复变函数与积分变换第七章z

1、 严格的证明是数学的标志严格的证明是数学的标志,这是数学对这是数学对于文化修养所提供的不可缺少的营养于文化修养所提供的不可缺少的营养,一个一个学生若对数学证明从未留下印象学生若对数学证明从未留下印象,那他就缺那他就缺少了一种基本的思维经历少了一种基本的思维经历. -波利亚波利亚(Polya,G.) 数学的主要目标是大众的利益和对自数学的主要目标是大众的利益和对自然现象的解释然现象的解释. -傅里叶傅里叶(Fourier,J.B.J.) 在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，人们常采用变换的方法来达转化为较简单的运算，人们常采用变换的

2、方法来达到目的例如在初等数学中，数量的乘积和商可以到目的例如在初等数学中，数量的乘积和商可以通过对数变换化为较简单的加法和减法运算在工通过对数变换化为较简单的加法和减法运算在工程数学里积分变换能够将分析运算（如微分、积分）程数学里积分变换能够将分析运算（如微分、积分）转化为代数运算，正是积分变换的这一特性，使得转化为代数运算，正是积分变换的这一特性，使得它在微分方程、偏微分方程的求解中成为重要的方它在微分方程、偏微分方程的求解中成为重要的方法之一法之一积分变换的理论方法积分变换的理论方法不仅在数学的诸多分不仅在数学的诸多分支中得到广泛的应用，而且在许多科学技术领域中，支中得到广泛的应用，而且在

3、许多科学技术领域中，例如物理学、力学、现代光学、无线电技术以及信例如物理学、力学、现代光学、无线电技术以及信号处理等方面，作为一种研究工具发挥着十分重要号处理等方面，作为一种研究工具发挥着十分重要的作用的作用 所谓积分变换所谓积分变换，就是把某函数类，就是把某函数类A中的任意一个函数中的任意一个函数，经过某种，经过某种可逆的积分方法可逆的积分方法（即为通过含参变量（即为通过含参变量的积分）的积分）变为另一函数类变为另一函数类 B中的函数中的函数 这里这里 是一个确是一个确定的二元函数，通常称为定的二元函数，通常称为该积分变换的核该积分变换的核 称为称为 的的像函数或简称为像像函数或简称为像，

4、称为称为 的的原函数原函数( )( )( , )dbaFf t K tt( )f t ( )F ( , )K t ( )F ( )f t( )f t( ),F 在这样的积分变换下，微分运算可变为乘法运算，原来的在这样的积分变换下，微分运算可变为乘法运算，原来的偏微分方程可以减少自变量的个数，变成像函数的常微分方偏微分方程可以减少自变量的个数，变成像函数的常微分方程；原来的常微分方程可以变为像函数的代数方程，从而容程；原来的常微分方程可以变为像函数的代数方程，从而容易在像函数类易在像函数类B中找到解的像；再经过逆变换，便可以得到中找到解的像；再经过逆变换，便可以得到原来要在原来要在A中所求的解，

5、而且是显式解中所求的解，而且是显式解 另外需要说明的是，当选取不同的另外需要说明的是，当选取不同的积分区域和核函数积分区域和核函数时，就得到不同名称的时，就得到不同名称的积分变换积分变换: （1）特别当核函数）特别当核函数 （注意已将积分参（注意已将积分参变量变量改写为变量改写为变量），当），当，则，则称函数称函数 为函数为函数 的的傅里叶（傅里叶（Fourier）变换，）变换，简称简称为函数为函数的的傅氏变换傅氏变换同时我们称同时我们称 为为的的傅里叶逆变换傅里叶逆变换( )( )di tFf t et ( )F ( ,)itK te ,ab ( )F ( )f t( )F ( )f t(

6、)f t（2）特别当核函数）特别当核函数 （注意已将积分参变量（注意已将积分参变量改写为变量改写为变量），当），当，则，则称函数称函数 为函数为函数 的的拉普拉斯拉普拉斯 (Laplace)变换变换，简称，简称 为函数为函数 的的拉氏变换拉氏变换同时我们称同时我们称 为为 的的拉氏逆变换拉氏逆变换 0( )( )dptF pf t et( )F p( ,)ptK t pe0,ab p( )F p( )f t( )F p ( )f t( )f t Fourier 变换是积分变换中常见的一种变换，是一种变换是积分变换中常见的一种变换，是一种分方程、化卷积为乘积等等分方程、化卷积为乘积等等 ) )，

7、又具有非常特殊的物理意，又具有非常特殊的物理意义义(从频谱的角度来描述函数的特征从频谱的角度来描述函数的特征)。 的地位，而且在各种工程技术中都有着广泛的应用。的地位，而且在各种工程技术中都有着广泛的应用。展起来的。在微积分课程中已经学习了展起来的。在微积分课程中已经学习了Fourier 级数的有级数的有 关内容，因此本节将先简单地回顾一下关内容，因此本节将先简单地回顾一下 Fourier 级数展开。级数展开。因此，因此，Fourier 变换不仅在数学的许多分支中具有重要变换不仅在数学的许多分支中具有重要Fourier 变换是在周期函数的变换是在周期函数的 Fourier 级数的基础上发级数的

