第一节 矩阵的概念与运算

1、第二章第二章 矩阵矩阵第一节第一节 矩阵的概念与运算矩阵的概念与运算 矩阵概念的引入矩阵概念的引入 矩阵的定义矩阵的定义 几种特殊矩阵几种特殊矩阵 矩阵的运算矩阵的运算 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa221122222121112121111. 1. 线性方程组线性方程组的解取决于的解取决于 , 2 , 1;, 2 , 1njmiaij 系数系数 mibi, 2 , 1 常数项常数项一、矩阵概念的引入一、矩阵概念的引入 mmnmmnnbaaabaaabaaa21222221111211对线性方程组的对线性方程组的研究可转化为对研究可转化为对这张表的研究这张表的研

2、究. .线性方程组的系数与常数项按原位置可排为线性方程组的系数与常数项按原位置可排为2. 某航空公司在某航空公司在A,B,C,D四四城市之间开辟了若干航线城市之间开辟了若干航线 ,如图所示表示了四城市间的如图所示表示了四城市间的航班图航班图,如果从如果从A到到B有航班有航班,则用带箭头的线连接则用带箭头的线连接 A 与与B.ABCD四城市间的航班图情况常用表格来表示四城市间的航班图情况常用表格来表示: :发站发站到站到站ABCDABCD其中其中 表示有航班表示有航班. .为了便于计算为了便于计算, ,把表中的把表中的 改成改成1,空白地方填上空白地方填上0,就得到一个数表就得到一个数表: :1

3、111111000000000这个数表反映了四城市间交通联接情况这个数表反映了四城市间交通联接情况. .ABCDABCD二、矩阵的定义二、矩阵的定义 由由 个数个数排成的排成的 行行 列的数表列的数表nm mn njmiaij, 2 , 1;, 2 , 1 mnmmnnaaaaaaaaa212222111211称为称为m行行n列矩阵列矩阵. .简称简称 矩阵矩阵. .nm 记作记作 mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211简记为简记为 .ijnmijnmaaAA .的的元元素素个个数数称称为为这这Anm 主对角线主对角线副对角线副对角线例如例如 34695301是一个是一个 矩

4、阵矩阵, ,42 421是一个是一个 矩阵矩阵, ,13 9532是一个是一个 矩阵矩阵, ,41 4是一个是一个 矩阵矩阵. .11 例如例如 2222222613是一个是一个3 阶方阵阶方阵. .三、几种特殊矩阵三、几种特殊矩阵2. 2. 只有一行的矩阵只有一行的矩阵 ,21naaaA 称为称为行矩阵行矩阵( (或或行向量行向量) ). .1.1.行数与列数都等于行数与列数都等于 的矩阵的矩阵 ，称为称为 阶阶nnA.nA方阵方阵. .也可记作也可记作,21 naaaB只有一列的矩阵只有一列的矩阵称为称为列矩阵列矩阵( (或或列向量列向量).). 称为称为对角对角矩阵矩阵( (或或对角阵对

5、角阵）. . n 000000213.形如形如 的方阵的方阵, ,OO不全为不全为0记作记作 .,21ndiagA 时，时，特别地当特别地当), 2 , 1(0nii 100010001nEE称为称为单位矩阵单位矩阵（或（或单位阵单位阵）. .OO全为全为1 4. 元素全为零的矩阵称为元素全为零的矩阵称为零矩阵零矩阵， 零零矩阵记作矩阵记作 或或 . .nm nmo o注意注意 .00000000000000000000 不同阶数的零矩阵是不相等的不同阶数的零矩阵是不相等的. .例如例如5. ，即，即时，时，阶方阵，如果当阶方阵，如果当为为), 2 , 1,(0)(njiajinaAijij

6、nnnnaaaaaaA22211211阶上三角矩阵；阶上三角矩阵；为为则称则称nA.阵阵类似地可定义下三角矩类似地可定义下三角矩思考思考矩阵与行列式的有何区别矩阵与行列式的有何区别? ?思考解答思考解答 矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个矩阵仅仅是一个数表数表，它的行数和列数可以不同，它的行数和列数可以不同. .1、矩阵的相等矩阵的相等四、矩阵的运算四、矩阵的运算两个矩阵的行数相等两个矩阵的行数相等, ,列数相等时列数相等时, ,称为称为同型矩阵同型矩阵.

