随机信号分析-随机信号的时域分析ppt课件

1、tt第二章第二章 随机信号的时域分析随机信号的时域分析 信号是个随时间、空间、或其它某个参量变化的，携带某种信息的物理量。通常遇到最多的是时间信号，是随时间变化的物理量。因此，人们用统计学方法建立了随机信号的数学模型因此，人们用统计学方法建立了随机信号的数学模型随机过程。随机过程。确定信号确定信号幅度、相位均随时间做幅度、相位均随时间做有规律的、知的变化。可以用确定的有规律的、知的变化。可以用确定的时间函数来描画。可以准确的与测其时间函数来描画。可以准确的与测其未来的变化。未来的变化。随机信号随机信号幅度、相位均随时间做幅度、相位均随时间做无规律的、未知的、随机的变化。无无规律的、未知的、随机

2、的变化。无法用确定的时间函数来描画。无法准法用确定的时间函数来描画。无法准确的与测其未来的变化。确的与测其未来的变化。但，随机信号的统计规律那么是确定但，随机信号的统计规律那么是确定的。的。 下面由一个实验实例来建立随机过程的概念。举例： 在一样条件下，对同一雷达接纳机的内部噪声电压或电流经过大量的反复测试后，设观测到的一切的能够结果有n种，记录下n个不一样的波形。2.1 随机过程的根本概念随机过程的根本概念1kmS10intttt111( ,)( ,)( )iX tX tx t( ,)( ,)( )kikkX tX txt( ,)( ,)( )mimmX tX txt( )iX t 以上S是

3、一切能够结果的集合，虽然在每次丈量以前，不能事先确定哪条波形将会出现，但事先可以确定“总会在这n个波形中“出现一个。即：S中每一个结果k总有一个波形X(t，k)与其对应。这是一个典型的“随机过程模型。1kmS10intttt111( ,)( ,)( )iX tX tx t( ,)( ,)( )kikkX tX txt( ,)( ,)( )mimmX tX txt( )iX t 虽然从总体上看随机过程各次所得的结果能够不尽一样，是随机的。但是就其单次实验结果k而言，它是确定的，是可以用一个确定时间函数 表示的。 因此，假设能察看到随机过程的一切能够结果，每个结果用一个确定函数表示，那么随机过程那

4、么可以用一切这些确定函数的总体 来描画。( )kx t1( ),( ),( )kmx tx txt 相对一切实验结果S而言，这一族时间函数的总体 构成了随机过程，其中 称随机过程的样本函数，而一切样本函数的集合 那么构成了随机过程的“样本函数空间。1( ,),( ,),( ,)kmX tX tX t( )kx t1( ),( ),( )kmx tx txt 可见随机过程必定是两个参变量的函数X(t，)， tT，S。对于某个时辰t=ti， X(ti，) 通常称为随机过程X(t，)在t=ti时辰的“形状。它仅是参变量的函数，对一切实验结果S而言，它随机地取X(ti ，1) ， X(ti ，k)，

5、， X(ti，n) 中的任一个“值 所以随机过程X(t，)在t=ti时辰的“形状 X(ti，) 是定义在S上的一个“随机变量Xi。 而随机过程X(t，)在t=tj时辰的“形状 X(tj，)是定义在S上的另一个“随机变量Xj 。对于随机过程X(t)而言：固定， t变化。 一个确定的时间函数。t 固定， 变化。 一个随机变量形状。 t固定， 固定。 一个确定的值。 ， X(t， n)， t变化， 变化。 随机过程一族时间函数的总体， 或随时间变化的随机变量普通随机变量写成:X,Y,Z。普通随机过程写成:X(t),Y(t),Z(t)普通样本函数写成:( ), ( ), ( )x ty tz t 随着

6、t的变化，得到一个个不同的“形状 X(t1，) ,X(ti，), , X(tn，)是一个个不同的随机变量X1,X2, , Xm。所以又可以将随机过程X(t，)看成一个“随时间变化的随机变量X(t) 。2形状延续形状取值延续，即幅度上也延续。当t固定时，其形状Xj是延续型随机变量。 如其概率密度xjfj(xj)2.1.2 随机过程的分类一、按形状和样本函数是延续还是离散来分类。延续型随机过程 X(t, ).1时间延续当固定时，其样本函数 是时间t的延续函数 如：( )kx t( )kx t0jt( )jX t离散型随机过程 X(t,) 1形状离散当t固定时，形状Xj取值离散如1，1，其形状是离散

7、型随机变量。其概率分布如：2时间延续当固定时，其样本函数 是时间t的延续函数如：101jx12jP( )kx t( )kx t101t延续随机序列 离散时间t用序号n替代 1形状延续当t固定时，形状Xj取值延续，是延续型随机变 量。其概率密度2时间离散当固定时，其样本函数 在时间t上是离散的 所以构成序列。如：( )jf xjx( )kx t( )kx nn取值延续( )X n离散随机序列 1形状离散形状Xj取值离散，是离散型随机变量。 如：xpj1-11/22时间离散样本函数 在时间t上也是离散的(序列)。tXi(t)+1-1取值离散( )ix t( )X n二、按随机过程的概率分布或性质来

