专题八 距离空间的列紧性与紧性(投)1

1、距离空间的列紧性与紧性距离空间的列紧性与紧性 实数集中的列紧性（致密性）实数集中的列紧性（致密性） 专题七专题七 距离空间的列紧性距离空间的列紧性全有界性与紧性全有界性与紧性距离空间的全有界性距离空间的全有界性 实数的有界性实数的有界性 距离空间的列紧性与紧性距离空间的列紧性与紧性 实数集中的有限覆盖实数集中的有限覆盖 已知已知：在实直线上，有波尔查诺：在实直线上，有波尔查诺维尔斯特拉斯维尔斯特拉斯“列紧性定理列紧性定理”成立，而且与完备性定理是相互等价成立，而且与完备性定理是相互等价的。的。 问题问题1：在一般的距离空间中，列紧性定理是否在一般的距离空间中，列紧性定理是否也成立？也成立？ 一

2、、距离空间的列紧性21max0)(max0 ,1 ,010ntntnttxx 1 , 0)(10 , 01, 1limlimCtxttttxtxkknknk引例引例1 1 考察闭区间考察闭区间0,10,1上的连续函数序列上的连续函数序列xn C0,1: xn=xn(t)=tn (n=1,2,) xn C0,1是有界点列是有界点列 。 但是，但是，xn C0,1是没有收敛子列是没有收敛子列 。事实上，。事实上，若若 子列子列xnk xn, 使使xnkx C0,1函数子列函数子列xnk(t) 在在0,1上一致收敛于上一致收敛于x(t)这与这与x(t)在在0,1上连续矛盾。上连续矛盾。结论：结论：在

3、一般的距离空间在一般的距离空间( (即使是完备的即使是完备的) )中，中， 有界点有界点列不一定存在收敛子列，即列紧性定理不成立。列不一定存在收敛子列，即列紧性定理不成立。 . 11, 0,10 ,1tnntnttxnxt101n1引例引例2 C0,12 C0,1中的点列：中的点列： 显然是有界点列，但它不可能有收敛的子列。显然是有界点列，但它不可能有收敛的子列。 1 , 0)(10 , 00, 1limCtxtttxtxknk 事实上，若事实上，若 子列子列xnk xn, 使使xnkx C0,1函数子列函数子列xnk(t) 在在0,1上一致收敛于上一致收敛于x(t)这与这与x(t)在在0,1

4、上连续矛盾。上连续矛盾。定义定义5.1 (列紧集与列紧空间列紧集与列紧空间) 设设X是距离空间，是距离空间，A X. (1) 如果如果 xn A, 子列子列xnk xn,使使xnkx X(k),则称则称A是列紧集是列紧集。 (2) 如果如果A是列紧闭集，即是列紧闭集，即 xn A, 子列子列xnk xn, 使使xnkx X(k),则称则称A是自列紧集是自列紧集。 (3) 如果如果X本身是本身是(自自)列紧集，即列紧集，即 xn X, 子列子列xnk xn, 使使xnkx X(k), 则称则称X是列紧空间是列紧空间。注注 1）自列紧集）自列紧集列紧闭集列紧闭集 对全空间对全空间X而言，列紧而言，

5、列紧自列紧自列紧列紧闭列紧闭. 2）维尔斯特拉斯）维尔斯特拉斯“列紧性定理列紧性定理”可以表述为：可以表述为： R中的任何有界集都是列紧集如果中的任何有界集都是列紧集如果A是列紧闭是列紧闭定理定理5.1 (列紧集的性质列紧集的性质) 设设X是距离空间，则是距离空间，则 (1) X中的任何有限点集都是列紧集中的任何有限点集都是列紧集; (有限点集是常驻点列有限点集是常驻点列) (2) 在在X中，列紧集的子集是列紧集，因而任意多个列紧中，列紧集的子集是列紧集，因而任意多个列紧 集的交是列紧集，有限个列紧集的并是列紧集；集的交是列紧集，有限个列紧集的并是列紧集； (3) 若若A X, 则则A列紧集列

6、紧集A是自列紧集是自列紧集证证 (3) “” 设设A X列紧，列紧， xn An, xn A xn A, 或或xn Ayn A, (xn,yn)1/n (n=1,2,) A列紧列紧子列子列ynk yn, ynky A X (k) (ynk,y)0 (k) (xnk,y)(xnk,ynk)+ (ynk,y)0, N, 当当n,nkN时时, 有有 (xn, xnk)N, k时时,有有 (xnk,x)=lim (xnk,xn) ( (距离函数连续性距离函数连续性) ) xnx X (n) X完备完备 但反之不然。例如，但反之不然。例如，R是完备距离空间，但序列是完备距离空间，但序列 n R中没有任何

