D14无穷小量与无穷大量1ppt课件

1、目录 上页 下页 返回 结束 第一章 二、二、 无穷小的等价代换无穷小的等价代换 三三 、无穷大量、无穷大量 一、一、 无穷小量及其阶无穷小量及其阶 第四节无穷小量与无穷大量目录 上页 下页 返回 结束 当 1. 定义定义1 . 假设假设0 xx 时, 函数( )0,x则称函数( )x0 xx 例如 :,0)1(lim1xx函数 1x当1x时为无穷小;,01limxx函数 x1x时为无穷小;,011limxx函数 x11当x)x(或为时的无穷小量,简称无穷小 .时为无穷小.)x(或一、一、 无穷小量及其阶无穷小量及其阶 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义1 . 假设假设0 xx 时, 函数

2、( )0,x则称函数( )x0 xx )x(或为时的无穷小量,简称无穷小 .)x(或0limsin0 xx1lim0 xx0limln(1)0 xx0limarcsin0 xx0limarctan0 xx1lim( )02nn22lim(4)0 xx1limsin0nn以零为极限的数列也是当n时的无穷小目录 上页 下页 返回 结束 定义定义1 . 假设假设0 xx 时, 函数( )0,x则称函数( )x0 xx )x(或为时的无穷小量,简称无穷小 .)x(或说明说明: 2.无穷小量不是一个非常小的数，0是可以作为无穷小的唯一常数 ! 1.无穷小首先是一个函数，其次要指明自变量趋向于什么。只有在

3、自变量趋向确定下并引起函数值趋于0，才能称函数为无穷小。目录 上页 下页 返回 结束 定义定义1 . 假设假设0 xx 时, 函数( )0,x则称函数( )x0 xx )x(或为时的无穷小量,简称无穷小 .)x(或说明说明: 除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 ! 因为0)(lim0 xfxx,0,0当00 xx时, 0)(xf显然 C 只能是 0 !CC目录 上页 下页 返回 结束 其中(x) 为一个无穷小定理定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系 )lim( )( )( )f xaf xax证证: :仅就 的情形证明,其他情形类似.0 xx 必要性必要性 设设0

4、lim( )xxf xa, ,那那么么0lim( ) 0 xxf xa令令( )( )xfxa，那那么么其中(x) 是当 的无穷小,并且0 xx ( )( )f xax充分性充分性 设设( )( )f xax, ,(x) 是当 的无穷小0 xx 那那么么0lim( )xxf x0lim( )xxax0lim( )xxax a2. 无穷小量的性质无穷小量的性质目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小无限个无穷小之和不一定是无穷小 !例如，例如，1211lim222nnnnnn1(1)有限个无穷小量的代数和是无穷小量;定理定理 2. 自变量相同变化趋势的无穷小量有如

5、下性质自变量相同变化趋势的无穷小量有如下性质:(2)有限个无穷小量的乘积是无穷小量;目录 上页 下页 返回 结束 证证: :由已知, f在x0处是局部有界的,故0,0,M0(, ),xU x 恒有( ).f xM从而0(, ),xU x ( ) ( )|( )|,x f xMx故|( )|( ) ( )|( )|.Mxx f xMx0lim( )0,xxx由于0lim( ) ( )0,xxx f x由加逼性得知所以(x) f(x) 是当 时的无穷小.0 xx (x) 是当 的无穷小,0 xx 定理定理 3. 设设f是在x0处局部有界的函数,那么(x) f(x) 是当 时的无穷小.0 xx 目录

6、 上页 下页 返回 结束 (x) 是当 的无穷小,0 xx 定理定理 3. 设设f是在x0处局部有界的函数,那么(x) f(x) 是当 时的无穷小.0 xx (x) 是当 的无穷小,x 定理定理. 设设f是在 内有界(即 ) 那么(x) f(x) 是当 时的无穷小.x ( )U 0,( ),( )MxUf xM 恒有可以简记作：有界函数与无穷小的乘积是无穷小。目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 求求.sinlimxxx解解: 1sinx01limxx利用定理 3 可知.0sinlimxxx说明说明 : y = 0 是是xxysin的渐近线 .Oxyxxysin目录 上页 下页 返回 结束