8、分类1)、高斯过程、泊松过程、维纳过程其每一个形状Xj均为高斯分布、泊松分布、维纳分布。2)、平稳随机过程过程的一阶，二阶矩不随时间的变化而变化3)、独立增量过程每一个形状的增量之间相互独立。213、随机过程的概率分布例：1212( )( )( )( )( )0ininX tX tX tX tX tttttt随机过程X(t)在恣意n个时辰t1,t2,tn形状X(t1) ,X(t2) ,X(tn)构成n维随机变量 X(t1),X(t2),X(tn) ，当t0,n 时的 n维随机变量近似随机过程。因此，可以借用对n维随机变量的分析研讨来“替代或“近似对随机过程的分析研讨。所以定义随机过程X(t)的

9、一维分布函数：一维概率密度：一、随机过程的一维分布随机过程X(t)在任一固定时辰t1T，其形状是一维随机变量，其分布函数 可以反响随机过程X(t)在整个时间段T上的一切一维形状的概率分布情况。也变化。变化，随着，因为换成如果将);(t)();(111txFtTttxtXPtxFXX);(txFXxtxFtxfXX);(),(TtxtXPtxFX.)();( )cos,( )Y tXt XY t例：已知随机过程为高斯分布的随机变量，为常数。求的一维概率密度函数。22()2X1 ( )2XXx mXXfxe解：已知 的概率密度： 11111111111=( ) cos (, )( )|1=,cos

10、cosYXt tY tYY tXtdxfy tfxdyYdxXtdyt在时刻，是一个随机变量，令：根据随机变量函数的概率密度的求法：求反函数：2121211211()cos2111(cos)2(cos)111 (, )| cos|21 =2| cos|XXXXymtYXymttXfy tetet故：2111(cos,(cos) )XXYN mtt因此：，仍是高斯分布一维分布只能描画随机过程X(t)在任一孤立时辰的统计特性，而不能反响随机过程X(t)的各个形状之间的关系。二、随机过程的二维分布随机过程X(t)在恣意两个固定时辰t1T， t2T的形状X(t1) ,X(t2)构成二维随机变量X1，X

11、2，其结合分布函数：随着(t1, t2)的变化， 可以表示随机过程X(t)在整个时间段T上，恣意两个时辰的形状的结合概率分布情况。TttxtXxtXPttxxFX2122112121,.)(;)(),;,(),;,(2121ttxxFX二、随机过程的二维分布所以定义随机过程X(t) 二维分布函数：随机过程X(t) 二维概率密度：21212122121),;,(),;,(xxttxxFttxxfXXTttxtXxtXPttxxFX2122112121,.)(;)(),;,(),;,(2121ttxxFX同多维随机变量一样，随机过程X(t)的n维概率分布具有以下主要性质： 1 2 30),.,;,

12、.,(1),.,;,.,(0),.,.,;,.,.,(2121212121nnXnXninXtttxxxftttFttttxxxF45)6假设X(t1), X(t2),X(tn)统计独立，那么有1.),.,;,.,(212121 nnnXdxdxdxtttxxxf),.,;,.,(.),.,;,.,(2121212121mmXnmmnnXtttxxxfdxdxdxtttxxxf 12121122( ,.,; , ,.,)( , )(, ).(, )XmmXXXnnfx xx t ttfx t fx tfx t三、随机过程X(t) 的n维概率分布 随机过程X(t)在恣意n个时辰t1,t2,tn形

13、状X(t1)、X(t2)、X(tn)构成n维随机变量 X1,X2,Xn 。用类似上面的方法，我们可以定义随机过程X(t)的n维分布函数为：)(,.,)(,)(),.,;,.,(22112121nnnnXxtXxtXxtXPtttxxxFn维概率密度为：nnnXnnnXxxtttxxxFtttxxxf.),.,;,.,(),.,;,.,(121212121214、随机过程的数字特征一、数学期望假设将过程X(t)中的 t 看成是固定的，那么 X(t)就是一个随机变量，它随机的取值x，其在 t 时辰取x值的概率密度为 。据期望的定义：( )( , )( )XXE X tx fx t dxmtmx(t

14、) 描画了X(t)一切样本函数在各个时辰摆动的中心即X(t)在各个时辰的形状(随机变量)的数学期望。( , )Xfx t)(0)(tmttXX1( )Xmt1t( )Ximtit二、随机过程X(t)的均方值和方差同理，把过程X (t)中的t视为固定时， X(t)为时辰t的形状随机变量。其二阶原点矩：将t视为变量时，即为过程X (t)的均方值。22( )( , )XE Xtx fx t dx222 ( ) ( )( ) ( )( , )( )XXXXD X tE X tm tx m tfx t dxt同理，过程X(t)的方差：过程X(t)的均方差：)()()(2tttXDXXmiiiYyytpt

15、yf1)()();()()(iiytYPtp对离散型随机过程Y(t),tT,假设一切形状取值的样本空间为Sy1,y2,ym。可用利函数表示其一维概率密度。即： iI=1,m其中 表示t时辰形状Y(t)取值为yi的概率。故离散型随机过程Y(t)的数学期望为：11112221221( )( ) ()( )()( )()( )( )( )( )( ) ( )( )( )mmYiiiiiiimmiiiiiiimYiiimXiYiim typ tyy dyp t yyy dyp t yyy dyy p ttE Yty p ttD Y tym tp t均方值为：方差为：三、随机过程的自相关函数下面两个随机