7、收敛子列，因而中没有任何收敛子列，因而R不是列紧空间。不是列紧空间。 然而，然而，R中的任何有界集都是列紧集。中的任何有界集都是列紧集。 二、距离空间的全有界性 网与全有界集网与全有界集定义定义5.2 ( 网网) 设设X是距离空间，是距离空间，A X, B X. 如果如果0, A能被能被B中个点的中个点的 开球开球S(x, )的全体所覆盖，即的全体所覆盖，即BxxSA),(则称则称B是是A的一个的一个 网。网。例例1 R2中一切整数格点所构成的集中一切整数格点所构成的集 A=(m,n)|m,n Z构成了构成了R2的一个的一个3/4网。网。 例例2 设设A=(x,y)|x,y均为无理数均为无理数

8、, B=(x,y)|x,y Q, 则则0, B都构成了都构成了A的一个的一个 网，从而也构成了网，从而也构成了 R的一个的一个 网。网。（由于有理数在（由于有理数在R R中的稠密性）中的稠密性）注注: 1）B是是A的一个的一个 网网y A, x B, 使使 (x,y)0, A的有限的的有限的 网网B=x1,x2,xn, 则称则称A为为全有界集全有界集.例例3 闭区间闭区间0,1使使R中的全有界集。中的全有界集。 证证 0, 取取n1/ , 则有则有1/n . 构造有限点集构造有限点集 B=0, 1/n, 2/n, , (n-1)/n 0,1 x,y B是相邻两点，有是相邻两点，有 (x,y)=

9、1/n . B 中各点的中各点的 开球的全体覆盖了开球的全体覆盖了A B是是0,1区间一个有限的区间一个有限的 网网 0,1区间是全有界集。区间是全有界集。 注注 1) 对全有界集对全有界集A, 一定能找到它的有限一定能找到它的有限 网网B A. 2) 全有界集全有界集A的有限的的有限的 网的构造方法：网的构造方法： 首先，构造一个首先，构造一个 有限点集有限点集 B=x1,x2, xn A； 然后，选取网中个开球的公共半径然后，选取网中个开球的公共半径 ， x,y B是相是相邻两点，有邻两点，有 (x,y)0, N, 当当m,nN时时, (xm,xn)N, m=N+1时时, (xN+1,xn

10、)N) B 中各点的任意中各点的任意 开球的全体覆盖了开球的全体覆盖了A 0， B都是都是A的一个有限的的一个有限的 网网 A是全有界集是全有界集01000,max1,xxxxxxxxXxiniii定理定理5.3 (全有界集的性质全有界集的性质) 设设X是是距离空间，距离空间，A X是全是全有界集，则（有界集，则（1）A一定是有界集；一定是有界集； （2）A一定是可分的。一定是可分的。证证 (1) A X是全有界集是全有界集 对对 =1, A的一个有限的的一个有限的1网网B =x1,x2,xn A x A, k, 使使x S(xk,1), 即即 (xk,x)0, A没有有限的没有有限的 0网网

11、x1 A ,S(x1, 0)不能覆盖不能覆盖AAS(x1, 0)非空非空x2 AS(x1 , 0), S(x2, 0)S(x2, 0)不能覆盖不能覆盖AAS(x1, 0) S(x2, 0)非空非空, x3 AS(x1, 0) S(x2, 0),xn,xm xn A, 当当nm时，有时，有110),(niinxSMx00),(),(mnmnxxxSx xn的每一个子列都不可能是基本列，矛盾。的每一个子列都不可能是基本列，矛盾。 因此，因此，A是全有界集。是全有界集。 定理定理5.5 (豪斯道夫定理豪斯道夫定理全有界集与列紧集的关系全有界集与列紧集的关系) (1) 设设X是是距离空间，距离空间，A

12、 X是列紧集是列紧集A是全有界集是全有界集 (2) 设设X是完备距离空间是完备距离空间, 则则A X是列紧集是列紧集A是全有界集是全有界集证证 (1) 设设A X是列紧集是列紧集 xn A， 子列子列xn(k), xn(k)x X (k) xn(k)是是xn的基本子列的基本子列 A是是全有界集。全有界集。 (2) “” 在在(1)中已证。中已证。 “” 设设A是全有界集，是全有界集， xn Axn有基本子列有基本子列xn(k) X完备完备xn(k) xn A收敛收敛A是列紧集是列紧集2 全有界集与列紧集的关系全有界集与列紧集的关系注：注：在不完备的距离空间中在不完备的距离空间中, 全有界集不一

13、定是列紧集全有界集不一定是列紧集.例如，例如，C-1,1按距离按距离111)()(),(dttytxyx不完备，其中的点列不完备，其中的点列xn: ,.)2 , 1( 1 ,/1 (, 1/1 ,/1,/1, 1, 1)(nntnntntnttxn 是基本列，因而是基本列，因而A=xn是是(C-1,1, 1)中的全有界集，中的全有界集，但是它在但是它在C-1,1中没有收敛子列，故中没有收敛子列，故A=xn不是列不是列紧集。紧集。推论推论5.1 (有界集与列紧集的关系有界集与列紧集的关系) 设设X是是距离空间，距离空间， A X是列紧集是列紧集A是有界集是有界集推论推论5.2 (列紧集与可分集的

