上课用20150928-01 最优控制理论

1、 2008 HFUT最优控制理论School of Electrical Engineering and Automation2 2008 HFUT最优控制理论School of Electrical Engineering and Automation3第第1 1章章 引言引言第第2 2章章 用变分法求解最优控制问题用变分法求解最优控制问题第第3 3章章 极小值原理及其应用极小值原理及其应用第第4 4章章 线性二次型问题的最优控制线性二次型问题的最优控制第第5 5章章 动态规划法动态规划法 2008 HFUT最优控制理论School of Electrical Engineering and

2、 Automation4 最优控制是系统设计的一种方法。它最优控制是系统设计的一种方法。它所研究的中心问题是如何选择所研究的中心问题是如何选择控制信号才能保证控制系统的性能在某种意义下最优。控制信号才能保证控制系统的性能在某种意义下最优。一、现代控制理论一、现代控制理论 现代控制理论是研究系统状态的控制和观测的理论，主要包括5个方面： 1 1、线性系统理论：研究线性系统的性质，能观性、能控性、稳定性等。、线性系统理论：研究线性系统的性质，能观性、能控性、稳定性等。 以以状态状态空间法空间法为主要工具研究多变量线性系统的理论。为主要工具研究多变量线性系统的理论。 2 2、系统辨识：、系统辨识：

3、根据输入、输出观测确定系统数学模型。根据输入、输出观测确定系统数学模型。 3 3、最优控制、最优控制：寻找最优控制向量寻找最优控制向量u(t)。根据给定的目标函数和约束条件根据给定的目标函数和约束条件, ,寻求最优寻求最优的控制规律的问题。的控制规律的问题。 4 4、最佳滤波（卡尔曼滤波、最优估计）：存在噪声情况下，如何根据输入、输出、最佳滤波（卡尔曼滤波、最优估计）：存在噪声情况下，如何根据输入、输出估计状态变量。估计状态变量。 5 5、适应控制：利用辨识系统动态特性的方法随时调整控制规律以实现最优控制，、适应控制：利用辨识系统动态特性的方法随时调整控制规律以实现最优控制，即在参数扰动情况下

4、，控制器的设计问题。即在参数扰动情况下，控制器的设计问题。 把鲁棒控制、预测控制均纳入到现代控制理论的范畴。把鲁棒控制、预测控制均纳入到现代控制理论的范畴。 2008 HFUT最优控制理论School of Electrical Engineering and Automation5二、最优控制的发展简史二、最优控制的发展简史 第二次世界大战以后发展起来的自动调节原理，对设计与分析单输第二次世界大战以后发展起来的自动调节原理，对设计与分析单输入单输出的线性定常系统是有效的；然而近代航空及空间技术的发展对控入单输出的线性定常系统是有效的；然而近代航空及空间技术的发展对控制精度提出了很高的耍求，并

5、且被控制的对象是多输入多输出的，参数是制精度提出了很高的耍求，并且被控制的对象是多输入多输出的，参数是时变的。面临这些新的情况建立在传递函数基础上的自动调节原理就日时变的。面临这些新的情况建立在传递函数基础上的自动调节原理就日益显出它的局限性来。这种局限性首先表现在对于时变系统，传递函数根益显出它的局限性来。这种局限性首先表现在对于时变系统，传递函数根本无法定义，对多输入多输出系统从传递函数概念得出的工程结论往往难本无法定义，对多输入多输出系统从传递函数概念得出的工程结论往往难于应用。由于工程技术的需要，以状态空间概念为基础的最优控制理论渐于应用。由于工程技术的需要，以状态空间概念为基础的最优

6、控制理论渐渐发展起来。最优控制理论是现代控制理论的核心，渐发展起来。最优控制理论是现代控制理论的核心，2020世纪世纪5050年代发展年代发展起来的，已形成系统的理论。起来的，已形成系统的理论。 最优控制理论所要解决的问题是：按照控制对象的动态特最优控制理论所要解决的问题是：按照控制对象的动态特性，选择一个容许控制，使得被控对象按照技术要求运转，性，选择一个容许控制，使得被控对象按照技术要求运转，同时使性能指标达到最优值。同时使性能指标达到最优值。 2008 HFUT最优控制理论School of Electrical Engineering and Automation6 二、最优控制的发展

7、简史二、最优控制的发展简史o先期工作：先期工作：n19481948年，年，维纳维纳(N.Wiener)(N.Wiener)发表发表控制论控制论，引进了信息、反馈和引进了信息、反馈和控制等重要概念，奠定了控制论控制等重要概念，奠定了控制论(Cybernetics)(Cybernetics)的基础。并提出了的基础。并提出了相对于某一性能指标进行最优设计的概念。相对于某一性能指标进行最优设计的概念。19501950年年, ,米顿纳尔米顿纳尔(Medona1)(Medona1)首先将这个概念用于研究继电器系统在单位阶跃作用下首先将这个概念用于研究继电器系统在单位阶跃作用下的 过 渡 过 程 的 时 间