16、过程 X(t)， Y(t) 它们的期望和方差都一样，mx(t)=my(t)，x(t)= y(t)。但从样本函数看有明显不同。X(t)随时间变化慢，不同时辰的两个形状X(t1),X(t2)之间的依赖性强相关性强。Y(t)随时间变化快，不同时辰的两个形状Y(t1),Y(t2)之间的依赖性弱相关性弱。因此期望和方差不能反响过程内部变化快慢、相关性强弱的情况。ttttmttXXX210)()()(ttttmttYYY210)()()(普通用来描画随机过程“恣意两个时辰的两个形状之间内在联络的重要数字特征 自相关函数定义为：它反响了恣意两个时辰的形状X(t1) 与X(t2)之间的“相关程度。 21212

17、1212121),;,()()(),(xdxttxxfxxtXtXEttRXX12112211221212121212121222( ,)( )( ) ( )( )( ) ( )(,; ,)( ,)( ,)( )( )( , )( )( , )( )( )XXXXXXXXXXXXXCt tEX tmtX tmtxmtxmtfx x t tdx xCt tRt tmtmttttRt tE XtCt tD X tt 时，过程的均方值。过程的方差。形状X(t1) 与X(t2)之间的相关程度也可以用自协方差函数来描画：随机过程的自相关系数定义为：假设离散型随机过程Y(t)一切形状能够取值的范围是y，那

18、么该过程的自相关函数为：11212212( )0( , )( , ).( )0( )( )XXXXXXtC t tr t tttt121 2112212( , ) ( ), ( )XyyR t tkkP Y tk Y tkkk注：随机过程的期望、方差、自相关函数、协方差函数、自相关系数等存在的条件是：)()(2tXEtXE例2.2、设随机过程X(t)=Ut，U在(0,1)上均匀分布，求EX(t)，DX(t)，Rx(t1,t2)，Cx (t1,t2)。101( )0Uufu，其它解：10( ) ( )2UtE X tE U tt E Utufu dutudu 212121212122121212

19、0( ,)( )( )( )3XURt tE X t X tE U t U tttE Uttttufu duttu du121212121212( ,)( ,)( )( )32212XXttttttCt tRt tm tm t2( )( , )12XtD X tCt t例2.3 假设一随机过程由以下图所示的四条样本函数组成，而且每条样本函数出现的概率相等，求RX (t1, t2) 。X(t1) X(t2) Pi1151/42241/43621/44311/4123412( )6543210X tttt解：由题意可知，随机过程X(t)在 t1, t2 两个时辰为两个离散随机变量。所以可列出结合分

20、布率如下：1212( , )1(1 52 46 23 1)74iXiRt tkkPS 1212112212( , )( ),( ),XXRt tk kP X tk X tkk k 一次结果中，决不会发生t1时辰的形状在3上取值，而到t2时辰的形状在4上取值。k1,k2不在一条样本上，此情况发生的概率为0。即PX(t1)=k1,X(t2)=k2 =0。 由于一次实验结果只需一个样本出现，假设此次样本3出现，那么t1时辰的形状必在3上取值，且t2时辰的形状必还在3上取值。 k1,k2必在一条样本上，此情况发生的概率为1/4。 PX(t1)=k1,X(t2)=k2 = 1/4。 样本i发生的概率。1

21、( , )( , )2XXj xfx tCu ted0),()()(nXnnntQjtXE( )( , )( ; )jX tj xXXCtE eefx t dx2.1.5 随机过程的特征函数一、一维特征函数将X(t)视为某一固定t时辰的形状, 那么随机变量X(t)的特征函数：将t看成变量， 就是随机过程X(t)的特征函数。( , )XCt特征函数的逆变换：n阶原点矩：二维特征函数二维特征函数 随机过程随机过程X(t)在恣意两个时辰在恣意两个时辰t1,t2的形状构成二维随机的形状构成二维随机变量变量 X(t1), X(t2) ，它们的结合特征函数为：，它们的结合特征函数为：又称作随机过程又称作随

22、机过程X(t)的二维特征函数。的二维特征函数。121211221 122121212( ,; , )exp( )( )exp()( ,; , )XXCu u t tEju X tju X tju xju xfx x t t dx dx 二维特征函数二维特征函数 的逆变换：的逆变换：1212( ,; , )XCu u t t 212211212122121)(exp),;,()2(1),;,(duduxuxujttuuQttxxfXX所以，随机过程所以，随机过程X(t)的相关函数可以用其二维特征函数来求：的相关函数可以用其二维特征函数来求：21212120122121 1221212120121

23、212121212(,; ,)exp()(,; ,)(,; ,)( ,)XXXXCu u t tu ujx xj u xu xfx x t tdx dxxx fx x t tdx dxRt t 212121212012(,; ,)( ,)XXuuCu ut tRt tuu 假设将上式两边对变量假设将上式两边对变量1，2各求一次偏导数，各求一次偏导数，据逆转公式，由过程据逆转公式，由过程X(t)的的n维特征函数可求得维特征函数可求得n维概率密度。维概率密度。11111 1111(,.,; ,.,)exp( ).( ).exp(.)(,.,; ,.,).XnnnnnnXnnnCuu ttEju X