14、关系列紧集与可分集的关系) 设设X是距离空间，则是距离空间，则 (1) A X是列紧集是列紧集A是可分集；是可分集； (2) X是列紧是列紧空间空间X是可分的。是可分的。 （即列紧空间中存在一个稠密的可数子集。）即列紧空间中存在一个稠密的可数子集。）证证 (1) A X是列紧集是列紧集A是全有界集是全有界集A是可分集是可分集; (2) X是列紧空间是列紧空间 X是是全有界空间全有界空间X是可分空间是可分空间.证证 A是列紧集是列紧集 A是是全有界集全有界集A是有界集是有界集注注 在在R中，有中，有 1) A是列紧集是列紧集A是有界集是有界集 2) A是自列紧集是自列紧集A是列紧闭集是列紧闭集A

15、是有界闭集是有界闭集3 几个常用距离空间中列紧集的特征几个常用距离空间中列紧集的特征定理定理5.6 (Rn中列紧集的特征中列紧集的特征) 设设A Rn, 则则 A是列紧集是列紧集A是有界集是有界集证证 若若A是列紧集是列紧集A是全有界集是全有界集A是有界集是有界集 若若A是有界集是有界集, xk A Rn, xk=x1(k),x2(k),xn(k) xk 是有界点列是有界点列 对每个对每个i (i=1,2,n), xi(k)是有界数列是有界数列 对每个对每个i (i=1,2,), xi(k)存在收敛子列，设存在收敛子列，设时列紧集。是收敛子列有使AAxxjxxxxxxxxjxxniikknik

16、kjxxxxkknkikikkikinjjikikikijnjnjnjjnjjij)(,.,.,)(),.,2 , 1(,),.,2 , 1,)(,)0()0(2)0(10)()()(1)0()()()0()()()()()()()()1()(证证 必要性必要性 设设A Ca,b是列紧集是列紧集 (1) A是列紧集是列紧集A是有界集是有界集 (在距离意义下）在距离意义下） A是一致有界集是一致有界集 (在函数意义下在函数意义下) 定义定义5.4 (一致有界和等度连续一致有界和等度连续) 设设A Ca,b， 1) 如果如果 K0, x(t) Ca,b ,有有|x(t)| K，则称，则称A是是一一

17、 致有界致有界的的； 2) 如果如果0, ( )0, 使对使对 x(t) Ca,b及及 t1,t2 a,b, 当当|t1 t2| 时时, 有有|x(t1) x(t2)|0, A的有限的有限 /3-网网x1(t), x2(t),xn(t) x(t) A, xi(t)(1 i n), 使得使得 (xi,x) /3 |xi(t) x(t)|0, 使得当使得当|t1-t2| 时时, 有有 |xi(t1)-xi(t2)| /3 (i=1,2,n) x(t) A, 当当|t1-t2| 时时, 有有 |x(t1)-x(t2)| |x(t1)-xi(t1)|+|xi(t1)-xi(t2)|+|xi(t2)-x

18、(t2)| 0, 使使|xn(r1)| K (n=1,2,) xn(r1)是有界数列是有界数列 子列子列x1n(t) xn(t)在在t=r1处收敛。处收敛。 |x1n(r2) | K子列子列x2n(t) x1n(t)在在t=r1,r2处收敛处收敛 .子列子列xkn(t) x(k-1)n(t)在在t=r1,r2,rk处收敛处收敛 (k=1,2,)xnn(t)在在a,b内的所有有理数处收敛；内的所有有理数处收敛； A等度连续等度连续0, 0, x(t) A, 当当|t1-t2| 时时, 有有 |x(t1)-x(t2)|/3 将将a,b区间区间k等分等分, 得得k个子区间个子区间Ii(i=1,2,k

19、), 使使mIiN时时, |xmm(ri(0)-xnn(ri(0)|N, t a,b时时, 有有 |xmm(t)-xnn(t)| |xmm(t)-xmm(ri(0)|+|xmm(ri(0)-xnn(ri(0)|+|xnn(ri(0)-xnn(t)| /3+ /3+ /3n. 一方面，一方面，A是紧集是紧集A是列紧闭集是列紧闭集 存在子列存在子列xnk xn, 使得使得xnkx0 A f(xnk)f(x0) (k) (因为因为f(x)f(x)在上连续在上连续) 另一方面，另一方面， f(xnk)nkf(xnk) (k) 矛盾。矛盾。 故故f(x)在在A上有界上有界 证证 设设 =supf(x) (x A) 对任意对