8、 最 短 最 优 控 制 问 题 。的 过 渡 过 程 的 时 间 最 短 最 优 控 制 问 题 。n19541954年，年，钱学森编著钱学森编著工程控制论工程控制论（上下册），（上下册），作者系统地揭示作者系统地揭示了控制论对自动化、航空、航天、电子通信等科学技术的意义和重了控制论对自动化、航空、航天、电子通信等科学技术的意义和重大影响。其中大影响。其中“最优开关曲线最优开关曲线”等素材，直接促进了最优控制理论等素材，直接促进了最优控制理论的形成和发展。的形成和发展。 2008 HFUT最优控制理论School of Electrical Engineering and Automatio

9、n7o理论形成阶段：理论形成阶段： 自动控制联合会自动控制联合会(IFAC)(IFAC)第一届世界大会于第一届世界大会于19601960年召开年召开, ,卡尔曼卡尔曼（KalmanKalman）、贝尔曼（）、贝尔曼（R.BellmanR.Bellman）和庞特里亚金（）和庞特里亚金（PontryaginPontryagin）分）分别在会上作了别在会上作了“控制系统的一般理论控制系统的一般理论”、“动态规划动态规划”和和“最优控最优控制理论制理论”的报告的报告, ,宣告了最优控制理论的诞生宣告了最优控制理论的诞生, ,人们也称这三个工作人们也称这三个工作是现代控制理论的三个里程碑。是现代控制理论

10、的三个里程碑。o1953195319571957年，年，贝尔曼贝尔曼(R.E.Bellman)(R.E.Bellman)创立创立“动态规划动态规划”原理原理。为了解决多阶段决策过程逐步创立的，依据最优化原理，用一组基为了解决多阶段决策过程逐步创立的，依据最优化原理，用一组基本的递推关系式使过程连续地最优转移。本的递推关系式使过程连续地最优转移。“动态规划动态规划”对于研究最对于研究最优控制理论的重要性，表现于可得出离散时间系统的理论结果和迭优控制理论的重要性，表现于可得出离散时间系统的理论结果和迭代算法。代算法。 2008 HFUT最优控制理论School of Electrical Engi

11、neering and Automation8o1956195619581958年，年，庞特里亚金创立庞特里亚金创立“极小值原理极小值原理”。它是最优控制理论的主要组成部分和该理论发展史上的一个里程碑。它是最优控制理论的主要组成部分和该理论发展史上的一个里程碑。对于对于“最大值原理最大值原理”，由于放宽了有关条件的使得许多古典变分法，由于放宽了有关条件的使得许多古典变分法和动态规划方法无法解决的工程技术问题得到解决，所以它是和动态规划方法无法解决的工程技术问题得到解决，所以它是解决解决最优控制问题的一种最普遍的有效的方法最优控制问题的一种最普遍的有效的方法。同时，庞特里亚金在。同时，庞特里亚金

12、在最优过程的数学理论最优过程的数学理论著作中已经把最优控制理论初步形成了一著作中已经把最优控制理论初步形成了一个完整的体系。个完整的体系。n此外，构成最优控制理论及现代最优化技术理论基础的代表性此外，构成最优控制理论及现代最优化技术理论基础的代表性工作，工作， 还有不等式约束条件下的非线性最优必要条件还有不等式约束条件下的非线性最优必要条件( (库库恩恩图克定理图克定理) )以及卡尔曼的关于随机控制系统最优滤波器等。以及卡尔曼的关于随机控制系统最优滤波器等。 2008 HFUT最优控制理论School of Electrical Engineering and Automation9三、研究最

13、优控制的方法三、研究最优控制的方法 从数学方面看，从数学方面看，最优控制问题最优控制问题就是求解一类带有约束条件的泛函极值就是求解一类带有约束条件的泛函极值问题，因此这是一个变分学的问题：然而问题，因此这是一个变分学的问题：然而变分理论变分理论只是解决只是解决容许控制属于容许控制属于开集开集的一类最优控制问题，而在工程实践中还常遇到的一类最优控制问题，而在工程实践中还常遇到容许控制属于闭集容许控制属于闭集的的一类最优控制问题，这就要求人们研究新方法。一类最优控制问题，这就要求人们研究新方法。 在研究最优控制的方法中，有两种方法最富成效：一种是苏联学者在研究最优控制的方法中，有两种方法最富成效：

14、一种是苏联学者庞特里雅金提出的庞特里雅金提出的“极大值原理极大值原理”；另一种是美国学者贝尔曼提出的；另一种是美国学者贝尔曼提出的“动动态规划态规划”。 极大值原理极大值原理是庞特里雅金等人在是庞特里雅金等人在19561956至至19581958年间逐步创立的，先是年间逐步创立的，先是推测出极大值原理的结论，随后又推测出极大值原理的结论，随后又提供了一种证明方法。提供了一种证明方法。 动态规划动态规划是贝尔曼在是贝尔曼在19531953年至年至19581958年间逐步创立的，他依据年间逐步创立的，他依据最优性原理发展了变分学中的最优性原理发展了变分学中的哈密顿哈密顿- -雅可比理论，构成了动雅