8、基础上发对连续时间函数的积分变换。它既能够简化运算对连续时间函数的积分变换。它既能够简化运算 ( 如求解微如求解微离散和快速离散和快速Fourier变换在计算机时代更是特别重要变换在计算机时代更是特别重要傅里叶变换发展历史傅里叶变换发展历史18221822年，法国数学家傅里叶年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)(J.Fourier,1768-1830)在研究在研究热传导理论时发表了热传导理论时发表了“热的分析理论热的分析理论”，提出并证明了将周，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础础

9、. .泊松泊松(Poisson)(Poisson)、高斯、高斯(Guass(Guass) )等人把这一成果应用到电学等人把这一成果应用到电学中去，得到广泛应用中去，得到广泛应用. .1919世纪末，人们制作出用于工程实际的电容器；世纪末，人们制作出用于工程实际的电容器；进入进入2020世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开列具体问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的前景辟了广阔的前景. .在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶在通信与控制系统的理论研究和工程实际应

10、用中，傅里叶变换法具有很多的优点变换法具有很多的优点. .“FFTFFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力. . 傅立叶变换的作用傅立叶变换的作用 （1）可以得出信号在各个频率点上的强度）可以得出信号在各个频率点上的强度. （2）可以将卷积运算化为乘积运算）可以将卷积运算化为乘积运算. （3）傅氏变换和线性系统理论是进行图像恢复）傅氏变换和线性系统理论是进行图像恢复 和重构的重要手段和重构的重要手段. （4）傅立叶变换能使我们从空间域与频率域两）傅立叶变换能使我们从空间域与频率域两 个不同的角度来看待图像的问题，有时在个不同的角度来看待图

11、像的问题，有时在 空间域无法解决的问题在频域却是显而易空间域无法解决的问题在频域却是显而易 见的见的.展起来的。在微积分课程中已经学习了展起来的。在微积分课程中已经学习了Fourier 级数的有关级数的有关 内容，因此本节将先简单地回顾一下内容，因此本节将先简单地回顾一下 Fourier 级数展开。级数展开。7.1 Fourier 变换的概念变换的概念Fourier 变换是在周期函数的变换是在周期函数的 Fourier 级数的基础上发级数的基础上发然后再学习非周期函数的然后再学习非周期函数的Fourier变换。变换。一、周期函数的一、周期函数的 Fourier 级数级数1. 简谐波的基本概念简

12、谐波的基本概念0( )cos()x tAt 简谐波简谐波为为基本基本周期周期；02 T 210 TF为为频率频率。A 称为称为振幅振幅， 其中，其中，0 称为称为角频率角频率， 称为称为相位相位， ( ( 称为称为零相位零相位) )。0 ( (单位：秒单位：秒) )( (单位：赫兹单位：赫兹 Hz) )00 cossinatbt 补补 一、周期函数的一、周期函数的 Fourier 级数级数2. 正交函数系正交函数系函数系函数系tntn0cos)( 1)(0 t tt01cos)( tt022cos)( tntn0sin)( tt01sin)( tt022sin)( 补补 2. 正交函数系正交函

13、数系特点特点 由由 组合叠加可以生成组合叠加可以生成周期为周期为 T 的复杂波。的复杂波。)(),(ttkk (1) 周期性周期性(2) 正交性正交性 2 /2 /,0d)()(TTtttnm 2 /2 /,0d)()(TTtttlk 2 /2 /,0d)()(TTtttlk )(lk 一、周期函数的一、周期函数的 Fourier 级数级数一、周期函数的一、周期函数的 Fourier 级数级数2. 正交函数系正交函数系问题问题对于任何一个周期为对于任何一个周期为 T 的的( (复杂复杂) )函数函数 ，)(tfT 100)()()()(nnnnnTtbtatAtf ? 1000sincosnn

14、ntnbtnaA . )cos(100 nnntnAA 能否：能否：区间区间 上上满足如下条件满足如下条件( (称为称为 Dirichlet 条件条件) )：2 /,2 /TT 则在则在 的的连续连续点点处有处有)(tfT(1) 连续或只有有限个第一类间断点；连续或只有有限个第一类间断点；(2) 只有有限个极值点只有有限个极值点 .( ( Dirichlet 定理定理) )设设 是以是以 T 为周期的实值函数，且在为周期的实值函数，且在)(tfT定理定理3. Fourier 级数的三角形式级数的三角形式一、周期函数的一、周期函数的 Fourier 级数级数P120定理定理 7.1 在在 的的间

15、断间断处，上处，上式左端为式左端为 .)0()0(21 tftfTT)(tfT,20T 称之为称之为基频基频。( ( Dirichlet 定理定理) )定理定理3. Fourier 级数的三角形式级数的三角形式,dcos)(22 /2 /0 TTTnttntfTa,2,1,0 n,dsin)(22/2 /0 TTTnttntfTb其中其中,2,1 n, )sincos(2)(0100tnbtnaatfnnnT (A)称称 (A) 式为式为 Fourier 级数的三角形式级数的三角形式。定义定义一、周期函数的一、周期函数的 Fourier 级数级数( ( Fourier级数的历史回顾级数的历史回

16、顾) )4. Fourier 级数的物理含义级数的物理含义,cosnnnAa ,sinnnnAb ，200aA ,22nnnbaA 令令则则 (A) 式变为式变为OnAnanb n , )sincos(2)(0100tnbtnaatfnnnT (A)改写改写一、周期函数的一、周期函数的 Fourier 级数级数)cos()(100nnnTtnAAtf 这些简谐波的这些简谐波的( (角角) )频率分别为一个基频频率分别为一个基频 的倍数。的倍数。0频率成份，其频率是以基频频率成份，其频率是以基频 为间隔离散取值的。为间隔离散取值的。”0 这是周期信号的一个非常重要的特点这是周期信号的一个非常重要

