW模型模型法递推得到。可利用二阶与离散化，得到对上式两边积分，并做KuttaRungetntvtntxtmtntxftntvtvtvttntvtxtxtntn)()()()()()()()()(. 31010环境依赖的环境依赖的CTRW模型模型222/1200004)(exp)4()() 1()()()()() 10(vvpdfnEEdtdLefflerMittagpdfnn采用高斯分布：脉冲速度其中分布：选择飞行时间欠扩散环境依赖的环境依赖的CTRW模型模型

26、/2,)2/sin()1 ()()(exp)()21 (1010vvLevypdfpdf长尾分布：采用脉冲速度。选择泊松分布：飞行时间超扩散斯分布。分别采用泊松分布和高飞行时间和脉冲速度的正常扩散pdf) 1(环境依赖的环境依赖的CTRW模型模型以往的以往的CTRW模型模型1. 粒子的扩散包含等待和瞬时跳跃两个要素，等待时间和跳跃距离都是随机变量；2. 完全没有动力学因素，环境的作用只能通过固定小步长或者Metropolis算法引入；3. 只能模拟过阻尼系统；4. 不能得到粒子的瞬时速度分布；5. 数值模拟过程中不需要知道势的具体表达式。环境依赖的环境依赖的CTRW模型模型1. 将粒子的扩散过

27、程看成真正的飞行，飞行时间和脉冲速度都是随机变量；2. 部分引入了动力学因素，环境的作用通过牛顿第二定律自然引入；3. 首次真正在CTRW模型中引入了阻尼的作用；4. 能够得到粒子的瞬时速度分布；5. 必须知道势的表达式，并且表达式必须是连续可导的。环境依赖的环境依赖的CTRW模型模型超扩散机制超扩散机制-小概率大贡献小概率大贡献分布。分布退化成，。大贡献样本称之为具定性作用，因此我们随时间增长的幂律将起对粒子方均位移的脉冲速度样本，它们大于右图单独显示了绝对值个。分布比较，样本总数分布和的GaussianLevyGaussianLevy150106 . 17超扩散机制超扩散机制-小概率大贡献

28、小概率大贡献。到正常扩散，此时只能得样本大贡献的舍弃截断脉冲速度抽样取1%4 . 0,50v60373. 1得到预期的超扩散不取截断，贡献”现象。我们称之为“小概率大定性作用，对超扩散发生与否起决大贡献样本的仅占总样本数%4 . 05. 反常扩散在金融领域的应用反常扩散在金融领域的应用金融风险的金融风险的VaR评估体系评估体系1.VaR，即“Value at Risk”，含义为“在险价值”，指的是在给定的市场条件和置信水平下，某一金融资产或者证券组合在给定时间区间内的最大期望损失。2.VaR作为一种市场风险测量和管理的新工具，由Morgan银行于1994年提出，如今得到了国际金融界的广泛认可和

29、支持。3.VaR对风险的评估一般可表示为cVaRp1)(Prob的损失额。持有期内表示某金融资产在一定是置信水平，其中，pc1CTRW在金融领域的应用初探在金融领域的应用初探VaR评估体系的核心在于计算VaR值，其定义为：其中，p(W)是资产组合的预期价值，p*是一定置信水平下资产组合的期末最低价值。现有的VaR预测分析方法主要有“历史模拟法”、“参数模拟法”和“Monte Carlo模拟法”。其中“Monte Carlo模拟法”是最有前途的VaR预测方法。*)(pWpVaR单一资产的单一资产的VaR计算举例计算举例元。天的的置信水平下，该股票则在之间。的变动处于布，股票市值变动呈正态分元；元；标准差；股票市值：每股置信水平：8 .251%9958. 2%991050%99VaR在险价值 资产价值变动的资产价值变动的CTRW算法初探算法初探预测资产价值的变动是计算VaR的有效方法，但是由于金融事件的发展具备非马尔科夫记忆效应和混沌性质，因此现有的