三角最值问题的题型与方法

1、三角最值问题的题型与方法求三角函数式的最值（或值域）问题，是三角函数中的一个重要内容，本 文将对三角最值问题的题型与方法进行归类整理，供同学们参考.、化为 y Asin C，x B的类型三角变换将函数解析式化为形如 y二Asin（ .x 厂k的形式，即可求出其最值.形如y=asinx+bcosx的式子，引入辅助角，转化为y= . a2 b2 sin（x+ ），其中二號b7ab2例4、求函数y=sinxcos（x_6）的最大值和最小值.解: : 3 3y =sin x cosxcos sinxsinsinxcosx=、“3sin(x ).6 6 2 2 6rJJI LrtJIt当 x 2k ,即

2、x=2k ，k Z时，ymax3 ;623当 x 2k ,即x =2k: -乙，k Z时，ymjn = _ 3 623例 2、求函数 y=sinx (sinx+ .3 cosx) (x R)的最大值.解析： 原式=sin2x+ 一 3 sinxcosx=1 cos2x + '3 sin2x2 2=s in2 x - cos2x+- =s in (2x 上)+-，2 2 2 6 2TTTTTTry当2x 2k ，即x二k ，k Z时，函数取得最大值为.6232二、关于sin x或cosx )的二次函数型女口 y=asin2x+bsinx+c，令t=sinx，通过换元转化为关于t的二次函数

3、2y=at +bt+c 型.例3、求函数f (x) =cos2x+sinx在区间n，n 上的最小值.44解析：f (x) =1 sin2x+sinx=( sinx -) 2+-.24当 x=- 4时,ymin=(sin 口 一 1)例 4、已知 3sin乜"2sin ： = 2sin 二，求 cos2 二，cos2 :的取值范围.解析：2222 -2 sin ：- -3 sin :由 3sin 工-2sin2sin :得sin22sin-3sin2 :27 / 53 J2_9，COS2 二" cos2 : =COS2 J 122 sin ： - 3sin ：12说明：本题目

4、中要特别注意sin:的范围.、关于sin x (或 cosx )的一次分式函数型形式I: y =asin x bcsin x d、 acosx+b(或 y = ccosx d)例5、求函数y=3sinxT的最大值和最小值.sin x 十2解析一：分离常量后再求最值.3sin x1 _ 3( sin x 2)77-y=3 一 sin x+2sin x+2sin x+2当 sinx=1 时，ymax=3- 7 = 2 ;当 sinx=- 1 时，ymin= 4 33解析二：用y表示sinx后，利用sinx的有界性求解.y=3s- sinx= 土引 sinx 2y -3 1 - 2 v2=| <

5、; 1 - - 4< y < -y _33形式IIa sin x b y=ccosx d例6、求函数y= _sin-x的最大值和最小值.2 cosx分析：此题的解法较多，一是利用三角函数的有界性；二是数形结合法，将y看成是两点连线的斜率；三是利用万能公式换算，转化成函数的最值问题.解法去分母，原式化为sinx ycosx=2 2y，即卩 sin (x)=2 二2y1 y2 |sin (x )| < 1,i2 二2y| < 1.1 y2解得 y宁_4+j7-ymax=34 -J7ymin=3解法二：所给函数y可以看作动点M (cosx, sinx)和定点P (2, 2)的

6、连线的取值范围.设直线 PM : y-2 = k(x - 2)，即 y=kx - 2k+2|2 二2k|=1 k2k=3-y _4+J7max 3y min14 - 一73PM的斜率k,而点M又在单位圆x2+y2=1上，画图就可以求出此直线的斜率四、含有 sinx+cosx、sinx-cosx 与 sinxcox 的式子一般令t=sinx+cosx，换元后转化为关于t的二次函数式，再求最值.例7、试求函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2 (x R)的最大值和最小值.解:令 t=sinx+cosx2 sin (x+ n ) V2，逅，贝U y=t2+t+1 3，3+J2 ，44即最

7、大值为3+I 2，最小值为-.4说明：此题若改为x 0，呢？2分析：当x 0，上时，则t 1,、. 2 ，2此时y的最大值是3+、2，而最小值是3.评述：此题考查的是换元法，转化思想，在换元时要注意变量的取值范围. 五、利用函数的单调性 例9、求函数y = x sinx在n，n 上的最大值.2解析：y=x sinx在n，n 上是增函数，二x= n时，ymax= n .2例 10、求函数 y= 2sinx (1 -sin x)，x( 0，n)的值域3 -cos2x +4sin x2解：y=2sinx (1 sin x)一 sin x sin x2= 厂3 -(1 -2sin x) 4sin x

8、sin x 2sin x 1设 t=sinx,则由 x( 0, n) = t( 0, 1)2对于y=-t2tt2 2t 1-(t 1)3( t - 1)- 2-1 +1)2=1+丄t 12(t D2令m =，且m t +11, 1),则 y= 2m2+3m仁一2 -m 3 ) 2+-.248 当 m=3 时，ymax= 1 ；当 mF1 或 m=1 时，ymin=0.482即函数的值域为-0, 1 8-06年江西）如图，已知 ABC是边长为1的正三角形，M N分别是边AB AC2 上的点，线段MN经过 ABC的中心G设.MGAf:-一）33-1）试将 AGMA AGN勺面积（分别记为S与S）表示为口的 函数（2）求y = 2 +乙 的最大值与最小值解：-1）因为G是边长为1的正三角形ABC的中心,B所以AG = £子=宁，MAG = 6，GA由正弦定理 GM =GA得GMn:n:sin sin (二一：)66It6sin (-：i+ )6r1则 GM *GA 峪