17、的特点。4. Fourier 级数的物理含义级数的物理含义)cos()(100nnnTtnAAtf “ 一个周期为一个周期为 T 的周期信号的周期信号 并不包含所有的并不包含所有的)(tfT意义意义周期信号可以分解为一系列周期信号可以分解为一系列固定频率固定频率的的简谐波之和，简谐波之和，表明表明一、周期函数的一、周期函数的 Fourier 级数级数相位相位n反映了反映了在在信号信号 中中频率为频率为 的简谐波的简谐波)(tfT0n 这两个指标完全定量地刻画了信号的频率特性。这两个指标完全定量地刻画了信号的频率特性。4. Fourier 级数的物理含义级数的物理含义反映了频率为反映了频率为 的

18、简谐波在信号的简谐波在信号 中中振幅振幅nA0n)(tfT所占有的份额；所占有的份额；沿时间轴移动的大小。沿时间轴移动的大小。一、周期函数的一、周期函数的 Fourier 级数级数)cos()(100nnnTtnAAtf 5. Fourier 级数的指数形式级数的指数形式代入代入 (A) 式并整理得式并整理得根据根据 Euler 公式公式 ,sincos00j0etnjtntn )1( j可得可得,2cos00ee0tjntjntn 2sin00ee0tjntjnjjtn . )e2e2(2)(1000 ntjnnntjnnnTjbajbaatf推导推导, )sincos(2)(0100tnb

19、tnaatfnnnT (A)已知已知一、周期函数的一、周期函数的 Fourier 级数级数P120 5. Fourier 级数的指数形式级数的指数形式. )e2e2(2)(1000 ntjnnntjnnnTjbajbaatf推导推导则有则有令令,200ac ,2nnnjbac ,2nnnjbac 其中其中,de)(12 /2 /0 TTtjnTnttfTc,2,1,0 n,)(0e ntjnnTctf(B)称称 (B) 式为式为 Fourier 级数的指数形式级数的指数形式。定义定义一、周期函数的一、周期函数的 Fourier 级数级数(1) 分解式是惟一的。分解式是惟一的。注意注意(2) 计

20、算系数计算系数 时时, 其中的积分可以在任意其中的积分可以在任意nc一个长度为一个长度为 T 的区间上进行。的区间上进行。(3) 采用周期延拓技术，可以将结论应用到采用周期延拓技术，可以将结论应用到仅仅定义在某个有限区间上的函数。仅仅定义在某个有限区间上的函数。5. Fourier 级数的指数形式级数的指数形式一、周期函数的一、周期函数的 Fourier 级数级数6. 离散频谱与频谱图离散频谱与频谱图,00Ac ，221|22nnnnnAbacc 得得OnAnanb n nbn nc2nc 2,200ac ,2nnnjbac 分析分析,2nnnjbac 由由即即 的模与辐角正好是振幅和相位。的

21、模与辐角正好是振幅和相位。nc,argargnnncc . )0( n称称 为为频谱频谱，记为记为nc.)(0ncnF 称称 为为振幅谱振幅谱，称称 为为相位谱相位谱；|ncncarg定义定义一、周期函数的一、周期函数的 Fourier 级数级数6. 离散频谱与频谱图离散频谱与频谱图将振幅将振幅 、相位、相位 与频率与频率 的关系画成图形。的关系画成图形。0n|ncncarg频谱图频谱图O| )(|0nF 0 02 03 04 0 02 03 04 O 0 02 03 04 0 02 03 04 )(arg0nF一、周期函数的一、周期函数的 Fourier 级数级数(1) 当当 n = 0 时

22、，时，解解 基频基频. 120 T)0(0Fc TTttfT0d)(1.d2120tt 2 /2 /d)(1TTTttfTO)(tfTt 2 2解解 (2) 当当 时时,0 n)(0nFcn 2 /2 /de)(10TTtjnTttfT jnttt20de21 jnttjn20de21 20e21jnttjn jnttjn20de21.nj TtjnTttfT0de)(10O)(tfTt 2 2(3) 的的 Fourier 级数为级数为 0.e)(nnjntTnjtf)(tfT解解)(0nF . 0, |1, 0,nnn(4) 振幅谱为振幅谱为)(arg0nF . 0,2, 0,2, 0, 0

23、nnn相位谱为相位谱为O)(tfTt 2 2(5) 频谱图如下图所示。频谱图如下图所示。 解解1 22 1O)(0nF 1 22 1O)(arg0nF 2 /2 / O)(tfTt 2 2借助借助 Fourier 级数展开，使得人们能够完全了解一个级数展开，使得人们能够完全了解一个信号的频率特性，从而认清了一个信号的本质，这种对信号的频率特性，从而认清了一个信号的本质，这种对信号的分析手段也称为信号的分析手段也称为频谱分析频谱分析(或者或者谐波分析谐波分析)。但是，但是，Fourier 级数要求被展开的函数必须是周期函级数要求被展开的函数必须是周期函数，数， 而在工程实际问题中，而在工程实际问