24、 tju X tju xju xfxx ttdxdx11111 11( ,.,; ,., )1.( ,.,; ,., ) exp(.).(2 )XnnXnnnnnnfxx ttCuu ttj u xu xdudu三三. n维特征函数维特征函数离散型随机过程的特征函数离散型随机过程的特征函数 将将t固定，那么离散型随机过程固定，那么离散型随机过程X(t)是在是在t时辰的形状，假设时辰的形状，假设X(t)(随机变随机变量量)随机的取值随机的取值i ，i=1,2,，其概率，其概率 ，( )( )iip tP X tx那么离散型随机过程的一维特征函数定义为那么离散型随机过程的一维特征函数定义为1212

25、121212( ; )( )(,; ,)( );( )( ,)iiiijijjijuxC u teP X txC u u t tju xju xeP X tx X txt tT 同理，定义两个时辰同理，定义两个时辰t1,t2的形状的形状X(t1) ，X(t2)的结合特征函数的结合特征函数为离散型随机过程的二维特征函数为离散型随机过程的二维特征函数2.2.1 平稳随机过程平稳随机过程粗略的说粗略的说随机过程的统计特征不随时间的推移而变化。随机过程的统计特征不随时间的推移而变化。严平稳随机过程严平稳随机过程 1. 定义定义 设有随机过程设有随机过程 X(t) , t T，假设对于恣意，假设对于恣意

26、n和恣意和恣意t1t2 0)以后，以后， rx( )就很小了，可就很小了，可以近似以为以近似以为X(t)与与X(t+ )不相关。不相关。这个可以以为这个可以以为X(t)与与X(t+ )不相关不相关的时间间隔的时间间隔“ 0 称为称为“相关时间相关时间。由图可见，由于过程不同，自相关系数由图可见，由于过程不同，自相关系数r ( )也不同，其不相关的时也不同，其不相关的时间间隔间间隔“ 0 也不一样。也不一样。通常定义相关时间通常定义相关时间“ 0的方法有两种：的方法有两种：1、0()0.05Xr2、000001( )( )( )( )cos1( )XXXrdrraad ，令矩形面积所包围的面积当

27、时，定义：)()(21XX10,1020,20)(1tx)(2txt快速起伏缓慢变化10相关时间相关时间“ 0所反映的意义：所反映的意义：由图可见，曲线越陡，相关时间由图可见，曲线越陡，相关时间“ 0越小，意味着过程的恣意两越小，意味着过程的恣意两个形状个形状X(t),X(t+ ) 不相关所要求的时间差越短。不相关所要求的时间差越短。样本变化越猛样本变化越猛烈样本起伏越大。反之，且反。烈样本起伏越大。反之，且反。因此，相关时间因此，相关时间 0是对过程的恣意两个形状是对过程的恣意两个形状X(t),X(t+ ) 随随 变成变成不相关不相关“快、慢的一种度量。快、慢的一种度量。例例2.8 知平稳过

28、程知平稳过程X(t)的自相关函数的自相关函数 ，求其自，求其自相关系数和相关时间。相关系数和相关时间。2( )3expXR2222220( )( )( )333( )(0)(0)( )333XXXXXXXCRReeeeCRRee00()0.05ln(0.05)1.731X解：由相关系数的定义解：由相关系数的定义2000( )0.8862Xded由相关时间定义一：由相关时间定义一：由相关时间定义二：由相关时间定义二：一一.两个随机过程的结合分布两个随机过程的结合分布 设有两个随机过程设有两个随机过程 ,它们的概率密度它们的概率密度分别为分别为),(,),(TttYTttX),.,;,.,(212

29、1nnXtttxxxf1212(,.,; , ,.,)Ymmfy yyt tt 1、两个过程的、两个过程的n+m维结合分布函数维结合分布函数11111111(,.,;,.,; ,., ,.,)( ),.,( ), ( ),., ()XYnmnmnnmmFxxyytt ttP X txX tx Y tyY ty2、两个过程的、两个过程的n+m维结合概率密度维结合概率密度1111111111( ,.,;,.,; ,., , ,.,)( ,.,;,.,; ,., , ,.,).XYnmnmn mXYnmnmnmfxxyytt ttFxxyytt ttxxyy 2.3 两个随机过程的结合统计特性两个随

30、机过程的结合统计特性11111111( ,.,;,.,; ,., , ,.,)( ,.,;,.,;,.,.,)XYnmnmXYnmnmfxxyytt ttfxxyytttt tttt3、假设、假设X(t)与与Y(t)对于恣意的对于恣意的 n, m, 都有都有11111111(,.,;,.,; ,., ,.,)(,.,; ,.,)(,.,; ,.,)XYnmnmXnnYmmFxxyyttttFxxttFyytt或或11111111(,.,;,.,; ,., ,.,)(,.,; ,.,)(,.,; ,.,)XYnmnmXnnYmmfxxyyttttfxxttfyytt那么称随机过程那么称随机过程X

