第2章 自动控制系统的数学模型

1、高等教育高等教育电气工程与自动化系列规划教材电气工程与自动化系列规划教材高等教育教材编审委员会高等教育教材编审委员会 组编组编主编主编 吴秀华吴秀华 邹秋滢邹秋滢郭郭 南南 吴吴 铠铠主审主审 孟孟 华华自动控制原理自动控制原理目目 录录第第1章绪章绪 论论第第2章自动控制系统的数学模型章自动控制系统的数学模型第第3章自动控制系统时域分析章自动控制系统时域分析第第4章根轨迹法章根轨迹法第第5章频域分析法章频域分析法第第6章自动控制系统的设计与校正章自动控制系统的设计与校正第第7章离散控制系统分析章离散控制系统分析第第8章非线性控制系统分析章非线性控制系统分析第第2章自动控制系统的数学模型章自动

2、控制系统的数学模型2.1 控制系统微分方程的建立控制系统微分方程的建立列写微分方程的一般步骤如下：列写微分方程的一般步骤如下： 分析系统和各个元件的工作原理，找出各物理量分析系统和各个元件的工作原理，找出各物理量(变量变量)之间的关系，确定系统和各元件的输入、输出变量。之间的关系，确定系统和各元件的输入、输出变量。从输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各变量所遵从输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各变量所遵循的物理循的物理(或化学等或化学等)定律，列写动态关系式，一般为一个微分定律，列写动态关系式，一般为一个微分方程组。方程组。 对已建立的原始方程进行数学处理，忽略次要因素，简对已建立的原始

3、方程进行数学处理，忽略次要因素，简化原始方程，如对原始方程进行线性化等。化原始方程，如对原始方程进行线性化等。消除中间变量，写出关于输出、输入变量之间关系的数消除中间变量，写出关于输出、输入变量之间关系的数学表达式，即微分方程。学表达式，即微分方程。2.1.1 典型元件组成的系统微分方程的建立典型元件组成的系统微分方程的建立 1. RLC电学系统电学系统【例例2-1】 RLC无源网络如图无源网络如图2-1所示，图中所示，图中R、L、C分别为电分别为电阻阻()、电感、电感(H)、电容、电容(F)；建立输入电压；建立输入电压 和输出电压和输出电压 之间之间的微分方程。的微分方程。)(tui)(tu

4、o2.1.1 典型元件组成的系统微分方程的建立典型元件组成的系统微分方程的建立2.1.1 典型元件组成的系统微分方程的建立典型元件组成的系统微分方程的建立 2. 运算放大器电路系统运算放大器电路系统 【例例2-22-2】 如图如图2-2所示为运算放大器有源网络，（所示为运算放大器有源网络，（a）图为比例型（）图为比例型（P型）型）运算放大器网络，（运算放大器网络，（b）图为积分型（）图为积分型（I型）运放网络，（型）运放网络，（c）图为微分型）图为微分型（D型）运放网络，（型）运放网络，（d），（），（e），（），（f）分别为比例）分别为比例-积分型（积分型（PI）、比例）、比例-微分型（微分

5、型（PD）、比例）、比例-积分积分-微分型（微分型（PID）运放网络的电路图，试求各自的）运放网络的电路图，试求各自的微分方程。微分方程。 图图2-2 运算放大器有源网络电路图运算放大器有源网络电路图2.1.1 典型元件组成的系统微分方程的建立典型元件组成的系统微分方程的建立2.1.1 典型元件组成的系统微分方程的建立典型元件组成的系统微分方程的建立2.1.1 典型元件组成的系统微分方程的建立典型元件组成的系统微分方程的建立2.1.1 典型元件组成的系统微分方程的建立典型元件组成的系统微分方程的建立2.1.1 典型元件组成的系统微分方程的建立典型元件组成的系统微分方程的建立 3. 机械旋转系统