24、题中， 大量遇到的是非周期函数，大量遇到的是非周期函数，那么，对一个非周期函数是否也能进行频谱分析呢那么，对一个非周期函数是否也能进行频谱分析呢?二、二、非非周期函数的傅立叶变换周期函数的傅立叶变换二、二、非非周期函数的傅立叶变换周期函数的傅立叶变换(1) 非周期函数可以看成是一个周期为无穷大的非周期函数可以看成是一个周期为无穷大的“周期函数周期函数”。1. 简单分析简单分析)(tft)(tfTt)(tfTt2/T 2/T)(lim)(tftfTT 当当 T 越来越大时，取值间隔越来越小；越来越大时，取值间隔越来越小；当当 T 趋于无穷时，取值间隔趋向于零，趋于无穷时，取值间隔趋向于零，因此，

25、一个非周期函数将包含所有的频率成份。因此，一个非周期函数将包含所有的频率成份。其频谱是以其频谱是以 为间隔离散取值的。为间隔离散取值的。T20 即频谱将连续取值。即频谱将连续取值。(2) 当当 时，频率特性发生了什么变化？时，频率特性发生了什么变化？ T二、二、非非周期函数的傅立叶变换周期函数的傅立叶变换1. 简单分析简单分析Fourier 级数表明周期函数仅包含离散的频率成份，级数表明周期函数仅包含离散的频率成份，分析分析(3) 当当 时，时，级数求和级数求和发生了什么变化？发生了什么变化？ T二、二、非非周期函数的傅立叶变换周期函数的傅立叶变换1. 简单分析简单分析tjnnTTtjnTTt

26、tfT00ede)(1lim2 /2 / 0n,n记为记为节点节点0, 将间隔将间隔记为记为得得T 220并并由由tjnnnTc0elim )(tf)(limtfTT 分析分析ttftjntjTnn ede)(lim21/0 )(tf(C)分析分析则则按照积分定义，在一定条件下，按照积分定义，在一定条件下，(C) 式可写为式可写为 )(gT记记,ede)(/tjtjTttf gnnT )(lim210)(tfttftjtjdede)(21 )(tf(3) 当当 时，时，级数求和级数求和发生了什么变化？发生了什么变化？ T二、二、非非周期函数的傅立叶变换周期函数的傅立叶变换1. 简单分析简单分析

27、.d| )(| ttf(2) 绝对可积，即绝对可积，即),( 上的任一有限区间内满足上的任一有限区间内满足 Dirichlet 条件；条件；(1) 在在二、非周期函数的傅立叶变换二、非周期函数的傅立叶变换定理定理 设函数设函数 满足满足)(tf.)0()0(21 tftf的间断处，公式的左端应为的间断处，公式的左端应为在在)(tf2. Fourier 积分公式积分公式称称 (D) 式式为为 Fourier 积分公式积分公式。定义定义则在则在的连续点处，有的连续点处，有)(tf)(tfttftjtjdede)(21 (D)P121定理定理 7.2 (2) Fourier 逆变换逆变换( (简称简

28、称傅氏逆变换傅氏逆变换) )(tf)( F称为称为傅氏变换对傅氏变换对，记为，记为与与. )()( Ftf二、非周期函数的傅立叶变换二、非周期函数的傅立叶变换 ttfFtde)()(j )(tf de)(21)(jtFtf)( F 1(1) Fourier 正变换正变换( (简称简称傅氏变换傅氏变换) )定义定义其中，其中，称为称为象原函数象原函数称为称为象函数象函数，)(tf)( F3. Fourier 变换的定义变换的定义注注 上述变换中的广义积分为柯西主值。上述变换中的广义积分为柯西主值。 P124定义定义 7.2 .e| )(|)()(arg FjFF 二、非周期函数的傅立叶变换二、非

29、周期函数的傅立叶变换4. Fourier 变换的物理意义变换的物理意义与与 Fourier 级数的物理意义一样，级数的物理意义一样，Fourier 变换同样变换同样称称 为为振幅谱振幅谱；称称 为为相位谱相位谱。| )(| F)(arg F刻画了一个非周期函数的频谱特性，不同的是，非周期刻画了一个非周期函数的频谱特性，不同的是，非周期函数的频谱是连续取值的。函数的频谱是连续取值的。一般为复值函数，故可表示为一般为复值函数，故可表示为称称 为为频谱密度函数频谱密度函数( (简称为简称为连续频谱连续频谱或者或者频谱频谱) )；)( F定义定义)( F反映的是反映的是 中各频率分量的分布密度，它中各

30、频率分量的分布密度，它)(tfjjaja2)e(e2 aattdej aatjj e1)e(e1 jajaj .sin2 aaa )( F ttftde)(j 解解)(tf(1)(tfa a1Ot )( F(2) 振幅谱为振幅谱为 aaasin2)(arg F anananan)22(|)12(,)12(|2, 0 相位谱为相位谱为解解| )(| F2aO aa )(arg FOaa主瓣主瓣旁瓣旁瓣(3) 求求 Fourier 逆变换，即可得到逆变换，即可得到 Fourier 积分表达式。积分表达式。解解 dcossin221ta dsinsin22taj dcossin1ta .|, 0,|

31、, 21,|, 1atatat. )0(,dsin axxxa dsin221etja)( F 1 )(tf，0 t可得重要积分公式可得重要积分公式 : 在上式中令在上式中令注注，0 t可得重要积分公式可得重要积分公式 : 在上式中令在上式中令. )0(,dsin axxxa 一般地，有一般地，有 .0,0,0,0,dsinaaaxxxa 特别地，有特别地，有.2dsin0 xxx 注注 0)(dettj j 1.22 j 0)(e)(1tjj 1O)(tft )( F 0jdeettt 解解)(tf(1)P124 例例4改改 解解振幅谱为振幅谱为 ;1| )(|22 F(2). )/arct