15、可比理论，构成了动态规划。态规划。 2008 HFUT最优控制理论School of Electrical Engineering and Automation10 由于电子计算机技术的发展，使得设计计算和实时控制有了实际可由于电子计算机技术的发展，使得设计计算和实时控制有了实际可用的计算工具，为实际应用一些更完善的数学方法提供了工程实现的物用的计算工具，为实际应用一些更完善的数学方法提供了工程实现的物质条件，高速度、大容量计算机的应用，一方面使控制理论的工程实现质条件，高速度、大容量计算机的应用，一方面使控制理论的工程实现有了可能，另一方面又提出了许多需要解决的理论课题，因此这门学科有了可能

16、，另一方面又提出了许多需要解决的理论课题，因此这门学科目前是正在发展的，极其活跃的科学领域之一。目前是正在发展的，极其活跃的科学领域之一。 四、四、 求解最优控制问题求解最优控制问题 可以采用可以采用解析法解析法或或数值计算法数值计算法变分法无约束 极值原理、动态规则有约束区间消去法爬山法梯度法最优控制问题解析法数值计算法 2008 HFUT最优控制理论School of Electrical Engineering and Automation11什么是最优控制？以下通过直流他励电机的控制问题来说明什么是最优控制？以下通过直流他励电机的控制问题来说明问题问题6-1 电动机的电动机的运动方程运

17、动方程为为tJTIKDFDmdd（1）其中，其中， 为转矩系数；为转矩系数； 为转动惯量；为转动惯量； 为恒定的负载转矩；为恒定的负载转矩；mKDJFT希望：希望：在时间区间在时间区间0，tf内，电动机从静止起动，转过一定角度内，电动机从静止起动，转过一定角度后停止，使电枢电阻后停止，使电枢电阻 上的损耗上的损耗 最小，求最小，求DRttIREDtDfd)(20)(tIDDI因为因为 是时间的函数，是时间的函数，E 又是又是 的函数，的函数，E 是函数的函数，称为是函数的函数，称为泛函泛函。DIconstttftd)(0（2） 2008 HFUT最优控制理论School of Electric

18、al Engineering and Automation12采用采用状态方程状态方程表示，令表示，令1x12xxDFDDmJTIJKx2于是于是FDDDmTJIJKxxxx10000102121（3）初始状态初始状态00)0()0(21xx末值状态末值状态0)()(21fftxtxDI控制控制 不受限制不受限制性能指标性能指标ttIREDtDfd)(20（4）)(tID本问题的最优控制问题是本问题的最优控制问题是：在数学模型（：在数学模型（3）的约束下，寻求一个）的约束下，寻求一个控制控制 ，使电动机从初始状态转移到末值状态，性能指标，使电动机从初始状态转移到末值状态，性能指标E 为为最小。

19、最小。 2008 HFUT最优控制理论School of Electrical Engineering and Automation13问题问题6-2对于问题对于问题6-1中的直流他励电动机，如果电动机从初始中的直流他励电动机，如果电动机从初始)(tID时刻时刻 的静止状态转过一个角度的静止状态转过一个角度 又停下，求控制又停下，求控制 （ 是是受到限制的），使得所需时间最短。受到限制的），使得所需时间最短。00t)(tID这也是一个最优控制问题：这也是一个最优控制问题：系统方程系统方程为为FDDDmTJIJKxxxx10000102121初始状态初始状态00)0()0(21xx末值状态末值状

20、态0)()(21fftxtx)(tIDmaxDI（5）性能指标性能指标ftttJf0d（6）)0(x最优控制问题最优控制问题为：在状态方程的约束下，寻求最优控制为：在状态方程的约束下，寻求最优控制，将，将 转移到转移到 ，使，使J 为极小。为极小。maxDI)(tID)(ftx 2008 HFUT最优控制理论School of Electrical Engineering and Automation14例例1.1 月球上的软着陆问题月球上的软着陆问题 飞船靠其发动机产生一与月球重力方向相反的推飞船靠其发动机产生一与月球重力方向相反的推力力u(t)u(t)，以使飞船在月球表面实现软着陆，要寻求

21、发，以使飞船在月球表面实现软着陆，要寻求发动机推力的最优控制规律，以便使燃料的消耗为最少。动机推力的最优控制规律，以便使燃料的消耗为最少。 设飞船质量为m(t)，高度为h(t)，垂直速度为v(t)，发动机推力为u(t)，月球表面的重力加速度为常数g。设不带燃料的飞船质量为M， 初始燃料的总质量为F初始高度为h0，初始的垂直速度为v0， k为比例系数，表示推力与燃料消耗率的关系，那么飞船的运动方程式可以表示为：)()()()()()()(tkutmtmtugtvtvth初始条件 FMmvvhh)0()0()0(00终端条件 0)(0)(fftvth性能指标是使燃料消耗为最小，即 约束条件)(0t

