注重师生互动,引导学生自主学习

1、注重师生互动，引导学生自主学习两条直线的位置关系的听课与评课（编者按：本节课是扬州市高三数学一轮复习专题研讨课，陈老师在新课程 理念的指导下，尝试高三数学教学运用“师生互动，引导学生自主学习”的教学 模式进行高三一轮复习，收到了较好的效果。）（一）听课实录1知识点的导入与梳理师：前面两节课我们共同复习了直线的方程，今天这节课我们共同研究平面解析几何中两 条直线的位置关系。在平面解析几何中，两条直线的位置关系有哪些呢？ 生：相交，平行，重合。（板书）师：好，解析几何研究问题的基本思想是用曲线的方程研究曲线的性质，那么我们运用直 线方程的哪种形式更容易判定两条直线的位置关系呢？生：直线的斜截式方程

2、。师：好，那我们就从直线的斜截式方程着手。（板书）h : y = kjx b1l2 ： y = k2x b2两直线相交二 两直线平行二 两直线重合二生:ki = k2 ；b2师：非常好！注意大前提，斜率存在。若斜率不存在，怎么判断呢？生：（讨论）此时直线与 X轴垂直，画出图形，即可判定。师：在解题过程中，我们往往还会碰到给的直线方程是一般式方程。又如何根据一般式方 程中系数进行判定呢？师生：11 : A1x B1y G =0（A、Bi不同时为 0）12 : A2x B2y C2 =0（A2、B2不同时为0）两直线相交u有且仅有一个公共点u丿Ax+By+G-0有唯Ax + B2y+G =0A1

3、B1二=AB2ARhO ；A2 B2Ax+Bv +G =0两直线平行=无公共点二广 叩j 无解Ax+B2y +C2 =0AB2 A2B =0= ;AG - AG hO(BG -B2G 工0)两直线重合=无数个公共点 =A B2 a2b<i = 0AC2 _ A2G = 0Ax + Biy+G=0有无数组解二 + B2y +C2 =0师：我们已经梳理了根据直线方程来判定两直线的位置关系，那么我们常常研究较多的是 两种特殊的位置关系：平行、垂直。师生：(板书)lil2二丿kl球212pi 式 b2li _12是相交的特例，ki =k2，我们有:11 12 :二备注：斜率存在。若从一般式来看,

4、Ab -ab =0ii /12 -丿1AC2 AC 式 0(BC2 B2G 式0)li _ 12 u A| Ag ' Bi B2 0。2.自主探究、合作交流师：下面重点解决如何根据直线的方程判断两条直线的位置关系已知两直线h : mx y(m T) = 0； l2 ： x my-2m = 0，则当且仅当实数 m取何值时, li、I2分别是下列位置关系?(1) 相交;(2) 平行；(3) 重合；(4) 垂直。生1:当 m=0 时，ly =i；l2：x=0，则 h _l2;1当 m = 0时，h : y - -mx m 1; l2 : y x 2 m1h、I2相交：-mm =二1;m1l1

5、 l2:-m m ” m = -1;m 1=21i-m = 一一h、l2重合：m m=1;m 1 =21li J : (-m)() =1 即1 - -1，不可能m综上：m =二1 时，l1> 12相交；m = -1 时，h/12 ； m = 1 时，h、l2 重合；m = 0时，h _ l2。师：非常好！注意利用斜截式判断时必须要考虑斜率是否存在，实质上，本题l1斜率肯定存在，丨2斜率需要讨论。接着我们再来看几个相关类型的小题训练。基础扫描1：已知过点A( -2, m)和B(m,4)的直线与直线2x y-1 = 0平行，则m的值为()A.0B.-8C.2D.104 _m生 2: 2= m

6、 = -8，故选 B。m (2)k, = k2师：本题仅有m = -8，对于此类题注意斜率存在时，hl2二12，本题从“形”0式b2的角度，运用斜率进行刻划。基础扫描2：1“ m ”是“直线(m 2)x 3my 1 = 0与直线(m - 2)x (m 2)y -3 = 0相互垂直2的()A 充要条件B 充分而不必要条件C.必要而不充分条件D 既不充分也不必要条件m + 21生 3: l1 : (m ' 2)x ' 3my 1=0 即 y 二-一 2x 3m3ml2 ： (m -2)x (m 2)y -3 = 03mm 2 = 0 即 m - -2 时，h _ l2;m=0时，l

7、i、I2不垂直1故m 或- 2时，h_l2 ,选Bo2师：本题一开始就将一般式整理为斜截式时就必须考虑m = 0且m = -2。对于m = 0或m = -2时，单独讨论清楚。有没有更简捷的办法呢？1生 4:从一般式看，(m 2)(m - 2) 3m(m 2) =0，解得 m =丄或- 2。2师：注意“ m 2 ”不能随意约去，有可能为 0。再看，反馈练习1：am已知直线 li : ax by c = 0，直线 l2 : mx ny p = 0，贝U1 是 11 _ J 的()bnA 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充要条件 D 既不充分也不必要条件am生 5： h _ |2 = am

8、bn = 01,但若 n 二 0或 b = 0，则 am bn 二 0推不出bn= -1，故选 A obn师：很好！考虑得很周到，b或n有可能为0。反馈练习2：已知 M - '(x, y) |(3 m)x y =3m 4, N - '(x, y) |7x (5- m)y =4m$, M N = ：J ,则直线mx-3y =1在两坐标轴上截距之和为()A 6 126 12生6：选B。集合M、N表示的是两条直线上的点集。M N = < 等价于两直线平行,故有:-m=-2或4(舍去)°'(3+m)(5_m) =1 汉 7(3 m) 4m = (3m 4) 7直