32、an()(arg F相位谱为相位谱为| )(| F a/ 1O )(arg F2/ 2/ O de)(21tjF 00de21 tjtt0sin tt000sin )(tf解解)( F 100e21 tjt jjttjtj2ee100 1O)( F 0 0 . )(00tSa (?)( (关于抽样信号关于抽样信号) ) d221etjj )(tf解解 )( F 1 dcos1dsin1jtjtj dsin1t 0,10,00,1ttt)(tft 1 1 .2sgn jtsgn . t记为记为 7.2 单位脉冲函数及其傅里叶变换单位脉冲函数及其傅里叶变换 二、单位脉冲函数的概念及性质二、单位脉冲

33、函数的概念及性质 三、单位脉冲函数的三、单位脉冲函数的 Fourier 变换变换 一、为什么要引入单位脉冲函数一、为什么要引入单位脉冲函数 一、为什么要引入单位脉冲函数一、为什么要引入单位脉冲函数 理由理由 (1) 在数学、物理学以及工程技术中，一些常用的重要在数学、物理学以及工程技术中，一些常用的重要 函数，如常数函数、线性函数、符号函数以及单位函数，如常数函数、线性函数、符号函数以及单位 阶跃函数等等，都不能进行阶跃函数等等，都不能进行 Fourier 变换。变换。 (2) 周期函数的周期函数的 Fourier 级数与非周期函数的级数与非周期函数的 Fourier 变变 换都是用来对信号进

34、行频谱分析的，它们之间能否换都是用来对信号进行频谱分析的，它们之间能否 统一起来。统一起来。 (3) 在工程实际问题中，有许多瞬时物理量不能用通常在工程实际问题中，有许多瞬时物理量不能用通常 的函数形式来描述，如冲击力、脉冲电压、质点的的函数形式来描述，如冲击力、脉冲电压、质点的 质量等等。质量等等。 一、为什么要引入单位脉冲函数一、为什么要引入单位脉冲函数 细杆取细杆取 的结果。的结果。0a )(xP )(lim0 xPaa .0,0,0,xx 长度为长度为 a ，质量为，质量为 m 的均匀细杆放在的均匀细杆放在 x 轴的轴的 0 , a 区间区间 引例引例 )(xPa .,0,0,其它其它

35、axam上，则它的线密度函数为上，则它的线密度函数为 质量为质量为 m 的质点放置在坐标原点，则可认为它相当于的质点放置在坐标原点，则可认为它相当于 显然显然 , 该密度函数并没有反映出质点的任何质量信息该密度函数并没有反映出质点的任何质量信息 , 相应地，质点的密度函数为相应地，质点的密度函数为 P126定义定义7.3 二、单位脉冲函数的概念及性质二、单位脉冲函数的概念及性质 1. 单位脉冲函数的概念单位脉冲函数的概念 (1) 当当 时，时， 0 t;0)( t (2) .1d)( tt 显然，借助单位脉冲函数，前面显然，借助单位脉冲函数，前面引例引例中质点的密度函数中质点的密度函数 定义定

36、义 )(t 单位脉冲函数单位脉冲函数 满足：满足： 单位脉冲函数单位脉冲函数 又称为又称为 Dirac 函数函数或者或者 函数函数。 )(t ( )( ).P xmx 就可表示为就可表示为 当当 时，时， 0t ( );t 二、单位脉冲函数的概念及性质二、单位脉冲函数的概念及性质 1. 单位脉冲函数的概念单位脉冲函数的概念 (1) 单位脉冲函数单位脉冲函数 并不是经典意义下的函数，而并不是经典意义下的函数，而是一是一 个个广义函数广义函数( (或者或者奇异函数奇异函数) )，它不能用通常意义下的，它不能用通常意义下的 “值的对应关系值的对应关系”来理解和使用，而总是通过它的性质来理解和使用，而

37、总是通过它的性质 注注 )(t 来使用它。来使用它。 (2) 单位脉冲函数有多种单位脉冲函数有多种定义方式，前面给出的定义方式定义方式，前面给出的定义方式 是由是由 Dirac( (狄拉克狄拉克) )给出的。给出的。 单位脉冲函数单位脉冲函数其它定义方式其它定义方式二、单位脉冲函数的概念及性质二、单位脉冲函数的概念及性质 2. 单位脉冲函数的性质单位脉冲函数的性质 . )(d)()(00tfttftt (2) 对称性质对称性质 . )()(tt 函数为偶函数，即函数为偶函数，即 (1) 筛选性质筛选性质 性质性质 设函数设函数 是定义在是定义在 上的有界函数，上的有界函数， )(tf),( 且

38、在且在 处连续，处连续， 0 t. )0(d)()(fttft 则则 一般地，若一般地，若 在在 点连续，点连续， 0tt )(tf则则 P127性质性质 1 P127性质性质 3 函数的图形表示方式非常特别，通常采用一个从原点函数的图形表示方式非常特别，通常采用一个从原点 出发长度为出发长度为 1 的有向线段来表示，的有向线段来表示， 同样有，函数同样有，函数 的脉冲强度为的脉冲强度为 A。 )(tA 代表代表 函数的积分值，函数的积分值， 称为称为脉冲强度脉冲强度。 二、单位脉冲函数的概念及性质二、单位脉冲函数的概念及性质 3. 单位脉冲函数的图形表示单位脉冲函数的图形表示 t 1 )(t