22、u)(ftmJ 达到最大值 我们的任务是寻求发动机推力的最优控制规律u(t),它应满足约束条件，使飞船由初始状态转移到终端状态，并且使性能指标为极值(极大值)。 2008 HFUT最优控制理论School of Electrical Engineering and Automation15系统状态方程系统状态方程为为),(tux,fx 初始状初始状态为态为)(0tx其中，其中，x 为为n 维状态向量；维状态向量； u 为为r 维控制向量；维控制向量； f 为为n 维向量函数，维向量函数，它是它是 x 、u 和和t 的连续函数，并且对的连续函数，并且对x 、t 连续可微。连续可微。最优。其中最优

23、。其中 是是 x 、u 和和t 的连续函数的连续函数),(tuxL)(ftxrRu 寻求在寻求在 上的最优控制上的最优控制 或或 ，以将系统状，以将系统状态从态从 转移到转移到 或或 的一个集合，并使的一个集合，并使性能指标性能指标,0fttrRU u)(0tx)(ftxttttJfttffd),(),(0uxLx最优控制问题最优控制问题就是求解一类带有约束条件的条件泛函极值问题。就是求解一类带有约束条件的条件泛函极值问题。 2008 HFUT最优控制理论School of Electrical Engineering and Automation16在叙述最优控制问题的提法之前，先讨论一些基

24、本概念。在叙述最优控制问题的提法之前，先讨论一些基本概念。 1) 1) 有一个被控对象（有一个被控对象（受控系统的数学模型）受控系统的数学模型） 一个集中参数的受控系统总可以用一组一阶微分方程来描述，即状态方程，一个集中参数的受控系统总可以用一组一阶微分方程来描述，即状态方程，其一般形式为：其一般形式为：00)(),(),()(xtxttutxftx)(tx是是n维状态向量维状态向量 )(tu为为p维控制向量维控制向量,在在t0,tf 上分段连续上分段连续),(),(ttutxf为为n维连续向量函数维连续向量函数, 对对x和和t连续可微连续可微 ),()(),(),()(),(),()(),(

25、),()(),(),()(),(),()(),(),(),(),(),(),(),(),(),()(2121212122121121ttutututxtxtxfttutututxtxtxfttutututxtxtxfttutxfttutxfttutxfttutxftxpnnpnpnn 2008 HFUT最优控制理论School of Electrical Engineering and Automation172) 2) 有一目标集及边界条件（有一目标集及边界条件（边界条件与目标集）边界条件与目标集） a）边界条件：）边界条件：初始状态初始状态： 如果把状态视为如果把状态视为n维欧氏空间中的一

26、个点，在最优控制问维欧氏空间中的一个点，在最优控制问题中，题中，起始状态（初态）起始状态（初态）通常是已知的，即通常是已知的，即)0()(0 xtx 末端状态：末端状态： 而所达到的而所达到的状态（末态）状态（末态）可以是状态空间中的一个点，或可以是状态空间中的一个点，或事先规定的范围内，对末态的要求可以用事先规定的范围内，对末态的要求可以用末态约束条件末态约束条件来表示：来表示：nrRttxrff,)(0),(说明：至于末态时刻，可以事先规定，也可以是未知的。说明：至于末态时刻，可以事先规定，也可以是未知的。有时初态也没有完全给定，这时，初态集合可以类似地用初态约束来表示。有时初态也没有完全

27、给定，这时，初态集合可以类似地用初态约束来表示。 2008 HFUT最优控制理论School of Electrical Engineering and Automation183) 3) 容许控制容许控制在实际控制问题中，大多数控制量受客观条件的限制，只能在一定范在实际控制问题中，大多数控制量受客观条件的限制，只能在一定范围内取值，这种限制通常可以用如下不等式约束来表示：围内取值，这种限制通常可以用如下不等式约束来表示：piuutui2 , 1)(0max或上述由控制约束所规定的点集称为控制域上述由控制约束所规定的点集称为控制域，凡在，凡在t0-tf上有定义，且在上有定义，且在控制域控制域内

28、取值的每一个控制函数内取值的每一个控制函数u(t)均称为均称为容许控制容许控制。0),(ftxM( ,)0,pftpnxxR目标集：目标集：在控制在控制u的作用下，把被控对象的初态的作用下，把被控对象的初态x0在某个终端时刻在某个终端时刻转移到某个终端状态转移到某个终端状态x(tf)。 x(tf)通常受几何约束。例如考虑它是一通常受几何约束。例如考虑它是一个点集，在约束条件个点集，在约束条件 下下 目标集为目标集为 b）目标集）目标集：满足末态约束的状态集合满足末态约束的状态集合称为目标集称为目标集，记为，记为M，即：，即：0),(,)();(ffnffttxRtxtxM 2008 HFUT最

29、优控制理论School of Electrical Engineering and Automation19 为了能在各种控制律中寻找到效果最好的控制，需要建立为了能在各种控制律中寻找到效果最好的控制，需要建立一种评价控制效果好坏或控制品质优劣的性能指标函数。一种评价控制效果好坏或控制品质优劣的性能指标函数。又称代价（成本，目标）函数或泛函，记做又称代价（成本，目标）函数或泛函，记做 ，它是一个依赖于控制的有限实数，一般的表达式为：它是一个依赖于控制的有限实数，一般的表达式为： 该表达式包括了依赖于终端时刻该表达式包括了依赖于终端时刻t tf f和终端状态和终端状态x(tf)的末值的末值型项，

