数列通项公式、前n项和求法总结(全)

1、一 . 数列通项公式求法总结：1. 定义法 直接利用等差或等比数列的定义求通项。特征：适应于已知数列类型（等差或者等比）例 1 等差数列an 是递增数列，前n 项和为Sn ，且a1,a3,a9成等比数列，S5 a52 求数列an 的通项公式变式练习：1. 等差数列an 中 , a7 4, a192a9, 求an 的通项公式2. 在等比数列an 中 , a2 a1 2 , 且 2a2为 3a1 和 a3的等差中项, 求数列 an的首项、公比及前n 项和 .2. 公式法S1n 1求数列 an 的通项an可用公式an求解。nnnSnSn 1 n 2特征：已知数列的前n 项和Sn 与 an 的关系例

2、2. 已知下列两数列an 的前 n 项和sn的公式，求an 的通项公式。（ 1 ） Sn n3 n 1 。（ 2） sn n2 1变式练习：1.2 an 的前n 项和为Sn，且Sn =2n +n，n N，数列b n 满足 an =4log 2bn +3， n N . 求an，bn 。2. 已知数列 an 的前 n 项和 Sn12n2 kn( k N* ) , 且 Sn的最大值为8，试确定常数k 并求an 。2n3. 已知数列a n 的前 n 项和Sn2 nn，n2N . 求数列an 的通项公式。3. 由递推式求数列通项法类型 1 特征：递推公式为an 1 an f (n)对策：把原递推公式转化

3、为an 1 anf (n) ，利用 累加法 求解。11例 3. 已知数列an 满足a1， an 1 an 2 ，求 an。2n2 n变式练习：1. 已知数列an 满足 an1 an2n 1， a1 1 ，求数列an 的通项公式。2. 已知数列：a11,an 1an 2n求通项公式类型 2 特征：递推公式为an 1f (n)an对策：把原递推公式转化为an 1anf (n) ，利用 累乘法 求解。例 4. 已知数列an 满足a1an 1nan ，求an 。1变式练习：1. 已知数列an 中，a12，an13nan ，求通项公式an 。2nan an 1an22. 设a n 是首项为1 的正项数列

4、，且n 1 an2 10（ n =1， 2， 3，） ，求数列的通项公式是an对策： （利用 构造法 消去q）把原递推公式转化为由an 1ananan 1p,构成数列an 1 an 以 a2a1 为首项，以p 为公比的等比数列. 求出an 1 an 的通项再转化类型 3 特征：递推公式为a n 1pan q （其中 p， q 均为常数）an 1pan q 得 anpan 1 q(n 2)两式相减并整理得为类型 1（累加法）便可求出an .例 5. 已知数列an 中， a11 ， an 1 2an 3，求 an .变式练习：an 7 0 , 求数列 an的通项公式。1. 数列 an 满足 a 1

5、 =1 ， 3an 12. 已知数列an满足a1 =1，an13an1 . 证明an21 是等比数列，并求an 的通项公式。类型4特征：递推公式为an 1 pan f (n) (其中 p 为常数)对策： (利用构造法消去p)两边同时除以pn1 可得到ann 11annf (nn1)，令annbn ，则bn1 bnf (nn1) ，再转化p pp pp为类型1(累加法)，求出bn 之后得anpnbn例6已知数列an满足an12an4 3n1，a11 ，求数列 an的通项公式。变式练习：已知数列an 满足a1 1 ， an 3n 2an 1 (n 2) ， 求 an二 . 数列的前n 项和的求法总

6、结1. 公式法（ 1）等差数列前n 项和： Sn n（a1 an）na1 n（n 1）d22（ 2）等比数列前n 项和：q=1 时，Sn na1a1 1 qnq 1， Sn1q例 1. 已知 log 3 x 1 ，求 x x 设an 是等差数列，bn 是各项均为正数的等比数列，且a1b11 ，a3b521 ，a5b313。1 ）求 a n ， bn ； x2）求数列 bn 的前 n 项和Sn。anxn的前 n 项和 .log23变式练习：a330, 求 an 和 Sn .1. 设等比数列an 的前 n 项和为Sn . 已知a2 6, 6a12. 错位相减法若数列an 为等差数列，数列bn 为等

7、比数列，则数列an bn 的求和就要采用此法.n 项和 .将数列an bn 的每一项分别乘以bn 的公比，然后在错位相减，进而可得到数列an bn23n1例 2. 求 12 x 3 x 4 x nx 的和变式练习：N .21. 已知数列an 的前 n 项和为Sn , 且 Sn =2nn ,n N , 数列bn 满足an4log b2n 3 n(1) 求 an, bn;(2) 求数列an bn 的前 n 项和Tn .2. 若公比为c 的等比数列an 的首项为a11 ，且满足anan 1an 2(n 3,4,.) 。1）求c 的值； （ 2）求数列nan的前n 项和Sn3. 倒序相加法如果一个数列

8、an ，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。特征：a1ana2an 1把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加Sna1a2an 1 an相加Snan an 1a2a12Sna1an a2an 1a1an例 3. 已知 f (x)2x1 x2f(1)f(2)f(3)11 f (4) f34变式练习：1. 求 2 1121022222 923232 821021022 的和122. 求 sin21 sin22 sin23sin2 88 sin 289 的值。4. 裂项相消法an(an b1 )(an

9、 b2)（a, b1,b2, c为常数）时，往往可将an 变成两项的差，采用裂项相消法求和.可用待定系数法进行裂项：设 anan b1 an b2c，从而可得b2 b1(an b1)( an b 2 )c(b2 b1)(1an b1an1b2).常用裂项形式有：1 n(n1)n11；1 n(nk)k1(1n1k)；1k21k2 1n(n 1)(n2)k1k1），1k11(k 1)k1k21(k 1)k1k12( n 1n)1例 4. 求数列12 n(n 1)n n1(n 1)(n 2)n n n12( nn 1)1，1351，的前n 项和 S.n(n 2)1324变式练习：1. 在数列 a n

10、中，an12n1 n1n2，又 bn，求数列bn的前 n 项的和 .n 1an an 122. 等比数列an 的各项均为正数，且2a1 3a2 1,a329a2a6.(I) 求数列an的通项公式2212 22 L(II) 设bnlog3a1log3a21log3 an,求数列的前项和.bn5. 分组求和法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. 一般分两步：找通向项公式由通项公式确定如何分组.1111例 5. 求数列 2 ， 4 ， 6， L ， 2n ， L 的前 n 项和Sn4 8 162n 1变式练习：11111. 求数列 1 ,2 ,3,4 ,L 的前 n 项和3 9 27 812. 若数列an 的通项公