D1-3函数的极限ppt课件

1、 第一章 一、自变量趋于有限值时函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限, )(xfy 对0)1(xx 0)2(xx0)3(xxx)4(x)5(x)6(自变量变化过程的六种形式:二、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限本节内容本节内容 :机动 目录 上页 下页 返回 完毕 函数的极限 一、自变量趋向有限值时函数的极限;)()(任任意意小小表表示示AxfAxf .000的的过过程程表表示示xxxx x0 x 0 x 0 x ,0邻邻域域的的去去心心点点 x.0程程度度接接近近体体现现xx 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 :. 1 定义定义定定义义 .)(,0, 0,

2、 00 Axfxx恒恒有有时时使使当当机动 目录 上页 下页 返回 完毕 定义1 . 设函数)(xf在点0 x的某去心邻域内有定义 ,2.几何解释几何解释:)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo.2,)(,0的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线线线图形完全落在以直图形完全落在以直函数函数域时域时邻邻的去心的去心在在当当 Ayxfyxx注意：注意：;)(. 10是是否否有有定定义义无无关关在在点点函函数数极极限限与与xxf.,越越小小越越好好后后找找到到一一个个显显然然 强强调调存存在在性性. .有有关关, ,与与任任意意给给定定的的正正数数. 2机动 目录 上页 下页 返回 完

3、毕 例1. 证明)(lim0为常数CCCxx证证:Axf)(CC 0故,0对任意的,0当00 xx时 , 0CC因而CCxx0lim总有机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例2.lim00 xxxx 证证明明证证,)(0 xxAxf , 0 任给任给, 取取,00时时当当 xx0)(xxAxf ,成立成立 .lim00 xxxx 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例3. 证明1)12(lim1xx证证:Axf)(1) 12(x12x欲使,0取,2则当10 x时 , 必有1) 12()(xAxf因而,)( Axf只要,21x1)12(lim1xx机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例4. 证

4、明211lim21xxx证证:Axf)(2112xx21 x故,0取,当10 x时 , 必有2112xx因而211lim21xxx1 x机动 目录 上页 下页 返回 完毕 注意：函数在点注意：函数在点x =1处没有定义，但极限存在处没有定义，但极限存在例如例如,. 1)(lim0, 10,1)(02 xfxxxxxfx证明证明设设两种情况分别讨论两种情况分别讨论和和分分00 xx,0 xx从左侧无限趋近从左侧无限趋近)( ; 000 xxxx记作,0 xx从右侧无限趋近从右侧无限趋近)( ; 000 xxxx记作yox1xy 112 xy2. 左极限与右极限机动 目录 上页 下页 返回 完毕

5、左极限左极限.)(, 0, 000 Axfxxx恒恒有有时时使使当当右极限右极限.)(, 0, 000 Axfxxx恒恒有有时时使使当当.)()(lim0)(000AxfAxfxxxx或记作.)()(lim0)(000AxfAxfxxxx或记作机动 目录 上页 下页 返回 完毕 000:000 xxxxxxxxx注注意意.)()()(lim:1000AxfxfAxfxx定理例5. 设函数0,10,00, 1)(xxxxxxf讨论 0 x时)(xf的极限是否存在 . xyo11 xy11 xy解解: 利用定理利用定理 1 .因为)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1)(lim0 xfx)

6、1(lim0 xx1显然, )0()0( ff所以)(lim0 xfx不存在 .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 . 1)(lim0, 10,1)(02xfxxxxxfx证明设yox1xy 112 xy证证11lim)(lim00 xxfxx11lim)(lim200 xxfxx. 1)(lim0 xfx例6. 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 一般地一般地, ,在下述情况考虑左右极限在下述情况考虑左右极限: :1.1.求分段函数在分段点处的极限求分段函数在分段点处的极限; ;2.2.三角函数在特殊点处的三角函数在特殊点处的左右极限左右极限, ,如如 tanx tanx 在在/2/2处的左