39、 )(0tt t 1 0t)(tA t A 其中有向线段的长度其中有向线段的长度 三、单位脉冲函数的三、单位脉冲函数的 Fourier 变换变换 .10e ttj 由此可见，单位脉冲函数包含所有频率成份，且它们具有由此可见，单位脉冲函数包含所有频率成份，且它们具有 利用筛选性质，可得出利用筛选性质，可得出 函数的函数的 Fourier 变换：变换： tttjd)(e )(t 即即 与与 1 构成构成Fourier变换对变换对 )(t .1)(t 相等的幅度，称此为相等的幅度，称此为均匀频谱均匀频谱或或白色频谱白色频谱。 t 1 )(t 1 )(t P128 重要公式重要公式 . )(2dett

40、j 称这种方式的称这种方式的 Fourier 变换是一种变换是一种广义的广义的Fourier变换变换。 在在 函数的函数的 Fourier 变换中，其广义积分是根据变换中，其广义积分是根据 函数的函数的 注注 性质直接给出的，而不是通过通常的积分方式得出来的，性质直接给出的，而不是通过通常的积分方式得出来的， 三、单位脉冲函数的三、单位脉冲函数的 Fourier 变换变换 按照按照 Fourier 逆变换公式有逆变换公式有 )(2 . )(2 )(1 F ttjd1e 解解 )(1tf(1) (2) 将等式将等式 的两边对的两边对 求导，有求导，有 ttjde )(2 tt jtjd)(e ,

41、 )(2 tttjde , )(2 j )(2 F )(2tf. )(2 j即得即得 ttjtjdee0 ttjd)(0e )(20 . )(20 )(1 F解解 )(1tf(1) (2) 由由 ， t0cos )(2100eetjtj . )()(00 )(2 F )(2tf有有 tj0e tj0e (21 ) 0 0 )(2 F二、卷积与卷积定理二、卷积与卷积定理 三、傅里叶变换的应用三、傅里叶变换的应用 一、傅里叶变换的基本性质一、傅里叶变换的基本性质 7.3 Fourier变换的性质变换的性质四、利用四、利用 Matlab 实现实现 Fourier 变换变换 * 一、傅里叶变换的基本性

42、质一、傅里叶变换的基本性质且且 所涉及到的函数的所涉及到的函数的 Fourier )( F )( G. )(tg 在下面给出的基本性质中，在下面给出的基本性质中， , )(tf变换均存在，变换均存在， 1. 线性性质线性性质 设设 a , b 为常数，则为常数，则 性质性质 对于涉及到的一些运算对于涉及到的一些运算( (如如求导求导、积分积分、极限极限及及求和求和等等) ) 的次序交换问题，均不另作说明。的次序交换问题，均不另作说明。 直接进入基本直接进入基本 性质汇总？性质汇总？证明证明 ( (略略) ) 2. 位移性质位移性质 设设 为实常数，则为实常数，则 性质性质 00, t( (时移

43、性质时移性质) ) ( (频移性质频移性质) ) xxftjxjd)(0ee ; )(0e Ftj (2) 同理，可得到频移性质。同理，可得到频移性质。 ; )( )(0e0 Fttftj (1) . )()(0e01tfFtj (2) 证明证明 tttfttftjd)( )(e00 (1) 0ttx 令令 一、傅里叶变换的基本性质一、傅里叶变换的基本性质 时移性质时移性质表明：当一个信号沿时间轴移动后，各频率成份表明：当一个信号沿时间轴移动后，各频率成份 频移性质频移性质则被用来进行则被用来进行频谱搬移频谱搬移，这一技术在通信系统中，这一技术在通信系统中的大小不发生改变，但相位发生变化；的大

44、小不发生改变，但相位发生变化； 得到了广泛应用。得到了广泛应用。一、傅里叶变换的基本性质一、傅里叶变换的基本性质2. 位移性质位移性质 设设 为实常数，则为实常数，则 性质性质 ; )( )(0e0 Fttftj 00, t. )()(0e01tfFtj ( (时移性质时移性质) ) ( (频移性质频移性质) ) (1) (2) xxfaxajd)(1e ttaftaftjd)( )(e tax 令令 ;1 aFa 证明证明 (1) 当当 时，时， 0 a(2) 当当 时，时， 0 a同理可得同理可得 .1 )( aFataf 性质性质 3. 相似性质相似性质 一、傅里叶变换的基本性质一、傅里

45、叶变换的基本性质 相似性质相似性质表明表明， 事实上事实上，在对矩形脉冲函数的频谱分析中在对矩形脉冲函数的频谱分析中( (7.1) )已知，已知， 脉冲越窄，则其频谱脉冲越窄，则其频谱(主瓣主瓣)越宽越宽;脉冲越宽，则其频谱脉冲越宽，则其频谱(主瓣主瓣)越窄。越窄。相似性质正好体现了相似性质正好体现了脉冲宽度与频带宽度之间的反比关系脉冲宽度与频带宽度之间的反比关系。若信号被压缩若信号被压缩 则其频谱被扩展则其频谱被扩展； , )1( a若信号被扩展若信号被扩展 则其频谱被压缩则其频谱被压缩。 , )1( a性质性质 3. 相似性质相似性质 一、傅里叶变换的基本性质一、傅里叶变换的基本性质 相似