9、线 mx -3y =1 为 2x 3y 1 = 01 15令x=0,则y；令y=0，则x，从而截距之和为-一。326师：本题需注意舍去一解，此解对应于两条直线重合的情形。同时，截距是数量，可正可 负可为0,因而选C,不选B。还有反馈练习9,找个同学把思路简述一下，对下答案。 反馈练习3：已知两直线 h : (m - 2)x 3y 2 - 0; l2 : x - my *6 = 0，则当时，直线 丨1、l2相交； 当 时，l 1 / l 2 ；当 时，丨1 一 12。生 7:相交=(m-2)m=1 3. m = -1 且m = 3 ；平行 u 八'm = 1 ；3汉6式2m汉m1 垂直二

10、(m -2) 1 3m = 0. m -。2师：请同学们比较两种方法的利弊，你更容易接受哪种方法呢？生：(讨论)方法选择，因人而异。当斜率存在时，斜截式较清晰；当给出直线斜率可能 不存在时，用一般式较简洁些。3应用拓展、引导学生自主学习师：下面重点研究两条直线的平行问题。看基础扫描3。基础扫描3：直线丨过点P(1,2)，且点M (2,3) , N (4, -5)到丨的距离相等，则直线 丨的方程是生 8:设 l : Ax By C = 0代入点P(1,2)则A 2B 0冉有2A+3B +C|4A -5B CxA2B2、A2B2即 2A + 3B+C =4A 5B + C令 B =1 则A+C +

11、2_0-2A+3+C =4A5+C解得：严4或= 637直线l的方程为：4x，y-6=0或 x y 02 2即 4x y -6 =0或 3x 2y -7 =0师：不错。但在已知条件下求直线I方程能否将你的解法适当改进呢？关键在于减少方程中待定系数的个数呢？生8:运用直线的点斜式方程师：0K!点斜式求直线方程的局限性是什么？生8:斜率要存在。师：好！画出草图，不难发现斜率不存在不适合题意。生 8 :设 I : y_2=k(x_1)即 kx_y_k 2=02k -3-k 24k+5 k +2”1 k2,1 k2解得：或w3 7-直线I的方程为y = -4x 6或y x2 2师：很好！解法调整的不错

12、。对于本题能否换一个角度处理？生9 :从“形”的角度，画图！师：很好！(作出草图)生9:要使M、N到直线I的距离相等，直线I要么与直线 MN平行，要么经过 线段MN的中点，只要求出这两条直线的方程。师：非常棒！在数学问题的解决中，从“数”的角度考虑问题，我们容易想到，但有的数学问题也要从“形”的角度寻求解题的突破口，以“形”助“数”，从而避免较复杂的计算，注意体会体会本题数形结合解题的妙处。下面我们再来看反馈练习4: 在直角坐标平面内，与点A(1,2)的距离为1,且与点B(3,1)的距离为2的直线共有 条?生10:|AB, J5，.所求的直线不可能与线段 AB相交，只可能在 A、B的两侧，故两

13、条。师：作出图形，若问到 A的距离为1的直线有多少条？生：无数条。师：这无数条直线有什么关系？生：圆！以A(1,2)为圆心，1为半径的圆的切线！师：大家的思维非常灵活！很好！同样到点B(3,1)的距离为2的直线呢？(作出图形)生：以B(3,1)为圆心，2为半径的圆的切线师：原问题中，两条直线是两个相交的圆的切线，故两条。若此时两圆的位置关系是相离，则这样的直线有几条？生：4条师：可能只有 3 条吗？生： 可能！此时两个圆的位置关系是相外切。师： 从这两题的解题方法上看，大家解题有什么收获？生： 数形结合解题更直观。师： 很好！形能助数的解决！所以今后大家在解决数学问题时，要学会从“数”与“形”

14、 两个的方面考虑问题，尤其以形助数，数形结合不可小觑。4知识回顾、总结提高师： 同学们，通过本节课的讨论，大家学到了哪些知识？生 11：通过本节课的学习，使我学会了如何判断两条直线的位置关系，点到直线的距离公 式以及两条平行线间的距离公式的运用。师： 还有什么收获吗？师：通过本节课的学习， 对于判断两条直线的位置关系， 要灵活选择恰当的方法进行判断， 对于某些数学问题的解决要注意数学方法的积累与运用，尤其数形结合，分类讨论等 数学思想方法。（二）评课 本节课以“两条直线的位置关系”为主线串连起来，从形式和内容上都体现了“师生互动、引导学生自主学习”的特征。结构形式上营造了比较轻松活泼的课堂氛围

15、，知识的 梳理在师生共同回忆中完成，拉近了教师和学生的距离，例题分析与讲解都是在师生共同 合作与交流中完成，分析了学生存在的问题，并解决了学生存在的问题，在互动中达到了 知识与方法的理解与掌握。 纵观整堂课， 思路清晰， 结构完整， 知识与技能、 过程与方法、 情感态度与价值观等三维目标都达到了比较理想的程度，在传授知识的过程中，适时运用 激励与表扬的语言，如“好” 、“很好”、“棒”， 肯定了学生的想法，调动了学生学习数学 兴趣与热情，在和谐与热烈的课堂氛围中训练了学生的数学思维，提高了学生的数学解题 能力，较好地完成了教学任务。当然，针对高三一轮复习本节课也存在值得商榷的地方。1 一轮复习对数学知识的梳理要一步体现知识的网络化。 解析几何中研究两条直线的位置关系一是根据方程如何判断它们的位置关系； 二是每 一种位置关系重点研究哪些问题，例如相交重点研究相交直线的交点与角，平行重点研究 两平行间的距离问题。这样知识点的梳理更加脉络分明，条理化，网络化。2一轮复习对数学方法的介绍要有选择性与重点性。判断两条直线的位置关系， 每一个问题教者都是从 “数” 与“形”两个角度进行判断，