7、,0时xxxxsin,32都是无穷小,引例引例 .xxx3lim20,020sinlimxxx,xxx3sinlim0,31但 目录 上页 下页 返回 结束 ( )o记作,0, )0(C,1lim0,kC是 的高阶无穷小，是 的低阶无穷小是 的同阶无穷小是 的等价无穷小,是 的 k 阶无穷小记作( )lim( )xx特别取(x)=x-x0,假设 则称(x)是当xx0时的k阶无穷小.00( )limc,()kxxxxx设(x)与(x)是自变量x有相同变化趋势的无穷小,且(x) 0.定义定义2(无穷小的阶无穷小的阶). 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 当当x0时时,试比较下列无穷小的阶试比

8、较下列无穷小的阶:322(1) ( )2,( )2;xxxxx(2) ( )sin ,( );xxxx(3) ( )tan ,( );xxxx21(4) ( )1 cos ,( );2xxxx 解解: (1)32200( )2limlim1;( )2xxxxxxx由于3223220,22,22,xxxxxxx所以当时与是等价无穷小 即3220.xxx并且是当时的二阶无穷小(2)00( )sinlimlim1;sin.( )xxxxxxxx由于所以目录 上页 下页 返回 结束 00( )tanlimlim1;tan.( )xxxxxxxx由于所以(4)2002( )1 cos1limlim1;1

9、 cos.1( )22xxxxxxxx由于所以1 cos0.xx并且是当时的二阶无穷小例例2. 当当x0时时,试比较下列无穷小的阶试比较下列无穷小的阶:322(1) ( )2,( )2;xxxxx(2) ( )sin ,( );xxxx(3) ( )tan ,( );xxxx21(4) ( )1 cos ,( );2xxxx 解解: (3)目录 上页 下页 返回 结束 由上例中(2)(3)(4)可得,当x0时,sintan ,xxx211 cos.2xx根据高阶无穷小的定义,上式还可以表示为:当x0时,221sin( ),tan( ),1 cos().2xxxxxxxxx注意: 并非每个无穷小

10、都有阶数,比如当x0时,1sinxx目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 3. 证明证明: :当当0 x时,11nx.1xn证证: 0limx11nxxn10limx11nnxxn111nnx21nnx1,0时当 x11nxxn1nnba)(ba1(naban 2)1nb1x分子目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 证明证明: e1 (0)xx x证证:, 1e xy令, )1ln(yx则,0,0yx时且xexx1lim0)1ln(lim0yyyyyy1)1ln(1lim0eln11xx1e ln(1) (0)xx x 目录 上页 下页 返回 完毕 因而 即有等价关系: 说明说明: 上述证

11、明过程也给出了等价关系上述证明过程也给出了等价关系: )1ln(1lim10yyy目录 上页 下页 返回 结束 无穷小的等价关系具有如下性质：无穷小的等价关系具有如下性质：(1) 自反性：,那么,那么(2) 对称性：假设(3) 传递性：假设目录 上页 下页 返回 结束 证明提示证明提示:二、二、 无穷小的等价代换无穷小的等价代换 定理定理4 . 设设(x)与与(x), 都是自变量有相都是自变量有相同变化趋势的无穷小同变化趋势的无穷小,假设假设 并并且且( )( )xx与( )( )( )( ),xxxx( )lim( ),xx存在那么( )lim( ),xx也存在并且( )( )limlim(

12、 )( )xxxx( )( )( )( )( )( )( )( )xxxxxxxx目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 利用无穷小等价代换定理求以下极限利用无穷小等价代换定理求以下极限解解: 因为因为0()020121(1)limarcsinarctan23xxxx222112122xxx0arcsin2lim2xxx(arcsin)2xu 0lim1sinxuu所以所以arcsin,arctan.2233xxxx同理2200121limlim6arcsinarctan232 3xxxxxxx x目录 上页 下页 返回 结束 .sintanlim30 xxxx30limxxxx原式30)co