46、性质表明这两者是矛盾的，因为同时压缩相似性质表明这两者是矛盾的，因为同时压缩脉冲宽度脉冲宽度和和 在电信通讯中，在电信通讯中， 为了有效地利用信道，希望信号的频带宽度要窄。为了有效地利用信道，希望信号的频带宽度要窄。 为了迅速地传递信号，希望信号的脉冲宽度要小；为了迅速地传递信号，希望信号的脉冲宽度要小； 频带宽度频带宽度是不可能的。是不可能的。 性质性质 3. 相似性质相似性质 一、傅里叶变换的基本性质一、傅里叶变换的基本性质4. 微分性质微分性质 若若 则则 ,0)(lim| tft性质性质 . )( )( Fjtf 证明证明 ,0)(lim| tft由由 有有 ,0)(lime| tjt

47、tf ttftftjd)( )(e ttfjtftjtjd)()(ee . )( Fj 一、傅里叶变换的基本性质一、傅里叶变换的基本性质一般地，若一般地，若 ,0)(lim)1, 2, 1, 0()(| nktfkt则则 . )()( )()( Fjtfnn 记忆记忆 ,d)()(e tjFtf由由 ;d)()(e tjFjtf.d)()()(e)( tjnnFjtf4. 微分性质微分性质 若若 则则 ,0)(lim| tft性质性质 . )( )( Fjtf 一、傅里叶变换的基本性质一、傅里叶变换的基本性质记忆记忆 ,d)()(e ttfFtj 由由 ;d)()()(e ttft jFtj

48、.d)()()(e)( ttft jFtjnn )(tftn 上式可用来求上式可用来求 的的 Fourier 变换变换 4. 微分性质微分性质 同理，可得到同理，可得到像函数的导数公式像函数的导数公式 一、傅里叶变换的基本性质一、傅里叶变换的基本性质证明证明 令令 ,d)()( tttftg则则 ,0)(lim| tgt由微分性质有由微分性质有 , )( )( Gjtg 又又 , )()(tftg , )( )(tgjtf 有有 . )(1d)( Fjttft 即得即得 性质性质 5. 积分性质积分性质 一、傅里叶变换的基本性质一、傅里叶变换的基本性质6. 帕塞瓦尔帕塞瓦尔( (Parseva

49、l) )等式等式 .d| )(|21d)(22 Fttf证明证明 由由 ,d)()(e ttfFtj 有有 ,d)()(e ttfFtj dd)()(21ettfFtj d)()(21FF右边右边 tFtftjdd)(21)(e ttfd)(2= 左边左边 . 一、傅里叶变换的基本性质一、傅里叶变换的基本性质一、傅里叶变换的基本性质一、傅里叶变换的基本性质( (汇总汇总) )线性性质线性性质 . )()( )()( GbFatgbtfa .|1 )( aFataf 相似性质相似性质 位移性质位移性质 ; )( )(0e0 Fttftj . )()(0e01tfFtj ( (时移性质时移性质)

50、) ( (频移性质频移性质) ) Parseval 等式等式 .d| )(|21d)(22 Fttf. )(1d)( Fjttft 积分性质积分性质 微分性质微分性质 . )()( )()(1tft jFnn ; )()( )()( Fjtfnn ( ( 直接进入直接进入 Parseval 等式举例等式举例? ) )一、傅里叶变换的基本性质一、傅里叶变换的基本性质( (汇总汇总) )例例 设设 求求 ,cos2)()(0ttutf .)(tf.)()(200220 j解解 已知已知 )(tu, )(1 j 根据根据线性性质线性性质和和频移性质频移性质有有 )(tf)()(1)()(10000

51、jj, )()()(00eetjtjtutf 又又 设设 求求 ,cos)(2tttf 例例 .)(tf根据根据微分性质微分性质 , )()( )(21tgt jG 有有 解解 令令 则则 ,cos)(ttg , )()(2tgttf 又已知又已知 , )1()1(cos t )( G )(tf )(2tgt)( G . )1()1( dsin422.4d12112t ,1|,0,1|,1)(tttf解解 设矩形脉冲函数设矩形脉冲函数 由于被积函数为偶函数，由于被积函数为偶函数， ,sin2)( F已知已知 的频谱为的频谱为 )(tf由由 Parserval 等式等式有有 .d)(2d| )(

52、|22 ttfF .2dsin022 故有故有 P133 例例4 练习练习 设设 求求 , 0( ) (0), 0, t0ttetf t ( ).f tF F令令 于是由于是由 可知可知 , 0( ), 0, t0tetg t 1 ( ).g tj F所以所以 ( )( )f ttg t FFFF211.()jjj 实际上实际上, 只要记住下面五个傅里叶变换只要记住下面五个傅里叶变换, 则所则所有的傅里叶变换都无须用公式直接计算而可由傅有的傅里叶变换都无须用公式直接计算而可由傅里叶变换的性质导出里叶变换的性质导出.022j04( )11( )()j1( )je2()eettttu tu t e