31、(t)和和Y(t)是相互独立的。是相互独立的。4、假设两个过程的恣意、假设两个过程的恣意n+m维结合分布均不随时间平移维结合分布均不随时间平移 而变化，而变化，那么称此两过程为结合严平稳或者严平稳相依。那么称此两过程为结合严平稳或者严平稳相依。t两个随机过程的相互关和正交两个随机过程的相互关和正交1、相互关函数、相互关函数 定义两个随机过程定义两个随机过程X(t)与与Y(t)的相互关函数的相互关函数为为)(),(21tYtX121212( ,)( ) ( )( , ; ,)XYXYRt tE X t Y tx y fx y t tdxdy 式中式中 是过程是过程X(t)与与Y(t)在两个时辰在

32、两个时辰t1, t2的形状。的形状。2、协方差函数、协方差函数 定义过程定义过程X(t)和和Y(t)的互协方差函数为的互协方差函数为 dxdyttyxftmytmxtmtYtmtXEttCXYYXYXXY),;,()()()()()()(),(2121221121式中式中 分别是随机变量分别是随机变量 的数学期望。此式的数学期望。此式也可写成也可写成)(),(21tmtmYX)(),(21tYtX)()(),(),(212121tmtmttRttCYXXYXY121212( , )0( , )( )( )XYXYXYCt tRt tmt m t或 ( , )0XYRt t ( , )0XYCt

33、 t 121212( , )0( , )( )( )XYXYXYRt tCt tmtm t 或 3、两个过程正交、两个过程正交4、两个过程互不相关、两个过程互不相关假设两个过程假设两个过程X(t)和和Y(t)对恣意两个时辰对恣意两个时辰 t1，t2 都有都有那么称那么称X(t)和和Y(t)两个过程正交。两个过程正交。那么称两个过程那么称两个过程X(t)和和Y(t)在同一时辰的形状正在同一时辰的形状正交。交。假设两个过程假设两个过程X(t)和和Y(t)对恣意两个时辰对恣意两个时辰 t1，t2 都有都有那么称那么称X(t)和和Y(t)两个过程互不相关。两个过程互不相关。假设仅在同一时辰假设仅在同一

34、时辰 t 存在存在假设仅在同一时辰假设仅在同一时辰 t 存在存在那么称两个过程那么称两个过程X(t)和和Y(t)在同一时辰的形状互不相关。在同一时辰的形状互不相关。 三、两个随机过程结合平稳三、两个随机过程结合平稳1、定义、定义 假设假设X(t) 、Y(t)为两个平稳随机过程，且它们的相互关函数仅为两个平稳随机过程，且它们的相互关函数仅是单变量是单变量的函数，即的函数，即那么称过程那么称过程X(t)和和Y(t)为为“结合宽平稳，结合宽平稳， 简称简称“结合平稳。结合平稳。2、性质、性质(1)、相互关函数和互协方差函数均不是偶函数、相互关函数和互协方差函数均不是偶函数122121),()()()

35、,(ttRtYtXEttRXYXY( )()( )()XYYXXYYXRRCC)()()()()()(YXXYRtXtYEtYtXER0)()(XYYXRR(0)(0)XYYXRR(2)、相互关函数和互协方差函数的取值满足：、相互关函数和互协方差函数的取值满足：2222( )(0)(0)( )(0)(0)XYXYXYXYXYRRRCCC 221( )(0)(0)211( )(0)(0)22XYXYXYXYXYRRRCCC(3)、 表示两个平稳过程正交。表示两个平稳过程正交。(5)、 表示两个平稳过程互不相关。表示两个平稳过程互不相关。( )0XYR，(4)、 两个平稳过程一切同一时辰的形状正交

36、。两个平稳过程一切同一时辰的形状正交。0)0(XYR( )0XYC，(6)、 两个平稳过程一切同一时辰的形状互不相关。两个平稳过程一切同一时辰的形状互不相关。(0)0XYC3、两个结合平稳过程的相互关系数、两个结合平稳过程的相互关系数YXYXXYYXXYXYmmRC)()()( )1( )0( )( )XYXYX tY t一般 ， 当 时，过程与互不相关。2.4 复随机过程不讲复随机过程不讲“实随机过程实随机过程可以看成随时间变化的可以看成随时间变化的“实随机变量。实随机变量。“复随机过程复随机过程可以看成随时间变化的可以看成随时间变化的“复随机变量。复随机变量。一、复随机变量一、复随机变量1

37、、定义：、定义：复随机变量复随机变量 Z=X+jY 由实随机变量由实随机变量X,Y构成。构成。2、复随机变量的数字特征定义的原那么：、复随机变量的数字特征定义的原那么：必需满足：在必需满足：在 Y=0 时时 Z 的数字特征，就是的数字特征，就是 X 的数字特征。的数字特征。()()()()()ZXYZXYZZmXmj YmXjYZZmXmj YmXjYYXZmjmYEjXEZEm(1)复随机变量复随机变量Z的数学期望：的数学期望：假设设中心化的复随机变量假设设中心化的复随机变量 ：Z(2)复随机变量复随机变量Z的方差：的方差：22222 ()() () () ZXYXYD ZE ZmE Z Z