6、机械旋转系统2.1.1 典型元件组成的系统微分方程的建立典型元件组成的系统微分方程的建立2.1.1 典型元件组成的系统微分方程的建立典型元件组成的系统微分方程的建立 4. 齿轮系统齿轮系统 5. 电枢控制的直流电动机系统电枢控制的直流电动机系统【例例2-5】 已知直流电动机定子与转子的电磁关系如图已知直流电动机定子与转子的电磁关系如图2-5所示，机电系统所示，机电系统原理如图原理如图2-6所示。试写出其运动方程。所示。试写出其运动方程。2.1.1 典型元件组成的系统微分方程的建立典型元件组成的系统微分方程的建立2.1.1 典型元件组成的系统微分方程的建立典型元件组成的系统微分方程的建立解：直流

7、电动机的运动是一复合系统的运动。它由两个子系统构解：直流电动机的运动是一复合系统的运动。它由两个子系统构成，一个是电网络系统，由电网络得到电能，产生电磁转矩。另一个成，一个是电网络系统，由电网络得到电能，产生电磁转矩。另一个是机械运动系统，输出机械能带动负载转动。在图是机械运动系统，输出机械能带动负载转动。在图2-5的电机结构示的电机结构示意图中，设主磁通意图中，设主磁通 为恒定磁通，也就是说在励磁电压为常数为恒定磁通，也就是说在励磁电压为常数时，产生常数值的励磁电流时，产生常数值的励磁电流 ，从而主磁通也为常数。忽略，从而主磁通也为常数。忽略旋转粘滞系数旋转粘滞系数 ，则可以写出各平衡方程如

8、下。，则可以写出各平衡方程如下。(有关直流电动机的有关直流电动机的详细内容，可以参阅电力拖动有关书籍。详细内容，可以参阅电力拖动有关书籍。)fufIaf2.1.1 典型元件组成的系统微分方程的建立典型元件组成的系统微分方程的建立2.1.1 典型元件组成的系统微分方程的建立典型元件组成的系统微分方程的建立2.1.2 控制系统微分方程的建立控制系统微分方程的建立【例例2-6】 已知一个位置随动系统如图已知一个位置随动系统如图2-8所示，试写出其运动方程。所示，试写出其运动方程。2.2 非线性特性的线性化非线性特性的线性化第一类非线性特性在指定工作点附近不存在饱和、继电、死区、滞环第一类非线性特性在

9、指定工作点附近不存在饱和、继电、死区、滞环等现象，我们把这种非线性特性叫做等现象，我们把这种非线性特性叫做“非本质非线性非本质非线性”特性；第二类是非特性；第二类是非线性特性在指定工作点附近存在饱和、继电、死区、滞环等现象，这种非线性特性在指定工作点附近存在饱和、继电、死区、滞环等现象，这种非线性特性叫做线性特性叫做“本质非线性本质非线性”特性。特性。所谓线性化就是在工作点附近的小范围内，把非线性特性用线性特性所谓线性化就是在工作点附近的小范围内，把非线性特性用线性特性来代替的过程。线性化的基本条件是非线性特性必须是非本质的；其次，来代替的过程。线性化的基本条件是非线性特性必须是非本质的；其次

10、，系统各变量对于工作点仅有微小的偏移。这些条件对绝大多数控制系统来系统各变量对于工作点仅有微小的偏移。这些条件对绝大多数控制系统来说是能够满足的，因为实际系统大多工作在小偏差的情况下。说是能够满足的，因为实际系统大多工作在小偏差的情况下。2.2 非线性特性的线性化非线性特性的线性化2.2 非线性特性的线性化非线性特性的线性化【例例2-7】 整流晶闸管工作原理示意图如图整流晶闸管工作原理示意图如图2-10所示，其输入量为控所示，其输入量为控制角，输出量为整流电压制角，输出量为整流电压 ，试建立其线性化模型。，试建立其线性化模型。DU2.2 非线性特性的线性化非线性特性的线性化 将非线性特性线性化

11、时，有以下几点需要注意：将非线性特性线性化时，有以下几点需要注意：(1)(1)本质非线性系统不可以进行线性化正是因为这类非线性系统的不本质非线性系统不可以进行线性化正是因为这类非线性系统的不连续性、不可导性使得其泰勒级数展开式在工作点邻域的切线近似不成立，连续性、不可导性使得其泰勒级数展开式在工作点邻域的切线近似不成立，因此对于本质非线性系统，另外采用第八章所叙述的方法来进行分析。因此对于本质非线性系统，另外采用第八章所叙述的方法来进行分析。(2)(2)对于多变量情况，其线性化方法相似。对于多变量情况，其线性化方法相似。 (3)(3)工作点不同时，其线性化系数也是不同的，因此其线性化方程也工作