53、 . )(2dettj 即即 二、二、卷积与卷积定理卷积与卷积定理广义积分广义积分 对任何实数对任何实数 t 都收敛，都收敛， d)()(21 tff函数为函数为 与与 的的卷积卷积，记，记 为为 )(1tf)(2tf, )()(21tftf )()(21tftf .d)()(21 tff1. 卷积的概念与运算性质卷积的概念与运算性质 设函数设函数 与与 在区间在区间 上有定义，上有定义， )(1tf)(2tf),( 定义定义 如果如果 它在它在 上定义了一个自变量为上定义了一个自变量为 t 的函数，的函数， ),( 则则 称此称此 P133定义定义 7.4 二、二、卷积与卷积定理卷积与卷积定

54、理1. 卷积的概念与运算性质卷积的概念与运算性质 性质性质 (1) 交换律交换律 )()(21tftf . )()(12tftf )()()(321tftftf . )()()(321tftftf (2) 结合律结合律 )()()(321tftftf . )()()()(3121tftftftf (3) 分配律分配律 P134 )()(tgtf ,d)()( tgf解解 (1) 当当 时，时， 0 t.0)()( tgtf)( f )( g )( f)( tgt )( g(2) 当当 时，时， 0 t)()(tgtf d)()(0 ttgf d0)(ee tt.ee t将函数将函数 反褶反褶并

55、并平移平移到到 t ，得到，得到 )( g,)()(tgtg 从上面的例子可以看出从上面的例子可以看出 (2) 卷积由卷积由反褶反褶、平移平移、相乘相乘、积分积分四个部分组成。四个部分组成。 因此，因此，卷积卷积又称为又称为褶积褶积或或卷乘卷乘。 (1) 在计算一些分段函数的卷积时，如何确定积分限是解题在计算一些分段函数的卷积时，如何确定积分限是解题 另外，利用卷积满足交换律这一性质，另外，利用卷积满足交换律这一性质，适当地选择两个函数适当地选择两个函数 的关键。的关键。 再与函数再与函数 相乘相乘后求后求积分积分， )(tf得到卷积得到卷积 . )()(tgtf 的卷积次序的卷积次序，还可以

56、使积分限的确定更直观一些。，还可以使积分限的确定更直观一些。 如果采用图形方式则比较容易确定积分限。如果采用图形方式则比较容易确定积分限。 即首先即首先 )()(tgtf d)()( tgf.d)()( tfg(1) 当当 时，时， 1 t解解 由卷积的定义及性质有由卷积的定义及性质有 .0)()( tgtf )( f)( tf221)( g t 2 21)( g 221)( g t )( tf(2) 当当 时，时， 21 t)()(tgtf d)(212 tt.)1(323 t)()(tgtf d)()( tgf.d)()( tfg解解 由卷积的定义及性质有由卷积的定义及性质有 )( f2

57、21)( g 221)( g )( tft (3) 当当 时，时， 2 t)()(tgtf d)(2212 t.)2()1(3233 tt)()(tgtf d)()( tgf.d)()( tfg解解 由卷积的定义及性质有由卷积的定义及性质有 )( f2 21)( g 综合得综合得 )()(tgtf .2,3/)2()1(2,21,3/)1(2,1,0333tttttt)()(tgtf d)()( tgf.d)()( tfg解解 由卷积的定义及性质有由卷积的定义及性质有 )( f2 21)( g 证明证明 )()(21tftf ttftftjd)()(e21 ttfftjdd)()(e 21 d

58、d)()(ee)(21ttfftjj; )()(21 FF 同理可证同理可证 (B) 式。式。 二、二、卷积与卷积定理卷积与卷积定理2. 卷积定理卷积定理 P134定理定理 7.3 二、二、卷积与卷积定理卷积与卷积定理3. 卷积的物理意义卷积的物理意义 * 设有某信号为设有某信号为 问题问题 , )(tf试将该信号的试将该信号的低频成份低频成份完全保留，完全保留， 而而高频成份高频成份完全去掉，完全去掉， 即对其进行即对其进行理想低通滤波理想低通滤波。 (1) 如何从收到的实际信号中如何从收到的实际信号中分离分离出出“想要想要”的某个频带的某个频带 背景背景 内的信号。内的信号。 (2) 如何

59、从收到的实际信号中如何从收到的实际信号中消除消除在传输过程中加入的在传输过程中加入的 高频干扰噪声。高频干扰噪声。 ( (跳过跳过?)?)二、二、卷积与卷积定理卷积与卷积定理3. 卷积的物理意义卷积的物理意义 方法方法 *)(tf. )( F(1) 求出信号求出信号 频谱函数频谱函数 显然，新的信号显然，新的信号 中完全保留了原信号中完全保留了原信号 中频率中频率 )(tf)(tf低于低于 a 的频率成份，而去掉了频率高于的频率成份，而去掉了频率高于 a 的频率成份。的频率成份。 方法一方法一 在频率域中实现在频率域中实现 .|,0,|,1)(aaH (2) 令令 ( (理想低通滤波器理想低通

60、滤波器) ) )( F. )()()( HFF (3) 将将 与与 相乘，得到相乘，得到 )( H. )()(1 Ftf )( F(4) 对对 作作 Fourier 逆变换，得到逆变换，得到 二、二、卷积与卷积定理卷积与卷积定理3. 卷积的物理意义卷积的物理意义 方法方法 * 由卷积定理，信号由卷积定理，信号 与与方法一方法一中信号中信号 是一样的，是一样的， )(tf)(tf方法二方法二 在时间域中实现在时间域中实现 .|,0,|,1)(aaH (1) 令令 ( (理想低通滤波器理想低通滤波器) ) )()(1 Hth .sintta (2) 求求 ( (理想低通滤波因子理想低通滤波因子)