30、以及依赖于这个控制过程的积分型项。因此，可型项，以及依赖于这个控制过程的积分型项。因此，可将最优控制问题的将最优控制问题的性能指标分为性能指标分为：混合型混合型、末值型末值型和和积积分型分型。不同的控制问题，应取不同的性能指标：。不同的控制问题，应取不同的性能指标： )(uJfttffdtttutxLttxuJ0),(),(),()(4) 4) 性能指标性能指标 2008 HFUT最优控制理论School of Electrical Engineering and Automation20（1 1）积分型性能指标）积分型性能指标： a.a.最短时间控制：最短时间控制： b.b.最少燃烧控制：最

31、少燃烧控制： c.c.最小能量控制最小能量控制: :（2 2）末值型性能指标）末值型性能指标（3 3）混合型性能指标）混合型性能指标fttfttdtuJttutxL00)(, 1),(),(fttdtttutxLuJ0),(),()(mjjtuttutxL1)(),(),( fttmjjdttuJ01)(fttTdttutuJ0)()()()(),(),(tututtutxLT),()(ffttxuJfttffdtttutxLttxuJ0),(),(),()( 2008 HFUT最优控制理论School of Electrical Engineering and Automation215)

32、5) 最优控制的提法最优控制的提法已知受控系统的已知受控系统的状态方程及给定的初态状态方程及给定的初态),(),()(ttutxftx)0()(0 xtx规定的目标集为规定的目标集为M，求一，求一容许控制容许控制u(t),t t0,tf,使系统从给定的初使系统从给定的初态出发，在态出发，在tf t0时刻转移到目标集时刻转移到目标集M，并使，并使性能指标性能指标 fttffdtttutxLttxJ0),(),(),(（）（为最小为最小。通常用以下泛函形式表示。通常用以下泛函形式表示 这就是最优控制问题。这就是最优控制问题。如果问题有解，记为如果问题有解，记为u*(t), t t0,tf,则则u*

33、(t)叫做叫做最优控制（极值控制）最优控制（极值控制），相应的轨线相应的轨线X*(t)称为称为最优轨线（极值轨线最优轨线（极值轨线），而性能指标），而性能指标J*=J（u*()）则）则称为称为最优性能指标最优性能指标。0),()(,),(),()(.),(),(),(min00)(0ffttfftuttxxtxttutxftxtsdtttutxLttxJf 2008 HFUT最优控制理论School of Electrical Engineering and Automation22设计最优控制系统时，很重要的一个问题是选择性能指标，性能指标按其设计最优控制系统时，很重要的一个问题是选择性能指

34、标，性能指标按其数学形式可分为如下三类：数学形式可分为如下三类：1）积分型性能指标）积分型性能指标 fttdtttutxLJ0),(),(这样的最优控制问题为这样的最优控制问题为拉格朗日问题拉格朗日问题。2）终值型性能指标）终值型性能指标),(ffttxJ这种性能指标只是对于系统在动态过程结束时的终端状态提出了要求，这种性能指标只是对于系统在动态过程结束时的终端状态提出了要求，而对于整个动态过程中系统的状态和控制的演变未作要求。这样的最优而对于整个动态过程中系统的状态和控制的演变未作要求。这样的最优控制问题为控制问题为迈耶尔问题迈耶尔问题。3）复合型性能指标）复合型性能指标 fttffdttt

35、utxLttxJ0),(),(),(这样的最优控制问题为这样的最优控制问题为波尔扎问题波尔扎问题。 通过适当变换，拉格朗日问题和迈耶尔问题可以相互转换。通过适当变换，拉格朗日问题和迈耶尔问题可以相互转换。 2008 HFUT最优控制理论School of Electrical Engineering and Automation23按控制系统的用途不同，所选择的性能指标不同，常见的有：按控制系统的用途不同，所选择的性能指标不同，常见的有：1：最小时间控制：最小时间控制fttfdtttJ0102：最小燃料消耗控制：最小燃料消耗控制 粗略地说，控制量粗略地说，控制量u(t)与燃料消耗量成正比，最小

36、燃料消耗问题的与燃料消耗量成正比，最小燃料消耗问题的性能指标为：性能指标为： fttdttuJ0| )(|3：最小能量控制：最小能量控制 设标量控制函数设标量控制函数u2(t)与所消耗的功率成正比，则最小能量控制问题的与所消耗的功率成正比，则最小能量控制问题的性能指标为：性能指标为： fttdttuJ0)(2 2008 HFUT最优控制理论School of Electrical Engineering and Automation244：状态调节器：状态调节器给定一个线性系统，其平衡状态给定一个线性系统，其平衡状态X(0)=0，设计的目的是保持系统处于平衡状态，设计的目的是保持系统处于平衡状

