ch9-4-1-2线性方程解的存在性与结构新ppt课件

1、线性微分方程第四节一、二阶线性微分方程和解的存在性一、二阶线性微分方程和解的存在性 第九章 研究弹簧振动问题研究弹簧振动问题弹簧下端，弹簧下端，设有一重物铅直悬挂于设有一重物铅直悬挂于处于平衡状态处于平衡状态向向下下现现将将重重物物自自平平衡衡位位置置 O开开，拉拉开开一一段段距距离离后后突突然然松松则则重重物物在在弹弹性性力力作作用用下下，动动将围绕平衡位置上下振将围绕平衡位置上下振，设重物质量为设重物质量为 m振动过程中物体对平衡振动过程中物体对平衡，的位移为的位移为位置位置)(tyO则有则有)1()0( kykf弹弹性性恢恢复复力力：表示弹簧的弹性系数表示弹簧的弹性系数其中其中kO)(t

2、yy一、二阶线性微分方程和解的存在性一、二阶线性微分方程和解的存在性由牛顿第二定律，得由牛顿第二定律，得，22ddtymky 即即0dd22 kytym)1(无阻尼自由振动方程无阻尼自由振动方程 2成成正正比比的的阻阻力力：到到与与速速度度若若在在运运动动过过程程中中，还还受受vtyfdd2 则则由由牛牛顿顿第第二二定定律律，得得，22ddddtymtyky 即即0dddd22 kytytym )2(有阻尼自由振动方程有阻尼自由振动方程 3作用于物体：作用于物体：若另有一周期性的外力若另有一周期性的外力，thf sin3 则有则有，22ddsinddtymthtyky 即即thkytytym

3、sindddd22 )3(有阻尼强迫振动方程有阻尼强迫振动方程式均可归结为式均可归结为、)3()2()1()()()(xfyxQyxPy 称为称为二二阶阶线线性性微微分分方方程程，若若0)( xf0)()( yxQyxPy齐次线性方程齐次线性方程，若若0)( xf)()()(xfyxQyxPy 非齐次线性方程非齐次线性方程无关的常数，无关的常数，是与是与、若若xqp称为称为则则)( xfyqypy 二阶常系数线性方程，二阶常系数线性方程，程程否则称为变系数线性方否则称为变系数线性方定理定理1解的存在唯一性定理）解的存在唯一性定理）初初值值问问题题及及任任意意的的初初始始值值初初始始点点上上连连

4、续续，则则对对任任意意的的在在区区间间如如果果函函数数,),(,)(),(),(100RyybaxbaxfxQxP 1000)(,)()()()(yxyyxyxfyxQyxPy上上的的解解存存在在而而且且唯唯一一。在在,ba阶阶线线性性微微分分方方程程：一一般般地地，n)()()()1(1)(xfyxpyxpynnn 复习复习: : 一阶线性方程一阶线性方程)()(xQyxPy 二、二、 二阶线性方程解的结构二阶线性方程解的结构1. 1. 二阶齐次线性方程解的结构二阶齐次线性方程解的结构讨讨论论二二阶阶线线性性齐齐次次方方程程1 1性性质质的的解解，则则方方程程是是，若若0)()()()(21

5、 yxQyxPyxyxy)()(2211xyCxyC 为任意常数为任意常数，其中其中21CC即即 线性齐次方程的任意两个特解的线性组合仍为该方线性齐次方程的任意两个特解的线性组合仍为该方程的解。程的解。.也也是是它它的的一一个个解解)5(0)()( yxQyxPy说明说明:不一定是所给二阶齐次方程的通解不一定是所给二阶齐次方程的通解.例如例如,)(1xy是某二阶齐次方程的解是某二阶齐次方程的解,)(2)(12xyxy也是齐次方程的解也是齐次方程的解 )()2()()(1212211xyCCxyCxyC 并不是通解并不是通解但是但是)()()1(2211xyCxyCy 那么那么为解决通解的判别问

6、题为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与下面引入函数的线性相关与 线性无关概念线性无关概念. ，齐齐次次方方程程的的解解是是显显然然0)2( y称为平凡解称为平凡解定定义义即即数数倍倍，的的常常其其中中之之一一是是另另一一个个，上上的的两两个个函函数数区区间间)()(21xyxyI，或或kxyxykxyxy )()()()(1221)()(21xyxy与与则则称称，上上在区间在区间线性相关线性相关I或或否否则则称称它它们们)(线线性性独独立立线线性性无无关关例例如如，xysin1 ，xycos2 xyytan21 则则不不是是常常数数，线线性性无无关关与与所所以以21yy注意注意不不