38、E XmYmE XmE YmD XD Y(3)两个复随机变量两个复随机变量Z1=X1+jY1 与与 Z2=X2+jY2的协方差：的协方差：121 212121122121 21 212() ()()()()Z ZZZX XY YX YY XCE ZmZmE ZZE XjYXjYCCj CC1 12 21 12 211221122(,)(,)(,)X Y X YX YX Yfx y xyfx yfxy12120Z ZRE ZZ(6)两个复随机变量两个复随机变量Z1,Z2的正交的正交(4)两个复随机变量两个复随机变量Z1=X1+jY1 与与 Z2=X2+jY2相互独立的条件相互独立的条件(5)两个

39、复随机变量两个复随机变量Z1,Z2的互不相关的互不相关121212() ()0Z ZZZCE ZmZm复随机过程复随机过程1、定义复随机过程为：、定义复随机过程为： Z(t) = X(t) + jY(t) 式中式中X(t)和和Y(t)都是实随机过程。都是实随机过程。2、复随机过程、复随机过程Z(t)统计特性可以由统计特性可以由X(t)和和Y(t)的的2n维结合概率分布维结合概率分布 完好的描画，其概率密度为完好的描画，其概率密度为1111(,.,;,.,; ,., ,.,)XYnnnnfxxyyttttZ(t)的数学期望：的数学期望：3、复随机过程、复随机过程Z(t)的数字特征的数字特征)()

40、()()()()(tmjtmtYEjtXEtZEtmYXZZ(t)的方差：的方差：2 ( )( )( ) ( )( )( ) ( )ZD Z tE Z tm tE Z tZ tD X tD Y tZ(t)的自相关函数：的自相关函数：)()(),(tZtZEttRZZ(t)的自协方差函数：的自协方差函数：)(),(0)()(),(tZDttCtZtZEttCZZ：4、复随机过程、复随机过程Z(t)平稳的条件：平稳的条件：(X(t)和和Y(t)各自都是平稳过程各自都是平稳过程)ZYXZmmjmtm)()(),(ZZRttR1212( ,)( )()Z ZRt tE ZtZ tZ1(t)与与Z2(t

41、)的互协方差函数：的互协方差函数：两个复随机过程两个复随机过程Z1(t)， Z2(t)结合平稳的条件：结合平稳的条件：1212( ,)( )()Z ZCt tE ZtZ tZ1(t)与与Z2(t)的相互关函数：的相互关函数：Z1(t)， Z2(t)各自平稳，且：各自平稳，且：1212( ,)( )Z ZZ ZRt tR5、两个复随机过程、两个复随机过程Z1(t)， Z2(t)Z1(t) =X1(t)+jY1(t)， Z2(t)=X2(t)+jY2(t)(4) 两个复随机过程两个复随机过程Z1(t)和和 Z2(t)互不相关互不相关12( ,)0Z ZCt t(5) 两个复随机过程两个复随机过程Z

42、1(t)和和 Z2(t)正交正交12( ,)0Z ZRt t01234567nt1232.5 随机过程的微分和积分随机过程的微分和积分 在高等数学中，数列的收敛与极限是微积分的根底。在随机过在高等数学中，数列的收敛与极限是微积分的根底。在随机过程中，随机序列的收敛与极限的概念那么是随机过程微积分的根底。程中，随机序列的收敛与极限的概念那么是随机过程微积分的根底。 举例：设一电压控制电路对外来的噪声电压信号进展控制，使举例：设一电压控制电路对外来的噪声电压信号进展控制，使其稳定在某一程度。我们调查这一渐进过程。其稳定在某一程度。我们调查这一渐进过程。 设该实验共有三个结果设该实验共有三个结果S=

43、( 1,2, 3)，在，在t=1,2, ,n,上采上采样样, 随时间变化得一串随机变量随时间变化得一串随机变量X1,X2,Xn 称随机变量序列称随机变量序列X(n)。()(1)(2)(3)(4)( )X tXXXXX n( )X 123( )( )( )x tx tx t对某次实验结果对某次实验结果 而言，在样本函数而言，在样本函数 上采样得到的上采样得到的 是是一个普通数列称一个普通数列称“样本序列。样本序列。111112222212333333(1),(2),( )(1),(2),( )(1),(2),( )nnnxxx nxxxxnxxxxXxxxnx：，(,)：i( )ix n( )i

44、x t2.5.1 随机序列的收敛随机序列的收敛“数列收敛的概念：数列收敛的概念： 假设有数列假设有数列S1,S2,Sn,对恣意小的正实数对恣意小的正实数0，总能找到一，总能找到一个正整数个正整数N，使得当，使得当nN时，存在时，存在 Sn-a N ，那，那么称数列么称数列S1,S2,Sn,收敛于常数收敛于常数a ，用，用 表示。表示。或用或用S1,S2,Sn 即称：数列即称：数列Sn的极限为的极限为a.aSnnliman一、随机序列收敛的几种定义一、随机序列收敛的几种定义1、随机变量序列、随机变量序列“处处收敛处处收敛 假设随机序列样本空间假设随机序列样本空间S=1, 2, 3中的中的“一切一

45、切 的样本的样本序列序列(普通数列普通数列)均收敛，即：均收敛，即：()every where那么称：随机序列那么称：随机序列X(n) “处处收敛于随机变量处处收敛于随机变量X。记作：记作：简写：简写：lim( )iiinx nxS，lim( ) ( )nX nXeX nX 在上述在上述“处处收敛的定义中，处处收敛的定义中，S中只需有中只需有“一个一个i对应的样对应的样本序列本序列 不收敛，那么随机序列不收敛，那么随机序列X(n)就不是就不是“处处收敛的。处处收敛的。这个条件普通的随机序列都不容易满足。这个条件普通的随机序列都不容易满足。 下面引见几种常用的下面引见几种常用的“宽松的宽松的 收