37、态，即这个系统应能从任何初始状态返回平衡状态。这种系统称为即这个系统应能从任何初始状态返回平衡状态。这种系统称为线性调节器线性调节器。 线性调节器的性能指标为线性调节器的性能指标为： fttniidttxJ012)(加权后的性能指标为：加权后的性能指标为： fttniiidttxqJ012)(对对u(t)有约束的性能指标为有约束的性能指标为： fttTTdttRututQxtxJ0)()()()(21式中式中Q和和R都是正定加权矩阵。都是正定加权矩阵。 一般形式，一般形式，有限时间线性调节器性能指标有限时间线性调节器性能指标： fttTTffTdttRututQxtxtFxtxJ0)()()(

38、)(21)()(21无限时间线性调节器性能指标：无限时间线性调节器性能指标： 0)()()()(21tTTdttRututQxtxJF0，Q0，R0，均为对称加权矩阵。均为对称加权矩阵。 2008 HFUT最优控制理论School of Electrical Engineering and Automation255：线性跟踪器：线性跟踪器若要求状态若要求状态x(t)跟踪或尽可能接近目标轨迹跟踪或尽可能接近目标轨迹Xd(t),则这种系统称为则这种系统称为状态跟踪状态跟踪器器，其相应的性能指标为：，其相应的性能指标为：fttTdTddttRututxtxQtxtxJ0)()()()()()(21

39、Q0，R0，均为对称加权矩阵。均为对称加权矩阵。若要求系统输出若要求系统输出y(t)跟踪或尽可能接近目标轨迹跟踪或尽可能接近目标轨迹yd(t),则这种系统称为则这种系统称为输出输出跟踪器跟踪器，其相应的性能指标为：，其相应的性能指标为：fttTdTddttRututytyQtytyJ0)()()()()()(21Q0，R0，均为对称加权矩阵。均为对称加权矩阵。 2008 HFUT最优控制理论School of Electrical Engineering and Automation26除了上述几种应用类型外，根据具体工程实际的需要，还可以选取其他除了上述几种应用类型外，根据具体工程实际的需要

40、，还可以选取其他不同形式的性能指标，在选取性能指标时需注意：不同形式的性能指标，在选取性能指标时需注意：1）应能反映对系统的主要技术条件要求）应能反映对系统的主要技术条件要求2）便于对最优控制进行求解）便于对最优控制进行求解3）所导出的最优控制易于工程实现）所导出的最优控制易于工程实现 2008 HFUT最优控制理论School of Electrical Engineering and Automation27一、多变量函数极值问题一、多变量函数极值问题设二元函数设二元函数f（x1,x2），在点（），在点（x1*,x2*）处有极值）处有极值f（x1*,x2*）的）的必要条件必要条件为：为：0

41、),(),(*2*11211xxxxxfxf0),(),(*2*12212xxxxxfxff（x1*,x2*）取极小值的充分条件取极小值的充分条件为：为：0)(2)(22*21*21*222111xfxxfxfxxxxxx0)(21*2, 122212111xxffffxxxxxxxxxx或或 2008 HFUT最优控制理论School of Electrical Engineering and Automation28*22212111xxxxxxxxxxffffF正定正定 ),(),(*2*12121211xxxxxfxxf),(),(*2*12121221xxxxxxfxxf),(),(

42、*2*12221222xxxxxfxxf其中其中上述结论可以推广到自变量多于两个的情形上述结论可以推广到自变量多于两个的情形 2008 HFUT最优控制理论School of Electrical Engineering and Automation29设设n 个变量的多元函数个变量的多元函数f（x1，x2，xn），若），若f（x）在）在x*处有极小处有极小值，其必要条件为：值，其必要条件为： 0,*2*1221nxxxxfxfxfxF充分条件为：充分条件为：2222122222212212212212*)()()()()()()()()(nnnnnxxxxfxxxfxxxfxxxfxxfxx

43、xfxxxfxxxfxxfF为正定矩阵。为正定矩阵。 2008 HFUT最优控制理论School of Electrical Engineering and Automation30二、有约束条件的函数极值问二、有约束条件的函数极值问题题 设二元函数设二元函数f（x1,x2），），x1和和x2必须满足下列方程：必须满足下列方程： g（x1,x2）0 为求函数为求函数f（x1,x2）的极值，并找出其极值点（）的极值，并找出其极值点（x1*,x2*），作一），作一辅助函数辅助函数拉格朗日函数拉格朗日函数： ),(),(),(212121xxgxxfxxL式中式中为辅助变量，称为为辅助变量，称为拉格

44、朗日乘子拉格朗日乘子。函数函数f（x1,x2）求极值问题，转变为）求极值问题，转变为无约束条件函数无约束条件函数求极值问题求极值问题（拉格朗日乘子法），其（拉格朗日乘子法），其存在极值的必要条件存在极值的必要条件为为 021LxLxLxL或或0111xgxfxL0222xgxfxL0),(21xxgL 2008 HFUT最优控制理论School of Electrical Engineering and Automation31同样，用拉格朗日乘子法可以求有约束条件的同样，用拉格朗日乘子法可以求有约束条件的n元函数的极值。元函数的极值。设设n元函数为元函数为f（x1，x2，xn），有），有m个