12、点不同时，其线性化系数也是不同的，因此其线性化方程也是不同的。是不同的。 (4)(4)非线性系统在工作点邻域的线性化方程，应满足其函数关系的变非线性系统在工作点邻域的线性化方程，应满足其函数关系的变化是小范围的，否则，误差将会很大。化是小范围的，否则，误差将会很大。2.3 拉普拉斯变换及其应用拉普拉斯变换及其应用 2.3.1 2.3.1 拉氏变换的定义拉氏变换的定义2.3 拉普拉斯变换及其应用拉普拉斯变换及其应用 2.3.1 2.3.1 拉氏变换的定义拉氏变换的定义2.3 拉普拉斯变换及其应用拉普拉斯变换及其应用 2.3.2 2.3.2 常用信号的拉氏变换常用信号的拉氏变换1. 单位脉冲信号单

13、位脉冲信号2. 单位阶跃信号单位阶跃信号3. 单位斜坡信号单位斜坡信号4. 指数信号指数信号5. 正弦、余弦信号正弦、余弦信号2.3 拉普拉斯变换及其应用拉普拉斯变换及其应用 2.3.2 2.3.2 常用信号的拉氏变换常用信号的拉氏变换2.3 拉普拉斯变换及其应用拉普拉斯变换及其应用 2.3.3 2.3.3 拉氏变换的基本定理拉氏变换的基本定理1. 线性定理线性定理2. 延迟定理延迟定理3. 衰减定理衰减定理4. 微分定理微分定理5. 积分定理积分定理6. 初值定理初值定理7. 终值定理终值定理8. 卷积定理卷积定理2.3 拉普拉斯变换及其应用拉普拉斯变换及其应用 2.3.4 2.3.4 拉普

14、拉斯反变换拉普拉斯反变换 拉普拉斯变换将时域函数拉普拉斯变换将时域函数 变换为复变函数变换为复变函数 ，相应地它的逆运算，相应地它的逆运算可以将复变函数可以将复变函数 变换回原时域函数变换回原时域函数 。拉氏变换的逆运算称为拉。拉氏变换的逆运算称为拉普拉斯反变换，简称拉氏反变换。由复变函数积分理论，拉氏反变换的计普拉斯反变换，简称拉氏反变换。由复变函数积分理论，拉氏反变换的计算公式为：算公式为： tf sF tf2.3 拉普拉斯变换及其应用拉普拉斯变换及其应用 下面分别讨论各种计算情况。下面分别讨论各种计算情况。1.1.方程方程 A（s）= 0= 0的根全部为单根的根全部为单根2.3 拉普拉斯

15、变换及其应用拉普拉斯变换及其应用 下面分别讨论各种计算情况。下面分别讨论各种计算情况。1.1.方程方程 A（s）= 0= 0的根全部为单根的根全部为单根2.3 拉普拉斯变换及其应用拉普拉斯变换及其应用2.2.方程方程 A（s）= 0= 0的根有重根的根有重根2.3 拉普拉斯变换及其应用拉普拉斯变换及其应用2.2.方程方程 A（s）= 0= 0的根有重根的根有重根2.3 拉普拉斯变换及其应用拉普拉斯变换及其应用3.3.方程方程 A（s）= 0= 0的根有共轭复数根的根有共轭复数根解：因为分子多项式的次数与分母多项式的次数相等，必然存在常数解：因为分子多项式的次数与分母多项式的次数相等，必然存在常

16、数项，而常数项的拉氏反变换为脉冲函数，所以项，而常数项的拉氏反变换为脉冲函数，所以第一步，将分子多项式除以分母多项式，分离常数项为第一步，将分子多项式除以分母多项式，分离常数项为2.3 拉普拉斯变换及其应用拉普拉斯变换及其应用3.3.方程方程 A（s）= 0= 0的根有共轭复数根的根有共轭复数根2.3 拉普拉斯变换及其应用拉普拉斯变换及其应用2.3.5 2.3.5 拉氏变换法求解微分方程拉氏变换法求解微分方程2.3 拉普拉斯变换及其应用拉普拉斯变换及其应用2.3.5 2.3.5 拉氏变换法求解微分方程拉氏变换法求解微分方程2.3 拉普拉斯变换及其应用拉普拉斯变换及其应用2.3.5 2.3.5

