将军饮马问题

1、肇莆第一讲将军饮马问题蟆m学习要点与方法点拨筮一、主要内容(1)将军饮马问题的概念。(2)(3)蒂将军饮马问题在坐标系、一次函数、三角形、正方形中的应用。(4)(5)蟆将军饮马问题与勾股定理。艘二、本章重点 掌握将军饮马问题的概念和解题思路，能解决将军饮马问题和一次函 数、坐标系、几何图形和勾股定理等的综合习题。蔻工课前预习蔽轴对称的性质与作法；一次函数的性质；勾股定理的性质；三角形、矩形、正方形的 性质；三角形的三边关系、平移的性质。吸夬精讲、信将军饮马问题的概念和基本思路膈起源：古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦。有一天，有位将 军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解

2、的问题：蚁如图，有一位将军从位于 A点的军营，返回位于 B点的家中，途中需要到达一条小 河MN边，让马去河里喝水。那么，该如何选择路径，才能使将军回家的过程中，走 过的路程最短？覆精通数理的海伦稍加思索，便作了完善的回答。这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题。期初一看，这个问题好像没有什么思路，那我们先把问题的概念转换一下。这个问题中A点和B点在河MN勺同一侧，那么，如果 A点和B点在河MN的不同侧呢?肆这时我们好像有一点眉目了，我们要利用的定理就是：两点之间直线最短，先找线路再找点。腿那我们再回到最开始时的问题，是不是有了启发呢？腿思路：为了找线路，可以利用轴对称的原理，先做对称，再转化成

3、三角形的三 边关系。肇例1,如图，一匹马从 S点出发，先去河 OP边喝水，再去草地 OQ吃草，然后再回到S点。该如何选择线路，使得经过的总路程最短?芍OQx着草地OM羁例1图例2图三、四、袈将军饮马与坐标系螃例2,已知A(2,3)、B(3,2)可是x轴上的一个动点，N是y轴上的一个动点，求AN+NM+BM 的最小值，并求出此时M N的坐标。筮思路：作对称序两段折线一作一次对称一转化折线it三段折线一作两次对称一转化折线菜连线段一最小值聿例 3,已知 A(-3,4)、B(-2,-5) 、M(0,m)、N(0,m+1),求 BM+MN+AN最小值，并求此 时对应的m的值。赚运用平移的性质荽例4,已

4、知A(4,1)、B(-3,-2)，试在x轴上找一点 C,是|AC-BC|最大，求出点 C的坐 标和这个最大值。裂构造三角形，运用三角形的边长关系五、六、膈将军饮马问题解题思路的归纳范学习了几个常见的例子，我们再来整理一下思路。科首先明白几个概念， 动点、定点、对称点。动点一般就是题目中的所求点，即那个不定的点。定点即为题目中固定的点。对称的点，作图所得的点，需要连线的点。薄1.怎么对称，作谁的对称？袂简单说所有题目需要作对称的点，都是题目的定点。或者说 只有定点才可以去作 对称的。(不确定的点作对称式没有意义的)那么作谁的对称点？ 首先要明确关于对 称的对象肯定是一条线，而不是一个点。 那么是

5、哪一条线? 一般而言都是动点所在直线。方2.对称完以后和谁连接?芈一句话：和另外一个顶点相连。绝对不能和一个动点相连。明确一个概念：定点的对称点也是一个定点。肃3.所求点怎么确定?蚁首先一定要明白， 所求点最后反应在图上一定是个交点。实际就是我们 所画直线和已知直线的交点。展4.将军饮马一定是求最短距离吗？去肯定不是。或者说求最短距离是将军饮马中的最简单一类题目。根据将军饮马的 基本模型可以拓展出很多题型。根本原因是因为在作轴对称过程中不但是作了点的对 称，还作了边长和角度的对称！或者说边长和角度的对称才是最关键 。七、八、嵋将军饮马与勾股定理妨例5,如图，将军的军营在 A处，与河岸白距离 O

6、A=4km将军的家在B处。且QA=7kmQB=8km他下班回家的路上先把马牵到小河边去饮水，然后再回到家中，求他下班回 家要走的最短路程。盆O小河藏A?B薄QB仞5图例6图OAAQ腿例6,如图，/ POQ=20 , A为OQ±的点，B为OP上的点，且 OA=1, OB=2 在OB上取点Ai,在OQ上取点外,求AA+AA+AB的最小值。肄例7, /AOB=45 , P是/AOB内一点，PO=1Q Q R分别是 OA OB上的动点， 求 PQRW长的最小值。九、十、节三角形、正方形中的将军饮马蚀例8,如图，在等边 ABC中，AB=6, AD± BQ E是AC上的一点，M是AD上