45、约束方程个约束方程 0),(21nixxxgi1，2，m（nm）),(),(),(211212121nimiinmnxxxgxxxfxxxL作拉格朗日函数作拉格朗日函数：函数函数L有极值的必要条件有极值的必要条件为：为：01111xgxfxLimii02122xgxfxLimii0),(2111nxxxgL0),(2122nxxxgL0),(21nmmxxxgL01nimiinnxgxfxL 2008 HFUT最优控制理论School of Electrical Engineering and Automation32函数：对于变量t的某一变域中的每一个值，x都有一个值与之相对应，那么变量x称

46、作变量t的函数。记为： x=f (t)t称为函数的自变量自变量的微分：dt=t-t0 （增量足够小时）泛函：对于某一类函数x()中的每一个函数x(t)，变量J都有一个值与之相对应，那么变量J称作依赖于函数x(t)的泛函。记为： J=J x(t)x(t)称为泛函的宗量宗量的变分：)()(0txtxx函数与泛函比较：函数与泛函比较： 2008 HFUT最优控制理论School of Electrical Engineering and Automation33(1) 泛函泛函 设对于自变量设对于自变量 ，存在一类函数，存在一类函数 ，对于每个函数，对于每个函数 ，有一个有一个 值与之对应，则变量值

47、与之对应，则变量 称为依赖于函数称为依赖于函数 的泛函的泛函数，简称泛函，记作数，简称泛函，记作 。 这里自变量仍是一个函数，故这里自变量仍是一个函数，故泛函泛函也也称函数的函数称函数的函数。如。如: txJ txt tx txJJ tmvE221 dtttxtxLJftt0, 例如：例如：ttxxJd)(30（其中，（其中， 为在为在 上连续可积函数）上连续可积函数）)(tx3,0当当 时，有时，有 ；当；当 时，有时，有 。ttx)(5 . 4Jtetx)(13 eJ 2008 HFUT最优控制理论School of Electrical Engineering and Automatio

48、n34(2) 宗量的变分宗量的变分 泛函泛函 的变量的变量 的变分的变分xxLJ, txJ txx txtxx0 nRtxtx0,宗量变分宗量变分 表示表示 中点中点 与与 之间的差。之间的差。x tx tx0nR(3) 泛函变分的定义泛函变分的定义定义定义 设设Jx是线性赋泛空间是线性赋泛空间 上的连续泛函其增量可表示为上的连续泛函其增量可表示为xJxxJxJxxrxxL,其中其中 的的线性连续泛函线性连续泛函 关于关于 的的高阶无穷小高阶无穷小xxL,xxxr,x则称则称 为为泛函泛函Jx(t)的变分的变分.泛函的变分是唯一的。当泛函变分存在时泛函的变分是唯一的。当泛函变分存在时,也称也称

49、泛函可微泛函可微.)()(0ttxx对于一个任意小正数对于一个任意小正数 ，总是可以找到，总是可以找到 ，当，当 时，有时，有 就称泛函就称泛函 在在 处是处是连续连续的的。)()(0ttxx)()(0tJtJxx)(tJ xnR 2008 HFUT最优控制理论School of Electrical Engineering and Automation35定理定理2.1： 设设 为线性赋范空间为线性赋范空间 上的连续泛函，若在上的连续泛函，若在 处处 可微，其中可微，其中 ，则，则 的变分为：的变分为： xJnR0 xx xJnRxx0, xJ000,JxxJxx 10证明：证明： 处处 可

50、微，则：可微，则： 由于由于 是是 的线性连续泛函，的线性连续泛函， 又又 关于关于 的高价无穷小的高价无穷小(4) 泛函变分求法泛函变分求法0 xJ00 xJxxJJxxrxxL,00 xxL,0 xxxLxxL,00 xxr,00,lim00 xxrx 2008 HFUT最优控制理论School of Electrical Engineering and Automation360000limJxxJxJxx 001lim,Lxxrxx xxJ,000 2008 HFUT最优控制理论School of Electrical Engineering and Automation37fttdt

51、txJ0)(2dttxtxdttxtxtxdttxtxtxtxJJffftttttt)()(2|)()()(2|)()(|)()(0000020 2008 HFUT最优控制理论School of Electrical Engineering and Automation381）2121)(LLLL2）122121)(LLLLLL3）ttLttLbabad,d,xxxx4）xxddddtt(5) 泛函变分规则泛函变分规则 2008 HFUT最优控制理论School of Electrical Engineering and Automation39000000 , , 2.1J, )|()()|

52、()ffffttttttttJL x x t dtL xx xx t dtLxxLxxdtxxLLxx dtxx解：由定理 2008 HFUT最优控制理论School of Electrical Engineering and Automation40(6) 泛函极值泛函极值00000(,) |,(,)J 0J 0nU xxxxxRxU xDxJ xJ xxJ xJ x在，均有定义定义2.2 设设Jx是线性赋范空间是线性赋范空间Rn上某个开子集上某个开子集D中定义的可微泛函中定义的可微泛函, 点点x0D 若存在某一正数若存在某一正数 以及集合以及集合则称则称泛函泛函Jx在在x=x0处处达到极小

