ch7-5平面与直线的方程ppt课件

1、一、平面的方程二、点到平面的距离二、点到平面的距离三、直线的方程三、直线的方程7.5 7.5 平面和直线的方程平面和直线的方程 四、线面间的夹角四、线面间的夹角* *五、点到直线与直线到直线的距离五、点到直线与直线到直线的距离* *六、平面束六、平面束 如果一非零向量垂直于一平面，这如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法向量就叫做该平面的法(线线)向量向量.(垂直于平面内的任一向量垂直于平面内的任一向量)已知平面已知平面的法向量的法向量),(CBAn 一、平面的方程一、平面的方程xyzo0MMnnMM 000 nMM则平面上的任一点则平面上的任一点),(zyxM满足几何条件满足几何

2、条件代入向量的坐标代入向量的坐标1. 平面的点法式和一般式平面的点法式和一般式),(0000zyxM是平面是平面 上的一定点，上的一定点，0)()()(000 zzCyyBxxA平面的点法式方程平面的点法式方程 平面上的点都满足上述方程，不在平面平面上的点都满足上述方程，不在平面上的点都不满足上述方程，上述方程称为平上的点都不满足上述方程，上述方程称为平面的方程，平面称为方程的图形面的方程，平面称为方程的图形其中法向量其中法向量),(CBAn 已知点已知点).,(000zyx),(),(0000CBAzzyyxxnMM 解解所求平面方程为所求平面方程为03)3(2)2( zyx化简得化简得.

3、0832 zyx1例例.)3 , 2, 1()0 , 3, 2(为为法法向向量量的的平平面面方方程程且且以以求求过过点点 nAkji例例2.2.求过三点求过三点1,M 又又) 1,9,14(14(2)9(1)(4)0 xyz 149150.xyz 即即1M2M3M解解: : 取该平面取该平面 的法向量的法向量为为),2,3, 1(),4, 1,2(21MM)3,2,0(3M的平面的平面 的方程的方程. . 利用点法式得平面利用点法式得平面 的方的方程程346231nn3121MMMM),1,1,1(1 n)12,2,3(2 n取法向量取法向量21nnn ),5,15,10( , 0)1(5)1

4、(15)1(10 zyx化简得化简得. 0632 zyx所求平面方程为所求平面方程为解解由平面的点法式方程由平面的点法式方程0)()()(000 zzCyyBxxA0)(000 CzByAxCzByAxD 0 DCzByAx平面的一般平面的一般(式式)方程方程法向量法向量).,(CBAn 结论：平面方程是三元一次方程，任意三元一次结论：平面方程是三元一次方程，任意三元一次方程的图形是一平面方程的图形是一平面.平面一般方程的几种特殊情况：平面一般方程的几种特殊情况：, 0)1( D平面通过坐标原点；平面通过坐标原点；, 0)2( A , 0, 0DD 平面过平面过 轴；轴；x, 0)3( BA平

5、面平行于平面平行于 坐标面；坐标面；xOy类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.0, 0 CBCA0, 0 CB类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.0 DCzByAx平面平行于平面平行于 轴；轴；x设平面为设平面为, 0 DCzByAx由平面过原点知由平面过原点知, 0 D由由平平面面过过点点)2, 3, 6( 知知0236 CBA),2,1,4( n024 CBA,32CBA . 0322 zyx所求平面方程为所求平面方程为解解0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx过三点过三点)3,2, 1(),(kzyxMkkkk的平面方程为的平面方程为2. 平面的三点式和截距

6、式平面的三点式和截距式平面的三点式方程设平面为设平面为, 0 DCzByAx将三点坐标代入得将三点坐标代入得 , 0, 0, 0DcCDbBDaA,aDA ,bDB .cDC 解解,aDA ,bDB ,cDC 将将代入所设方程代入所设方程1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程x轴轴上上截截距距y轴轴上上截截距距z轴上截距轴上截距, 0 DCzByAx设平面为设平面为, 066 Dzyxxyzo, 166 DxDyDx即即由已知由已知61)6)()(6(2131 DDDD解解. 666 zyx所求平面方程为所求平面方程为外一点外一点, ,求求0000(,)P xy z0A xB yC

7、zD 例例7. 7. 设设010101222()()()A xxB yyC zzABC 000222AxB yC zDdABC 1110AxB yC zD 解解: :设平面法向量为设平面法向量为1111(,)P xy z在平面上取一点在平面上取一点是平面是平面到平面的距离到平面的距离d.d.0P,则P0 到平面的距离为10PrjndP P 10P Pnn 0P1Pnd(,),nA B C 点到平面的距离公式点到平面的距离公式二、点到平面的距离二、点到平面的距离确定空间直线的条件确定空间直线的条件 由两个平面确定一条直线；由两个平面确定一条直线；由空间的一点和一个方向来确定一条直线由空间的一点和