7、为为零零线线性性无无关关的的两两个个函函数数都都)1(数不会合并在一起数不会合并在一起线性无关，两个任意常线性无关，两个任意常)2(2 2定定理理，则则的的两两个个线线性性无无关关的的特特解解是是，若若)5()()(21xyxy)()(2211xyCxyC 的的通通解解，是是)5(为为任任意意常常数数，其其中中)(21CC的解。的解。且它包含了方程的所有且它包含了方程的所有)5(0)()( yxQyxPy个个函函数数的的情情形形：推推广广到到线线性性相相关关与与无无关关的的概概念念n个个数数的的上上，若若存存在在不不全全为为定定义义在在区区间间，设设nIyyyn021nnnnyyyyCyCyC

8、CCC，则则称称使使，212211210 上上线线性性相相关关；在在区区间间 I否则称为线性无关否则称为线性无关3定定理理构构）阶阶线线性性齐齐次次方方程程解解的的结结n(0)()()1(1)( yxpyxpynnn阶阶齐齐次次方方程程是是若若函函数数nxyxyxyn)(),.,(),(21个个线线性性无无关关的的特特解解，的的n则则)(.)()()(2211xyCxyCxyCxynn 含含了了方方程程的的所所有有解解。是是该该方方程程的的通通解解，且且包包为为任任意意常常数数）nCCC,.,(212 2、 二阶非齐次线性方程解的结构二阶非齐次线性方程解的结构)()()(xfyxQyxPy (

9、6)上上的的连连续续函函数数均均为为区区间间 IxfxQxP)(),(),(方方程程的的解解具具有有以以下下性性质质2性性质质）的的任任意意两两个个特特解解，是是非非齐齐次次方方程程（和和如如果果函函数数6)()(21xyxy)()()(21xyxyxy ）的的解解）所所对对应应的的齐齐次次方方程程（是是非非齐齐次次方方程程（56那么那么分析：分析：的的通通解解，）是是（设设5cy则则有有0)()( cccyxQyxPy的一个特解，的一个特解，是是若若)6(py则则有有)()()(xfyxQyxPyppp )()(2211xyCxyCyc 且且是是任任意意常常数数。线线性性无无关关，其其中中，

10、2121,)(),(CCxyxy满足：满足：从而从而hcyy )( )()( )()(pcpcpcyyxQyyxPyy )()()()(pppcccyxQyxPyyxQyxPy )(xf 含有两个任意参数，含有两个任意参数，又由于又由于pcyy 的的通通解解是是所所以以)6(pcyy 3 3定理定理)(解的结构定理解的结构定理的一个特解，的一个特解，是是的通解，的通解，是是若若)6()()5()(xyxypc的的通通解解是是则则)6()()(xyxypc 已已知知例例1xxxxxexyexeyexey2323223151)15151 ，（，通通解解的的三三个个特特解解，写写出出方方程程是是方方

11、程程xeyyy26 解解的的两两个个特特解解：易易知知对对应应齐齐次次方方程程06 yyy124yyy )51()15122323xxxxexeexe （，xxee2351 315yyy xxxexexe2235151 xe3 所所求求通通解解为为xxxxexeCeeCy23223151)51( 例例2 已知微分方程已知微分方程)()()(xfyxqyxpy 个解个解,2321xxeyeyxy 求此方程满足初始条件求此方程满足初始条件3)0(,1)0( yy的特解的特解 .解解:1312yyyy 与是对应齐次方程的解是对应齐次方程的解, 且且 xexeyyyyxx21312常数常数因而线性无关

12、因而线性无关, 故原方程通解为故原方程通解为 )()(221xeCxeCyxxx代入初始条件代入初始条件, 3)0(,1)0( yy,2,121 CC得得.22xxeey 故所求特解为故所求特解为有三有三 ，考考虑虑：若若方方程程为为xeyyyxsin62 其其解解的的情情况况如如何何？说明：说明：xyyyeyyyxsin66 2 的的一一个个特特解解与与方方程程方方程程方程的特解方程的特解的一个特解之和是上述的一个特解之和是上述的的一一个个解解，是是方方程程设设xeyyyy216 则有则有xeyyy21116 )7(的的一一个个解解，是是方方程程设设xyyyysin6 2 则则有有xyyys