46、敛定义。收敛定义。).(whereevery( )ix n2、以概率、以概率1收敛收敛“几乎处处收敛几乎处处收敛almost .every.where假设随机序列假设随机序列X(n)相对实验相对实验E的一切能够结果的一切能够结果 S满足：满足：那么称：随机序列那么称：随机序列X(n) “以概率以概率1收敛于随机变量收敛于随机变量X。简记：简记：lim( )1.( )nPX nXa sX nX lim ( )0 ( )nP X nXPX nX 3、依概率收敛、依概率收敛(Probability) 假设随机序列假设随机序列X(n) 对于恣意给定小正数对于恣意给定小正数 ，有：有：那么称：随机序列那

47、么称：随机序列X(n)“依概率收敛于随机变量依概率收敛于随机变量X。记：记：04、依分布收敛、依分布收敛(distribution) 设：设：Fn(x)，n=1,2,是随机序列是随机序列X(n)的分布函数，的分布函数，F(x)是随机是随机变量变量X的分布函数。的分布函数。假设存在：假设存在：那么称：随机变量序列那么称：随机变量序列X(n)“依分布收敛于依分布收敛于X。记：记： lim( )( )( )nnF xF xdX nX 10( )( )( )niF xF xF xx5、均方收敛平均意义下的收敛、均方收敛平均意义下的收敛Mean.square 设随机序列设随机序列X(n)对一切对一切 的

48、的n=1,2,二阶矩存在，随机变量二阶矩存在，随机变量X的的二阶矩也存在。二阶矩也存在。 假设假设X(n)、X满足：满足：那么称：随机序列那么称：随机序列X(n) “均方收敛于随机变量均方收敛于随机变量X。 记作：记作： 或：或： 2lim ( )0( )( )nM SnE X nXl i m X nXX nX ，(2) 均方收敛的充要条件柯西准那么均方收敛的充要条件柯西准那么 假设随机序列假设随机序列X(n)和随机变量和随机变量X的二阶矩均存在，那么的二阶矩均存在，那么X(n)均均方收敛于方收敛于X的充要条件是：的充要条件是：2( )( ) E X nX m2lim( )( ) 0nmE X

49、 nX m只需求对随机序列只需求对随机序列X(n)的一个方差的一个方差 进展检验，比进展检验，比较方便。因此，在随机过程中运用的是均方收敛。较方便。因此，在随机过程中运用的是均方收敛。四种收敛方式之间的关系：四种收敛方式之间的关系：eSM Pda s a s SM Pde普通确定函数的延续性：普通确定函数的延续性：设函数设函数x(t)在在 的某个邻域内有定义，当自变量的增量的某个邻域内有定义，当自变量的增量t0 时，函数的增量也趋于时，函数的增量也趋于0，即，即00lim()( )0 x ttx tt 0t一、随机过程处处延续一、随机过程处处延续对于随机过程对于随机过程X(t)而言，假设它的每

50、一个样本函数在而言，假设它的每一个样本函数在 上都延上都延续：续：0lim()( ),.tXttXtS t那么称：该过程那么称：该过程X(t)在在 上处处延续。上处处延续。t252 随机过程的延续性随机过程的延续性那么称：函数那么称：函数x(t)在在 上延续上延续.0t在微积分中，一个函数要可微，该函数首先必需求延续。在微积分中，一个函数要可微，该函数首先必需求延续。假设假设X(t) 的自相关函数的自相关函数 在在tT (t1=t2=t)上延续，上延续，那么那么X(t)便在便在tT上均方延续。上均方延续。0)()(lim20tXttXEt二、均方延续二、均方延续1、定义、定义假设二阶矩过程在假

51、设二阶矩过程在tT上满足上满足那么称那么称X(t) 在在tT上，上，“在均方意义下延续。或称该二阶矩在均方意义下延续。或称该二阶矩过程过程X(t)具有具有“均方延续性。常表示为均方延续性。常表示为或者简称过程或者简称过程m.s延续。延续。)()(0tXttXmiltTt 2、均方延续的准那么过程、均方延续的准那么过程X(t) 在在tT上均方延续的上均方延续的“充要条件充要条件),(21ttRXTttt21120tTTt假设假设 在在t1=t2=t处普通延续，那处普通延续，那么有么有),(21ttRX),(),(),(),()()()()()()()()()()()()()()(2ttRtttR

52、tttRttttRtXtXtXttXttXtXttXttXEtXttXtXttXEtXttXEXXXX证明：展开定义式左侧证明：展开定义式左侧对上式两边取极限：对上式两边取极限：),(),(),(),(lim)()(lim020ttRtttRtttRttttRtXttXEXXXXtt0),(),(),(),(lim0ttRtttRtttRttttRXXXXt也就有也就有0)()(lim20tXttXEt X(t)均方延续均方延续.假设假设X(t) 在在tT上均方延续，那么上均方延续，那么 在在t1=t2=t上普通延续。上普通延续。)()()()()()()()()()(),(),(221212