8、一个方向来确定一条直线. . 由空间的两点确定一条直线；由空间的两点确定一条直线；三、空间直线的方程三、空间直线的方程xyzo1 2 定义定义空间直线可看成两平面的交线空间直线可看成两平面的交线0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 0022221111DzCyBxADzCyBxA空间直线的一般空间直线的一般(式式)方程方程L1. 1. 直线的一般式直线的一般式xyzo方向向量的定义：方向向量的定义：sL0M M ,),(0000LzyxM 设设定定点点,),(LzyxM sMM0/),(pnms ),(0000zzyyxxMM ),(),(000pnmtzzyyxx 则

9、则2. 2. 直线的对称式和参数式直线的对称式和参数式 如果一非零向量如果一非零向量 平行于平行于一条已知直线一条已知直线 L L ，向量，向量 称称为直线为直线 L L 的方向向量的方向向量ss直线的对称式方程直线的对称式方程pzznyymxx000 000,.xxmtyyntzzpt 直线的一组方向数直线的一组方向数方向向量的余弦称为直线的方向余弦方向向量的余弦称为直线的方向余弦.直线的参数直线的参数(式式)方程方程消去参数消去参数 t，有，有),(),(000pnmtzzyyxx (也称为点向式方程)注：注：1. 表示同一直线的对称式方程表示同一直线的对称式方程不唯一；不唯一；2. 对称

10、式方程可转化为一般方对称式方程可转化为一般方程程 ;3. 理解理解为为:pzznyyxx0000 .,000pzznyyxx4. 任一条直线均可表示为对称式方程任一条直线均可表示为对称式方程.例例8 8 用对称式方程及参数方程表示直用对称式方程及参数方程表示直线线 . 0432, 01zyxzyx解解在直线上任取一点在直线上任取一点),(000zyx取取10 x,063020000 zyzy解得解得2, 000 zy点坐标点坐标),2, 0 , 1( 因所求直线与两平面的法向量都垂直因所求直线与两平面的法向量都垂直取取21nns ),3, 1, 4( 对称式方程对称式方程,321041 zyx

11、参数方程参数方程14 ,23 .xtytzt 解题思路解题思路: :先找直线上一点先找直线上一点; ;再找直线的方向向量再找直线的方向向量. .解解因因为为直直线线和和y轴轴垂垂直直相相交交, 所以交点为所以交点为),0, 3, 0( B取取BAs ),4,0,2( 所求直线方程所求直线方程.440322 zyx定义定义1 1n2 2n 两平面法向量之间的夹角通常取锐角两平面法向量之间的夹角通常取锐角称为两平面的夹角称为两平面的夹角. ., 0:11111 DzCyBxA, 0:22222 DzCyBxA),(1111CBAn ),(2222CBAn 1. 两平面的夹角两平面的夹角四、线面间的

12、夹角四、线面间的夹角按照两向量夹角余弦公式有按照两向量夹角余弦公式有222222212121212121|cosCBACBACCBBAA 两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式两平面位置特征：两平面位置特征：21)1( ; 0212121 CCBBAA21)2( /.212121CCBBAA 例例10 10 研究以下各组里两平面的位置关系：研究以下各组里两平面的位置关系：013, 012)1( zyzyx01224, 012)2( zyxzyx02224, 012)3( zyxzyx解解)1(2222231)1(2)1(|311201|cos 601cos 两平面相交，夹角两平面相交，夹角.60

13、1arccos )2(),1,1,2(1 n)2,2,4(2 n,212142 两平面平行两平面平行21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM两平面平行但不重合两平面平行但不重合)3(,212142 21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM两平面平行两平面平行两平面重合两平面重合.定义定义直线直线:1L,111111pzznyymxx 直线直线:2L,222222pzznyymxx 22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmLL 两直线的方向向量的夹角通常指锐角）两直线的方向向量的夹角通常指锐角）称为两直线的夹角称为两直线的夹角.两

14、直线的夹角公式两直线的夹角公式2. 两直线的夹角两直线的夹角两直线的位置关系：两直线的位置关系：21)1(LL , 0212121 ppnnmm21)2(LL/,212121ppnnmm 直线直线:1L直线直线:2L),0,4,1(1 s),1,0,0(2 s, 021 ss,21ss 例如，例如，.21LL 即即例例11. 11. 求以下两直线的夹角求以下两直线的夹角解解: : 直线直线直线直线二直线夹角二直线夹角 的余弦为的余弦为13411:1 zyxL 0202:2zxyxL cos 22 从而从而.4 的方向向量为的方向向量为1L的方向向量为的方向向量为2L(2,2,1) 1 2( 4