7、右极限不同处的左右极限不同; ;3.3.反三角函数、指数函数也有类似情形反三角函数、指数函数也有类似情形, ,如如 e1/x e1/x 及及 arctan1/x arctan1/x在在 x=0 x=0 处的左右极限不同处的左右极限不同. .xyarctan oxy机动 目录 上页 下页 返回 完毕 .sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx播放播放二、自变量趋向无穷大时函数的极限二、自变量趋向无穷大时函数的极限机动 目录 上页 下页 返回 完毕 ;)()(任任意意小小表表示示AxfAxf .的过程的过程表示表示 xXx. 0sin)(,无限趋近于无限趋近于无限增大时无限增大时

8、当当xxxfx 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察: :机动 目录 上页 下页 返回 完毕 : :定义定义1.1.定义定义X .)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有时时使使当当 Axfx)(lim机动 目录 上页 下页 返回 完毕 定义定义2 . 设函数设函数xxf当)(大于某一正数时有定义,:.10情情形形 x.)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有时时使使当当:.20情形情形xAxfx )(lim.)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当Axfx )(lim2.另两种情形另两种情形:Axfx)(lim:2定理.)(lim)(limAxfAxfxx且机动 目录 上页 下

9、页 返回 完毕 xxysin 3.几何解释几何解释: X X.2,)(,的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线直线直线图形完全落在以图形完全落在以函数函数时时或或当当 AyxfyXxXxA机动 目录 上页 下页 返回 完毕 xxysin 例例5. 0sinlim xxx证证明明证证xxxxsin0sin x1 , 0 ,1 X取取时时恒恒有有则则当当Xx ,0sin xx. 0sinlim xxx故故.)(,)(lim:的的图图形形的的水水平平渐渐近近线线是是函函数数则则直直线线如如果果定定义义xfycycxfx 4.函数极限的性质(2) (2) 局部有界性局部有界性(1) (1)

10、唯一性唯一性机动 目录 上页 下页 返回 完毕 3. 局部保号性局部保号性定理定理3 . 假设假设,)(lim0Axfxx且 A 0 ,),(0时使当xx. 0)(xf)0)(xf证证: 知知,)(lim0Axfxx即,0, ),(0 x当时, 有.)(AxfA当 A 0 时, 取正数,A则在对应的邻域上. 0)(xf( 0)(A则存在( A 0 ),(0 x),(0 xx),(0 x0 x0 xAAAx0 xy)(xfy )0(机动 目录 上页 下页 返回 完毕 推论 . 若在0 x的某去心邻域内0)(xf)0)(xf, 且 ,)(lim0Axfxx那么. 0A)0(A证证: 用反证法用反证

11、法.则由定理 3,0 x的某去心邻域 , 使在该邻域内,0)(xf与已知所以假设不真, .0A考虑考虑: 若推论若推论 中的条件改为中的条件改为, 0)(xf是否必有?0A不能不能! 0lim20 xx存在如 假设 A 0 , 条件矛盾,故时,当0)(xf机动 目录 上页 下页 返回 完毕 内容小结1. 函数极限的或X定义及应用2. 函数极限的性质:保号性定理与左右极限等价定理若极限)(lim0 xfxx存在,)()(lim00 xfxfxx是否一定有第四节 目录 上页 下页 返回 完毕 ？唯一性、有界性考虑考虑练习练习2. 设函数)(xf且)(lim1xfx存在, 那么. a3 作业 P36

12、 1 - 6 第四节 目录 上页 下页 返回 完毕 1, 121,2xxxxa,0,0, 1)(. 12xxxxxf).(lim0 xfx求.不存在.lim0不不存存在在验验证证xxxyx11 oxxxxxx 00limlim左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,.)(lim0不不存存在在xfx3.证证1)1(lim0 xxxxxxx00limlim 11lim0 x机动 目录 上页 下页 返回 完毕 .)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx 定定理理.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的