13、s1 (tanlimxxxx2132210limxxxx(2)解解: 原式 注意注意: 应用无穷小等价代换定理求极限时应用无穷小等价代换定理求极限时,只能对待只能对待求极限函数中的无穷小因子进行求极限函数中的无穷小因子进行.若待求极限的函数若待求极限的函数表达式中含有函数的加减法运算表达式中含有函数的加减法运算,则不能对其中的相则不能对其中的相加与相减的无穷小项进行等价代换加与相减的无穷小项进行等价代换.目录 上页 下页 返回 结束 231x221x(3).1cos1)1 (lim3120 xxx解解:,0时当 x1)1 (312 x231x1cos x221x0limx原式32目录 上页 下

14、页 返回 结束 三、三、 无穷大量无穷大量(绝对值无限趋大的变量绝对值无限趋大的变量)定义定义3 . 设设0:()f U xR是一个函数,假设0lim( ),xxf x 即0|0 xx|0,0,M使得当则称函数f(x)是当 时的无穷大量,简称无穷大 .0 xx时,恒有|( )|,f xM定义定义3 . 设设0:()f U xR 是一个函数,假设lim( ),xf x即xX0,0,XM 使得当则称函数f(x)是当 时的无穷大量,简称无穷大 .x 时,恒有|( )|,f xM若在定义中改为Mxf)(则记作)(lim)(0 xfxxx)(lim()(0 xfxxx, )(Mxf目录 上页 下页 返回

15、 结束 注意注意:1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态.2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 !例如例如, 函数函数),(,cos)(xxxxf)2( nf)(n当2n但0)(2nf,时所以x)(xf不是无穷大 !xxycosOxy目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 证明证明11lim1xx证证: 任给正数任给正数 M ,要使,11Mx即,11Mx只要取,1M则对满足10 x的一切 x , 有Mx11所以.11lim1xx11xy假设 ,)(lim0 xfxx则直线0 xx 为曲线)(xfy 的铅直渐近线 .铅直渐近线说明说明:xyO1目录 上页 下页 返回 结束

16、 假设 lim( ),xf xa则称直线ya为曲线)(xfy 的水平渐近线 .如下图Oxyxy1. 01limxx.10的水平渐近线为xyy目录 上页 下页 返回 结束 假设)(xf为无穷小, 且,0)(xf那么)(1xf为无穷大.)(1xf假设)(xf为无穷大,为无穷小 ;那么据此定理(1) , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.定理定理5. 在自变量的相同变化趋势下在自变量的相同变化趋势下,有下述结论有下述结论:说明说明:(1)有限个无穷大量的乘积是无穷大量有限个无穷大量的乘积是无穷大量;(3) 无穷大量与有界量之和是无穷大量无穷大量与有界量之和是无穷大量.目录 上页 下页 返回

17、结束 两个无穷大量的代数和不一定是无穷大量;无穷大量与有界量的乘积不一定是无穷大量.注意注意:大O记号设函数f(x)与g(x)定义在x0的某去心邻域 中,假设 在x0处是局部有界的,则记作 .特别地,假设f(x)在x0处是局部有界的,则记作f(x)=O(1).0()U x( )( )f xg x( )( ( )f xO g x例如例如:sin(1), sin( )11OxO xxx目录 上页 下页 返回 结束 思考题思考题任何两个无穷小都可以比较吗？不能不能例例: : 当当 时时 x,1)(xxf xxxgsin)( 都是无穷小量但 )()(limxfxgxxxsinlim 不存在且不为无穷大

18、故当 时 x)(xf和和)(xg不不能能比比较较.解解.目录 上页 下页 返回 结束 6 6、xaxnx1)1(lim10 = =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .练练 习习 题题目录 上页 下页 返回 结束 7 7、当、当0 x时，时，)0(3 aaxa 对于对于x是是_阶无穷小阶无穷小 . .8 8、当、当0 x时，无穷小时，无穷小xcos1 与与nmx等价，则等价，则 ._, nm 二、求下列各极限：二、求下列各极限：1 1、xxxx30sinsintanlim ；2 2、 eelim；3 3、xxxx sinsinlim0 ；4 4、axaxax tantanlim；目录 上页 下页 返回 结束 三、三、 证明：若证明：若 ,是无穷小，则是无穷小，则)(0 . .四、