17、拉氏变换法求解微分方程拉氏变换法求解微分方程2.4 传递函数传递函数2.4.1 2.4.1 传递函数的定义传递函数的定义2.4 传递函数传递函数2.4.2 2.4.2 传递函数的特点传递函数的特点1. 传递函数只适用于线性定常系统传递函数只适用于线性定常系统2. 传递函数是在零初始条件下定义的传递函数是在零初始条件下定义的3. 传递函数可以有量纲传递函数可以有量纲 4. 传递函数表示系统的端口关系传递函数表示系统的端口关系 5. 传递函数描述了系统的固有特性传递函数描述了系统的固有特性 2.4 传递函数传递函数2.4.3 2.4.3 典型基本环节的传递函数典型基本环节的传递函数1. 比例环节比

18、例环节 2. 积分环节积分环节 3. 微分环节微分环节 4. 惯性环节惯性环节 2.4 传递函数传递函数2.4.3 2.4.3 典型基本环节的传递函数典型基本环节的传递函数5. 比例比例-微分环节微分环节 6. 振荡环节振荡环节 7. 二阶微分环节二阶微分环节 8. 延迟环节延迟环节 2.5 传递函数传递函数2.5.1 2.5.1 动态结构图的组成动态结构图的组成动态结构图又称方框图（动态结构图又称方框图（Block Diagram）、结构图，是一种网络拓）、结构图，是一种网络拓扑约束下的有向线图。控制系统的动态结构图一般由以下几部分组成：扑约束下的有向线图。控制系统的动态结构图一般由以下几部

19、分组成：有向线段：带有箭头的线段，表示信号的传递方向，线段上标注信有向线段：带有箭头的线段，表示信号的传递方向，线段上标注信号的原函数或象函数，如图号的原函数或象函数，如图2-17(a)所示。所示。方框：方框中为元部件的传递函数。见图方框：方框中为元部件的传递函数。见图2-17(b)。2.5 传递函数传递函数分支点分支点(分离点分离点)：表示信号分支或引出位置，从同一点引出的信号完：表示信号分支或引出位置，从同一点引出的信号完全相同如图全相同如图2-17(c)所示。所示。相加点（综合点）：对两个及以上信号进行代数和运算，相加点（综合点）：对两个及以上信号进行代数和运算，“+”号表号表示相加，示

20、相加，“-”号表示相减，如图号表示相减，如图2-17（d）所示。）所示。2.5 传递函数传递函数2.5.2 2.5.2 系统动态结构图的建立系统动态结构图的建立【例例2-14】 如例题如例题2-6位置随动系统，试建立系统的动态结构图。位置随动系统，试建立系统的动态结构图。 解：该系统由电位器及比较元件、放大器、直流电动机、齿轮系和负解：该系统由电位器及比较元件、放大器、直流电动机、齿轮系和负载组成，根据建立动态结构图的方法步骤，首先建立各元件的微分方程。载组成，根据建立动态结构图的方法步骤，首先建立各元件的微分方程。2.5 传递函数传递函数2.5.2 2.5.2 系统动态结构图的建立系统动态结

21、构图的建立【例例2-15】已知两级已知两级 网络如图网络如图2-20所示，作出该系统的动态结构图所示，作出该系统的动态结构图。RC2.5 传递函数传递函数2.5.2 2.5.2 系统动态结构图的建立系统动态结构图的建立【例例2-15】已知两级已知两级 网络如图网络如图2-20所示，作出该系统的动态结构图所示，作出该系统的动态结构图。RC2.5 传递函数传递函数2.5.2 2.5.2 系统动态结构图的建立系统动态结构图的建立【例例2-15】已知两级已知两级 网络如图网络如图2-20所示，作出该系统的动态结构图所示，作出该系统的动态结构图。RC，可以联，可以联立化简上述代数方程组得到，也可以在结构

