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1、目录 上页 下页 返回 结束 一、连续函数的运算法则一、连续函数的运算法则 第九节二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性 连续函数的运算与初等函数的连续性 第一章 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2. 连续单调递增函数的反函数也连续单调递增连续单调递增函数的反函数也连续单调递增. xx cot,tan在其定义域内连续一、连续函数的运算法则一、连续函数的运算法则定理定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差差 , 积积 ,( 利用极限的四则运算法则证明)连续xx cos,sin商(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 .例如例如,例

2、如例如,xysin在,22上连续单调递增，其反函数xyarcsin(递减)(证明略)在1, 1上也连续单调(递减)11xOy22递增.xsinxarcsin目录 上页 下页 返回 结束 定理定理3. 连续函数的复合函数是连续的连续函数的复合函数是连续的.xye在),(上连续其反函数xyln在),0(上也连续单调递增.证证: 设函数设函数)(xu,0连续在点 x.)(00ux,)(0连续在点函数uxfy . )()(lim00ufufuu于是)(lim0 xfxx)(lim0ufuu)(0uf)(0 xf故复合函数)(xf.0连续在点 x又如又如, 且即xyOxylnxey 11单调 递增,目录

3、 上页 下页 返回 结束 例如例如,xy1sin是由连续函数链),(,sinuuy,1xu *Rx因而xy1sin在*Rx上连续 .复合而成 ,xy1sinxyO目录 上页 下页 返回 结束 二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续例如例如,21xy的连续区间为1, 1(端点为单侧连续)xysinln的连续区间为Znnn, ) 12( ,2(1cosxy的定义域为Znnx,2因此它无连续点而目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 求求.)1 (loglim0 xxax解解: 原式xxax1)1

4、 (loglim0elogaaln1例例2. 求求.1lim0 xaxx解解: 令令, 1xat那么, )1 (logtxa原式)1 (loglim0ttataln目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 求求.)21 (limsin30 xxx解解:原式elim0 x)21ln(sin3xxelim0 xx36e说明说明: 假假设设,0)(lim0 xuxx则有)()(1lim0 xvxxxu,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 xuxvxxe)()(lim0 xuxvxxx2目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结基本初等函数在定义区间内连续连续函数的四则运算结果仍连续连续函数的反函数连续连续函数的复合函数连续

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