53、1tXttXtXEttXtXttXEtXtXEttXttXEttRttttRXX),(21ttRX2/ 1222121)()()()()()(ttXEtXttXEttXtXttXE2/12222)()()()()()(tXttXEtXEtXttXtXE利用许瓦兹不等式利用许瓦兹不等式证明：证明：对不等式两端取极限：对不等式两端取极限：210202210101lim)2(limlim) 1 (limtttt及),(),(limlim210021ttRttttRXXtt假设假设X(t)在在tT上均方延续，上均方延续，0)()(lim20tXttXEt那么有那么有0)()()(lim2/122210

54、1ttXEtXttXEt0)()()(lim2/122202tXttXEtXEt0)2(limlim) 1 (limlim)()()()()()(limlim020101022210201tttttttXttXtXEttXtXttXE即有即有0lim)2(lim.0lim) 1 (lim210202210101tttt即即),(),(limlim210201ttRttttRXXtt那么那么 在在t1=t2=t上普通延续。证上普通延续。证毕。毕。),(21ttRX3、推论、推论 1假设自相关函数假设自相关函数 在在 (t1=t2=tT)C上的每一上的每一点延续，那么它在时域点延续，那么它在时域(

55、t1,t2) TT上处处延续。上处处延续。证：设证：设(t1,t2) TT时域中恣意时域中恣意(t1t2)处，处，将将(t1,t2)分别代分别代 换换(5)式中的式中的(t，t)。),(21ttRX同理可证：同理可证：假设假设X(t)是平稳过程，是平稳过程，Rx(t,t)=R(0), 那么那么“Rx( )在在 =0上延续上延续 是平稳过程是平稳过程X(t)在在 tT上均方延续的充要条件。上均方延续的充要条件。),(),(limlim2122110201ttRttttRXXtt)()()()()()(limlim2221221110201tXttXtXEttXtXttXEtt(t1t2)12tT

56、oCTt2/1222211122111)()()()()()(ttXEtXttXEttXtXttXE2/12222122221)()()()()()(tXttXEtXEtXttXtXE),(),(limlim2122110201ttRttttRXXtt)()()()()()(limlim2221221110201tXttXtXEttXtXttXEtt0)2(lim.0) 1 (lim0201tt因自相关函数在因自相关函数在 (t1=t2=tT) 上的每一点延续，那么过程上的每一点延续，那么过程X(t)在在 tT上均方延续。有上均方延续。有:TttXttXEiiiiti, 0)()(lim200

57、lim)2(lim.0lim) 1 (lim210202210101tttt由于由于),(),(limlim0),(),(limlim21221102012122110201ttRttttRttRttttRXXttXXtt那么有那么有那么有那么有即自相关函数即自相关函数 在在(t1,t2) TT时域中恣意时域中恣意(t1t2) 上，也延续。证毕。上，也延续。证毕。),(21ttRX故有故有)()(lim)()(00tXEttXEtXttXmiltt)()()(tXttXtY0)()()(222ttYEtYEY)()(22tYEtYE)()()()(22tXttXEtXttXE2假设随机过程假设

58、随机过程X(t)是均方是均方(m.s)延续，那么它的数学期望延续，那么它的数学期望也必定延续。即：也必定延续。即：证明：设随机过程证明：设随机过程因因故故由于由于X(t)是均方延续的是均方延续的20lim()( )0tEX ttX t 所以：所以：0)()(lim20tXttXEt)()(lim.0)()(lim00tXEttXEtXEttXEtt也就有：也就有：)()(lim)()(00tXEttXEtXttXmiltt也可以写成如下的方式：也可以写成如下的方式：即：即：)()(lim00ttXmilEttXEtt 一个均方延续的随机过程，一个均方延续的随机过程，“求极限与求极限与“求期望可

59、以交换次求期望可以交换次序。序。注：注： 是普通意义下的极限，是普通意义下的极限， 是均方意义下的极限。是均方意义下的极限。)(0tmil)(lim0t2.5.3 随机过程的微分随机过程的微分随机过程的微分导数随机过程的微分导数 1. 均方导数的定义均方导数的定义 设均方延续过程设均方延续过程 X(t), tT 和随机过程和随机过程X (t) ，tT,假设在整个假设在整个T内当内当 时，时， 均方收敛于均方收敛于 X (t) 即满足即满足或者或者0tttXttX)()(0)()()(lim20tXttXttXEt)()()(0tXttXttXmilt那么称过程那么称过程X(t)在在tT上均方上

60、均方( m.s )可导可微。可导可微。而而 便称为过程便称为过程X(t)在在tT上的均方导数。上的均方导数。dttdXtX)()(均方可微的条件均方可微的条件 在检验过程在检验过程X(t)能否均方可微时，我们遇到了一个问题，能否均方可微时，我们遇到了一个问题，在上式中，在上式中， X (t) 是待求的。在是待求的。在X (t) 尚未求出时，检验尚未求出时，检验X(t)能否均方可微，我们可以运用一个能避开能否均方可微，我们可以运用一个能避开X (t) 的准那么的准那么Cauchy准那么。即，假设准那么。即，假设X(t)满足：满足：0)()()()(lim222110,21ttXttXttXttX