53、达到极小(大大)值值. 2008 HFUT最优控制理论School of Electrical Engineering and Automation41(7) 泛函极值的必要条件泛函极值的必要条件: 泛函极值定理泛函极值定理定理定理2.2 若可微泛函若可微泛函Jx在在x0上达到极值，则在上达到极值，则在x0上的变分为零上的变分为零, 即即0,000 xxJxxJ证明：证明：根据函数极值的条件，函数根据函数极值的条件，函数()在在=0 时达到极值的必要条件为：时达到极值的必要条件为：可见：可见：0000)(,ddxxJxxJ00)(xxJ0)(0dd0,0 xxJ 2008 HFUT最优控制理论

54、School of Electrical Engineering and Automation42 2008 HFUT最优控制理论School of Electrical Engineering and Automation43 2008 HFUT最优控制理论School of Electrical Engineering and Automation44 2008 HFUT最优控制理论School of Electrical Engineering and Automation45 变分预备定理：变分预备定理：定理定理2.3 设设 是是 上连续的上连续的 维向量函数，维向量函数， 是任意的是

55、任意的 维连续向量函数，且维连续向量函数，且若若则：则：00fttfttt,00,fttnnfttTdttt00)()()(t)(t0)(t 2008 HFUT最优控制理论School of Electrical Engineering and Automation46设函数设函数x（t）在）在 t0,tf 区间上连续可导区间上连续可导 定义下列形式的积分定义下列形式的积分dtttxtxFJftt),(),(0J的值取决于函数的值取决于函数x（t），称为），称为泛函泛函 2008 HFUT最优控制理论School of Electrical Engineering and Automation

56、47(一一) 无约束泛函极值无约束泛函极值的必要条件的必要条件定理定理2.4 设有如下泛函极值问题设有如下泛函极值问题: 在在 上连续可微，已知上连续可微，已知 则极值轨线则极值轨线 满足如下满足如下欧拉方程欧拉方程dttxxLJftttx0),(min)(ftt,0)(,txtxxL00 xtxffxtxnRx tx*0 xLdtdxL及及横截条件横截条件: 0)()(00txxLtxxLtTftTf2.3.1 欧拉方程欧拉方程 2008 HFUT最优控制理论School of Electrical Engineering and Automation48证明证明: 设设x*(t)是满足是满

57、足x(t0)=x0, x(tf)=xf的极值轨线的极值轨线, x(t)是是x*(t)邻域中一允许轨线邻域中一允许轨线 则则,x(t)及其导数，在及其导数，在x*(t)及其导数附近发生微小变分，即：及其导数附近发生微小变分，即：)()()()()()()()()(0*0*fftxtxtxtxxtxtxtxtxtx*xJxxJxJfttdttxxLtxxxxL0,*0()()fTttTH OLdLxtxTxx 泰勒展开式中的高阶项泰勒展开式中的高阶项H O TL由一阶变分定义，取由一阶变分定义，取Jx 的的线性主部线性主部泛函泛函J的增量如下：的增量如下： 2008 HFUT最优控制理论Schoo

58、l of Electrical Engineering and Automation490()ftTtTJxLLxxdtx000fffttTtTttTtLxLxxddtLdtdxxtx对上式中对上式中第二项作分部积分第二项作分部积分,有有从而从而,00)|()ffttTttTLdLxxLJdtxxdtx由定理由定理2.2,2.3,可得可得:极值曲线满足极值曲线满足:0LdLxdtx 00()()0fTTfttLLx tx txx欧拉方程欧拉方程:横截条件横截条件:00()()|0fftttTtTJxdLxxLdLxxtdt 2008 HFUT最优控制理论School of Electrical

59、 Engineering and Automation50不同函数不同函数L的欧拉方程为：的欧拉方程为：),(ttxL0 xL),(ttxL022xxL ),(ttxL 0222txLxxL )(),(txtxL0222xLtxLxxL xtxtxttxtxL),(),(),(),(0tx 2008 HFUT最优控制理论School of Electrical Engineering and Automation51当当t0和和tf给定时，根据给定时，根据x(t0),x(tf)是固定的或自由的各种组合，可导出边是固定的或自由的各种组合，可导出边界条件界条件 （1）固定固定始端和始端和固定固定终

60、端终端x(t0)=x0, x(tf)=xf x(t0)=x0, x(tf)=xf X(t)X1(t)X2(t)X3(t)t0tft由横截条件由横截条件00()( )0(*)fTTfttLLx tx txx00,x t0ftx即即, . 给定始、终端时刻（给定始、终端时刻（始端始端时刻时刻t0和终端和终端时刻时刻tf都给定都给定时的时的横截条件横截条件 ）有余下几种情况：有余下几种情况：2.3.2 横截条件横截条件求解欧拉方程，需要由横截条件提供两点边界值。求解欧拉方程，需要由横截条件提供两点边界值。则横截条件（则横截条件（*）始终满足为）始终满足为0，故边，故边界条件为：界条件为