22、图上直接通过结构图化简得立化简上述代数方程组得到，也可以在结构图上直接通过结构图化简得到。到。 2.5 传递函数传递函数2.5.2 2.5.2 系统动态结构图的建立系统动态结构图的建立【例例2-15】已知两级已知两级 网络如图网络如图2-20所示，作出该系统的动态结构图所示，作出该系统的动态结构图。RC将各基本环节的方块按照信号流通方向连接起来就可以得到如图将各基本环节的方块按照信号流通方向连接起来就可以得到如图2-212-21所示的系统的结构图。至于系统总的传递函数所示的系统的结构图。至于系统总的传递函数)()()(osUsUsGi，可以联，可以联立化简上述代数方程组得到，也可以在结构图上直

23、接通过结构图化简得立化简上述代数方程组得到，也可以在结构图上直接通过结构图化简得到。到。 2.5 传递函数传递函数2.5.2 2.5.2 系统动态结构图的建立系统动态结构图的建立【例例2-15】已知两级已知两级 网络如图网络如图2-20所示，作出该系统的动态结构图所示，作出该系统的动态结构图。RC将各基本环节的方块按照信号流通方向连接起来就可以得到如图将各基本环节的方块按照信号流通方向连接起来就可以得到如图2-212-21所示的系统的结构图。至于系统总的传递函数所示的系统的结构图。至于系统总的传递函数)()()(osUsUsGi2.5 传递函数传递函数2.5.3 2.5.3 动态结构图的化简动

24、态结构图的化简(一一)等效变换原则等效变换原则1. 串联联结的化简串联联结的化简2. 并联联结的化简并联联结的化简3. 反馈联结的化简反馈联结的化简4. 相加点（综合点）移动相加点（综合点）移动5. 分支点（分离点）移动分支点（分离点）移动2.5 传递函数传递函数2.5.3 2.5.3 动态结构图的化简动态结构图的化简两级两级RC滤波网络的结构图如图滤波网络的结构图如图2-30（a）所示，试采用结构图等效变）所示，试采用结构图等效变换法则化简结构图。换法则化简结构图。2.5 传递函数传递函数2.5.3 2.5.3 动态结构图的化简动态结构图的化简两级两级RC滤波网络的结构图如图滤波网络的结构图

25、如图2-30（a）所示，试采用结构图等效变换）所示，试采用结构图等效变换法则化简结构图。法则化简结构图。解：由结构图可见，该图只有一条前向通路，三条反馈通路路，也就是解：由结构图可见，该图只有一条前向通路，三条反馈通路路，也就是有三个自闭合回路，但回路中信号并不独立，回路内部有信号的相加点或分有三个自闭合回路，但回路中信号并不独立，回路内部有信号的相加点或分支点。所以在结构图分析时，首先将回路内部的相加点与分支点移出闭合回支点。所以在结构图分析时，首先将回路内部的相加点与分支点移出闭合回路外，就可以利用化简公式了。路外，就可以利用化简公式了。第一步：作相加点的逆移和分支点的顺移，如图第一步：作

26、相加点的逆移和分支点的顺移，如图2-30（b）所示。）所示。第二步：化简两个内部回路，并合并反馈支路中的串联环节，如图第二步：化简两个内部回路，并合并反馈支路中的串联环节，如图2-30（c）所示。）所示。第三步：令第三步：令 ，作反馈回路化简，如，作反馈回路化简，如图图2-30（d）所示。）所示。,111CRT ,222CRT 213CRT 2.5 传递函数传递函数2.5.3 2.5.3 动态结构图的化简动态结构图的化简所以，得到该网络的传递函数为所以，得到该网络的传递函数为 113212210sTTTsTTsUsUsGi2.5 传递函数传递函数(二二)梅森（梅森（S.J.Mason）公式）公