7、的 一点，且 AE=2,求EM+EC勺最小值。薇例8图例9图期例9,如图，在锐角 ABC中，AB=42, / BAC= 45° , / BAC的平分线交 BC于 点D, M N分别是AD和AB上的动点，则 BM+M的最小值是 。辑例10,如图，正方形 ABCD勺边长为8, M在DC上，且DMh 2, N是AC上的一动 点，DN+ MN的最小值为。蜜例10图例11图踊例11,在边长为2 cm的正方形ABC邛，点Q为BC边的中点，点P为对角线 AC上一动点，连接 PR PQ则 PBQW长的最小值为 cm艘例12, 一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点 A (2, 0) , B

8、(0, 4).肃(1)求该函数的解析式；神(2) O为坐标原点，设 OA AB的中点分别为 C D, P为OB上一动点，求 PO PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标.瞧y+祎例13,如图，在坐标系 xOy中，有一条河，螂河岸分别为x轴和直线MN直线MN y轴的 P衿交点为A(0,2) , P、Q两地位于河的两岸，且« P(0,5) > Q(5,-1)。现在需要在河上架一座桥，充(桥必须垂直于河岸),来沟通P、Q两地，求MABN 奠桥的端点R C的坐标，使得从 P地到Q地的量路程最短。OCx墨总结：将军饮马问题=轴对称问题=最短距离问题(轴对称是工具，最短距离是 题眼)。薄所

9、谓轴对称是工具，即这类问题最常用的做法就是作轴对称。而最短距离是题眼，也就意味着归类这类的题目的理由。比如题目经常会出现“线段a+b的最小值”这样的条件或者问题。一旦出现可以快速联想到将军问题，然后利用轴对称解题。芨能将实际问题中的“地点”、“河”、“草地”抽象为数学中的“点”、“线”，把最短路径问题抽象为数学中的线段和最小问题，能利用轴对称将处在直线同侧的两点，变为两点处在直线的异侧，能利用平移将两条线段拼接在一起，从而转化为“两点之间，线段最短”问题，能通过逻辑推理证明所求距离最短，在探索问题的过程中，体会轴对称、平移的作用，体会感悟转化的数学思想蔻课后巩固习题第1,已知A(-1,4) ,

10、B(1,1)，在x轴上找一点 C,使AC+BCt小。则C点的坐标是 , AC+BC勺最小值是。腿2,已知 A(-1,3) , B(-3,1) , M是x轴上一动点，N是y轴上一动点，则当 AN+NM+MB 最小时，M的坐标是 , N的坐标是 。蝇3,已知 A(-4,4) , B(-1,-3) , M(0,m), N(0,m+1),当 BM+MN+AN小时，点 M的坐标 是,最小值是。滕4,已知A(-4,5) , B(2,-2),在x轴上找一点 C,则当|AC-BC|最大时，点 C的坐标是, 最大值是。膂5,如图，点 A,B位于直线l的同侧，到直线l的距离AC=1Q BD=3Q且CD=3Q在 直

11、线l上找到一点 M是AM+B艰短，则最短距离是 。芳BA祎M蜜AP袁直缉4放CDONB交题5图题6图莅6,如图，/ AOB=45，点P在/AO郎，且OP=3点M,N分别为射线 OA OB上的动 点，则 PMN勺周长的最小值为 。幕7,如图，/ AOB=40，点 P, Q都在/ AOB内，/ AOPh BOQ=10 ,且 OP=OQ=6作 点P关于OA的对称点Pi,作点Q关于OB的对称点Q,则PiQ=。蝇 OBOB嵋题7图题8图亵8,如图，/ AOB=60，点 P, Q都在/ AOB内，/ AOP士 BOQ=15 ,且 OP=8 OQ=6 在射线 OA OB上分别存在点 M N,是PM+MN+NQ值最小，则最小值是 。螃9,如图， ABC中,AB=2, / BAC=30 ,若在 AG AB上各取一点 M N,使 BM+MN1值最小，则这个最小值是多少?芾题9图例10图崛10,如图所示，正方形 ABCM面积为12, ABE是等边三角形，点 E在正方形ABCD 内，在对角线 AC上有一点P,使PD+ PE的和最小，则这个最小值为 。辐11,如图，若四边形 ABCD菱形，AB=10cm /ABC=45 , E为边BC上的一个动点， P为BD上的一个动点，求 PC+PE勺最小值.神12,如图，在锐角 ABC中，AB=4, / BAC=45 , / BAC的平分线交 BC于点D。M N 分别