15、) ( 2)1 ( 1) 2221( 4)1 2222( 2)( 1) 1(1,4,1)s 2110102ijks 解解 所求直线方程所求直线方程.153243 zyxkjikjinns 3451240121取取)4,1,2(10 MMks所求直线方程所求直线方程.431322 zyx解解设所求直线为设所求直线为l , 先求两直线的交点先求两直线的交点.LlM1M0过点过点M0做平面垂直于直线做平面垂直于直线L： 3x+2y-z=5代代入入平平面面方方程程的的参参数数方方程程： tztytxL2131所以交点为所以交点为 M1(2/7, 13/7, -3/7)定义定义直线和它在平面上的投影直线

16、的夹直线和它在平面上的投影直线的夹角角 称为直线与平面的夹角称为直线与平面的夹角 ,:000pzznyymxxL , 0: DCzByAx),(pnms ),(CBAn 0.2 3. 3. 直线与平面的夹角直线与平面的夹角222222|sinpnmCBACpBnAm 直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式直线与平面的位置关系：直线与平面的位置关系： L)1(.pCnBmA L)2(/. 0 CpBnAm sin),cos( ns解解),2,1,1( n),2,1,2( s222222|sinpnmCBACpBnAm 96|22)1()1(21| .637 637arcsin 为所求夹角为所求

17、夹角 ijk 0000(,)Mxy z到直线到直线的距离的距离111:xxyyzzLmnp 为为点点2221mnp 101010 xxyyzz mnpd01M Msds ),(pnms ),(1111zyxM),(0000zyxML* *五、点到直线与直线到直线的距离五、点到直线与直线到直线的距离1. 点到直线的距离点到直线的距离另法另法: 做一法向量做一法向量21ssn 过直线过直线L1 做平面做平面, 则法向量为则法向量为21ssn 2L直直线线故故平平面面 ，点，点P2 到平面到平面 的距离就是的距离就是 d .121212()P Pssdss 121212()vP Pssssd 1s2

18、1PP2s1P2PL1L2n异面直线间的距离异面直线间的距离. 2)1 , 1 , 1(1P），（2002 P.0422022:,0220121离离异异面面，并并求求其其间间最最短短距距：证证明明直直线线 zyxzyxLzyxzyxL例例),1, 1, 0(1121111 kjis证证),0, 3, 6(2211212 kjis 212121)(ssssPPd. 13)2, 2 , 1()3 , 1 , 1( 的的公公垂垂线线方方程程。：与与直直线线求求直直线线例例zyxLzyxL 02110123:1021L1L2L 1, 2, 11,0, 10, 1 , 2 sL的的方方向向向向量量解解：

19、 5, 2, 10, 1 , 21, 2, 1111 nLL，确确定定一一平平面面与与 2, 2, 21,0 , 11, 2, 1222 nLL，确确定定一一平平面面与与0)2()1(:0)1(52)3(:21 zyxzyx 010852zyxzyx公公垂垂线线：.束束有平面的全体称为平面有平面的全体称为平面定义：通过定直线的所定义：通过定直线的所过直线过直线111122220,:0A xB yC zDLA xB yC zD 的平面束的平面束1111()A xB yC zD 2222()0A xB yC zD 方程方程12(,0) 不不全全是是1 2 0)()(, 1222211111 DzC

20、yBxADzCyBxAL 的的平平面面束束为为则则过过直直线线* *六、平面束六、平面束例例15. 15. 求直求直线线 0101zyxzyx在平面在平面上的投影直线方程上的投影直线方程. .解：过已知直线的平面束方程解：过已知直线的平面束方程从中选择从中选择(1) 1(1) 1( 1) 10 得10,0.yzxyz 这是投影平面这是投影平面(1)(1)( 1)( 1)0 xyz 1(1)0 xyzxyz 即即0 zyx使其与已知平面垂直：使其与已知平面垂直： 从而得投影直线方程从而得投影直线方程1, .432, 01,02121）的的平平面面方方程程，的的交交线线且且过过点点（与与求求通通过过：已已知知平平面面 zyxzyx解：过交线的平面束方程解：过交线的平面束方程23069 0)1( zyxzyx 将点将点(2, 3, -4)(2, 3, -4)代入代入, ,得得从而得所求平面方程为从而得所求平面方程为035 zyx16例例内容小结内容小结1.平面基本方程:一般式点法式截距式0DCzByAx)0(222CBA1czbyax三点