27、式1. 信号流程图中的基本概念信号流程图中的基本概念（1）节点：表示变量。如）节点：表示变量。如 , ，。节点自左向右顺序设置，。节点自左向右顺序设置，每个节点标志的变量是所有流向该节点的信号的代数和，而从同一节点流向每个节点标志的变量是所有流向该节点的信号的代数和，而从同一节点流向各支路的信号均用该节点的变量表示。各支路的信号均用该节点的变量表示。（2）源节点（输入节点）：在该节点上，只有信号的流出，没有信号）源节点（输入节点）：在该节点上，只有信号的流出，没有信号的流入。它一般代表系统的输入变量，故也称输入节点。如图的流入。它一般代表系统的输入变量，故也称输入节点。如图2-37中的中的 节

28、点。节点。1x2x1x2.5 传递函数传递函数(二二)梅森（梅森（S.J.Mason）公式）公式1. 信号流程图中的基本概念信号流程图中的基本概念（3）阱节点（输出节点）：在该节点上，只有信号的流入而没有信号）阱节点（输出节点）：在该节点上，只有信号的流入而没有信号的流出，它一般代表系统的输出变量，故也称输出节点。如图的流出，它一般代表系统的输出变量，故也称输出节点。如图2-32中的中的 节点。节点。（4）混合节点：在该节点上，既有信号的流入又有信号的流出。如图）混合节点：在该节点上，既有信号的流入又有信号的流出。如图2-37中的中的 节点。节点。（5）支路：两节点之间的定向线段。如图）支路：

29、两节点之间的定向线段。如图2-32中的中的 。（6）支路增益：两变量间的增益（即两变量间的传递函数）。如图）支路增益：两变量间的增益（即两变量间的传递函数）。如图2-32中的中的支路增益为支路增益为a。（7）通路通路：沿支路箭头方向穿过各相连支路的途径。如图：沿支路箭头方向穿过各相连支路的途径。如图2-32中的中的 节点。节点。6x2x3x2x3x2x2x3x4x5x2.5 传递函数传递函数(二二)梅森（梅森（S.J.Mason）公式）公式1. 信号流程图中的基本概念信号流程图中的基本概念（3）阱节点（输出节点）：在该节点上，只有信号的流入而没有信号）阱节点（输出节点）：在该节点上，只有信号的

30、流入而没有信号的流出，它一般代表系统的输出变量，故也称输出节点。如图的流出，它一般代表系统的输出变量，故也称输出节点。如图2-32中的中的 节点。节点。（4）混合节点：在该节点上，既有信号的流入又有信号的流出。如图）混合节点：在该节点上，既有信号的流入又有信号的流出。如图2-37中的中的 节点。节点。（5）支路：两节点之间的定向线段。如图）支路：两节点之间的定向线段。如图2-32中的中的 。（6）支路增益：两变量间的增益（即两变量间的传递函数）。如图）支路增益：两变量间的增益（即两变量间的传递函数）。如图2-32中的中的支路增益为支路增益为a。（7）通路通路：沿支路箭头方向穿过各相连支路的途径

31、。如图：沿支路箭头方向穿过各相连支路的途径。如图2-32中的中的 节点。节点。6x2x3x2x3x2x2x3x4x5x2.5 传递函数传递函数(二二)梅森（梅森（S.J.Mason）公式）公式1. 信号流程图中的基本概念信号流程图中的基本概念（8）前向通路：从输入节点到输出节点的通路上，通过任何节点不多）前向通路：从输入节点到输出节点的通路上，通过任何节点不多于一次，则该通路称为前向通路。如图于一次，则该通路称为前向通路。如图2-32中有两条前向通路，一条是中有两条前向通路，一条是 ,另一条是另一条是 。（9） 前向通路增益：前向通路中，各支路的增益的乘积称为前向通路前向通路增益：前向通路中，各支路的增益的乘积称为前向通路增益（包括正负号）。一般用增益（包括正负号）。一般用 表示，如图表示，如图2-32中的中的 ；。（10）回路：若通路的终点就是通路的起点，并且与其它任何节点相交）回路：若通路的终点就是通路的起点，并且与其它任何节点相交不多于一次的通路就称为回路。如图不多于一次的通路就称为回路。如图2-32中的中的 ； ； 等。等。6x4x5x1x1x2x5x6xkP111abcP112dP2x3x2x3x3x4x5x5x2x3x2.5 传递函数传递函数(二二)梅森（梅森（S.J.Mason）公式）公式1. 信号流程图中的基本概念信号流程图中