13、in6222 )8(，)8()7( 满足满足即知即知21yy xeyyyyyyxsin)(6)()(2212121 ) )叠叠加加原原理理( (4 4定定理理的的解解，是是的的解解，是是若若)()()()()()(2121xfyxQyxPyyxfyxQyxPyypp 的的解解是是则则)()()()(2121xfxfyxQyxPyyypp 三、二阶线性常系数微分方程的解法三、二阶线性常系数微分方程的解法0 qyypy二阶线性常系数齐次方程的标准形式二阶线性常系数齐次方程的标准形式)(xfqyypy 二阶线性常系数非齐次方程的标准形式二阶线性常系数非齐次方程的标准形式1. 二阶常系数齐次线性方程的

14、通解二阶常系数齐次线性方程的通解0 yqypy)1(分析：分析：，不妨设不妨设xey 式式，代代入入)1(，02 xxxqeepe ，由于由于0 xe 则有则有02 qp )2(定定义义的的称称为为方方程程特特征征方方程程00 2 yqypyqp 的的根根称称为为特特征征方方程程特特征征根根02 qp 的两个根为的两个根为易知易知02 qp 2422 , 1qpp 情形情形1，042 qp的实根：的实根：特征方程有两个不相等特征方程有两个不相等21 于是，于是，有两个特解：有两个特解：方程方程0 yqypy，xxeyey 211并并且且)x(xxeee2121 不不是是常常数数，的的通通解解为

15、为因因此此方方程程0 qypyyxxeCeCy2121 情情形形 2，042 qp实根：实根：特征方程有两个相等的特征方程有两个相等的 21于于是是，有一个特解：有一个特解：方程方程0 yqypyxey 1，下下面面寻寻找找另另一一个个特特解解2y不为常数不为常数且要求且要求12yy，设设)(12xuyy ，即即)(2xueyx 则则，)(2uueyx ，)2(22 uuueyx ，得得代代入入方方程程0 qypyy，0)()2( 2 uqeuupeuuuexxx 即即，0)()2(2 uqpupuex 由于由于，02 qp ，02 p 则有则有0 u，不妨取不妨取xu 则则另另一一个个特特解

16、解为为xxey 2的的通通解解为为从从而而方方程程0 qypyyxxxexCCxeCeCy )(2121 情情形形 3，042 qp根根：特特征征方方程程有有一一对对共共轭轭复复)0(2 , 1 i于于是是，有两个特解：有两个特解：方程方程0 yqypy，xiey)(1 xiey)(2 利用欧拉公式：利用欧拉公式： sincosiei 于于是是，xixeey 1，)sin(cosxixex xixeey 2，)sin(cosxixex 而而)(2121yy ，xex cos )(2121yyi ，xex sin 且且xxexexx cotsincos 不不是是常常数数的的通通解解为为因因此此0

17、 qypyy)sincos(sincos2121xCxCexeCxeCyxxx 求求解解步步骤骤：二二阶阶常常系系数数齐齐次次方方程程的的；写出方程的特征方程写出方程的特征方程0)1(2 qp 求求出出特特征征方方程程的的根根；)2(同同情情况况写写出出方方程程的的通通解解）根根据据特特征征方方程程根根的的不不（3特特征征方方程程的的根根微分方程的解微分方程的解21 xxeCeCy2121 21 xexCCy )(21 i 2, 1)sincos(21xCxCeyx 解解求下列方程的通解或特求下列方程的通解或特例例1；032)1( yyy；，2402)2(00 xxyyyyy054)3( yy

18、y解解)1(，特征方程特征方程0322 特特征征根根：，3121 所所以以通通解解为为xxeCeCy321 )2(，特征方程特征方程0122 特特征征根根：121 所所以以通通解解为为xexCCy)(21 代入通解中，得代入通解中，得将将40 xy；41 C从从而而xexCy)4(2 即有即有，)4(22CxCeyx 得得代代入入20 xy62 C于于是是所所求求特特解解为为xexy)64( ，特征方程特征方程0542 特特征征根根：i 22, 1 所所以以通通解解为为)sincos(212xCxCeyx )3(系系数数齐齐次次可可推推广广到到一一阶阶或或高高阶阶常常注注,法法利利用用特特征征根根求求通通解解的的方方线线性性方方程程的的求求解解中中求解一阶方程求解一阶方程例如例如03 yy，特征方程特征方程03 特征根特征根3 因因此此通通解解为为xCey3 ，的的钉钉子子上上一一链链条条挂挂在在一一个个无无摩摩擦擦一一边边假假定定运运动动开开始始时时链链条条自自米，米，垂下垂下 8米米，另另一一边边垂垂下下 10需多少时间？需多少时间？试问整个链条划过钉子试问整个链条划过钉子解解度度为为链链条条垂垂下下较较长长一一边边的的长长设设在在时时刻刻 t米，米，s，链条的线密