7、 两个矩阵两个矩阵 为同型矩阵为同型矩阵, ,并且对应并且对应元素相等元素相等, ,即即 ijijbBaA 与与 , 2 , 1;, 2 , 1njmibaijij 则称则称矩阵矩阵 相等相等, ,记作记作BA与与.BA mnmnmmmmnnnnbababababababababaBA221122222221211112121111设有两个设有两个 矩阵矩阵 那么矩阵那么矩阵 与与 的和记作的和记作 ，规定为规定为nm ,bB,aAijij ABBA 只有行列相同只有行列相同的同型矩阵才的同型矩阵才可以相加可以相加2、矩阵的加法矩阵的加法例如例如，1235189190654368321 121

8、385916950433628113114744689矩阵的加法满足下列运算规律矩阵的加法满足下列运算规律: : ;1ABBA .2CBACBA 交换律交换律结合律结合律.112222111211 mnmmnnaaaaaaaaaAA 3、数与矩阵相乘、数与矩阵相乘规定为规定为或或的乘积记作的乘积记作与矩阵与矩阵数数, AAA ;1AA ;2AAA .3BABA 数乘矩阵的运算规律数乘矩阵的运算规律矩阵相加与数乘矩阵合起来矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的统称为矩阵的线线性运算性运算. .（设设 为为 矩阵，矩阵， 为数为数） ,nm BA、.)1(B-A.,BABA 为为的的差差若若我我们

9、们定定义义两两个个矩矩阵阵为为同同型型矩矩阵阵设设 skkjiksjisjijiijbabababac12211 , 2 , 1;, 2 , 1njmi 并把此乘积记作并把此乘积记作.ABC 4、矩阵与矩阵相乘、矩阵与矩阵相乘设设 是一个是一个 矩阵，矩阵， 是一个是一个 矩阵，矩阵，那那末规定矩阵末规定矩阵 与矩阵与矩阵 的乘积的乘积是一个是一个 矩阵矩阵 ，其中其中 ijaA sm ijbB ns nm ijcC AB 三点说明三点说明: :(1) 两个矩阵可乘的条件为：两个矩阵可乘的条件为：左边矩阵左边矩阵A的列数的列数= =右边矩阵右边矩阵B的行数的行数. .(2) 乘积矩阵乘积矩阵A

10、B的行数的行数=第一个矩阵第一个矩阵A的行数；的行数； AB的列数等于第二个矩阵的列数等于第二个矩阵B的列数的列数.)3(列的对应元素乘积的和列的对应元素乘积的和的第的第行元素与行元素与的第的第列的元素列的元素行第行第的第的第的乘积的乘积与与jBiAcjiCBAij 例例222263422142 C22 16 32 816设设 415003112101A 121113121430B例例2 2?故故 121113121430415003112101ABC. 解解 ,43 ijaA ,34 ijbB .33 ijcC5 671026 2 17 10注意注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵只有当

11、第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘的行数时，两个矩阵才能相乘. . 106861985123321例如例如 123321 132231 .10 不存在不存在. .矩阵乘法的运算规律矩阵乘法的运算规律 ;1BCACAB ,2ACABCBA ;CABAACB BABAAB 3（其中其中 为数为数）; ;4AEAAE 若若A是是 阶矩阵阶矩阵，则则 为为A的的 次幂次幂，即即 并且并且 5nkAk 个个kkAAAA ,AAAkmkm .mkkmAA 为为正正整整数数km,例例3 设设 2002,1111,1111CBA.,BAACAB及及求求 2222解：解： 11111111

12、AB 20021111AC 2222 11111111BA 00001.1.在一般情况下在一般情况下, ,ABBA, ,这说明矩阵的乘法不满足交换律这说明矩阵的乘法不满足交换律. .该例说明该例说明: :2.2.由由AB=AC不能得出不能得出B=C的的结论结论, ,矩阵的乘法还不满足消去律矩阵的乘法还不满足消去律.3.3.由由AB=O, ,也不能得出也不能得出A=O或或B=O的结论的结论 定义定义 把矩阵把矩阵 的行换成同序数的列得到的的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作的转置矩阵，记作 . AAA例例,854221 A;825241 TA ,618 B.618

13、TB5、转置矩阵、转置矩阵转置矩阵的运算性质转置矩阵的运算性质 ;1AATT ;2TTTBABA ;3TTAA .4TTTABAB 注：注：性质性质（2）和和（4）可推广到有限个矩阵的情形可推广到有限个矩阵的情形. .例例4 4: :设矩阵设矩阵 AB171201,423 ,132201 AB171201423132201 求求 TAB解法一：解法一： 0143,171310 TAB 014.3 171310 解法二：解法二： TTTABB A0171413 ,310 142720131 210312 (AB)TATBTTTA B 142720 ,131 210312 不能相乘不能相乘所以一般情况下有所以一般情况下有: :2、对称矩阵、对称矩阵定义定义设设 为为 阶方阵，如果满足阶方阵，如果满足 ，即即那么那么 称为称为对称阵对称阵. .AnTAA n,j , iaajiij21 A.6010861612为对称阵为对称阵例如例如 A.称称为为反反对对称称的的则则矩矩阵阵如如果果AAAT 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等. .说明说明 032301210如如对称矩阵关于对称矩阵关于什么对称呀什么对称呀T例5 设A,B为n阶方阵,且A是对称矩阵,证明:B AB也是对称矩阵)22TTAAA例6 任何一个n阶方阵都可以表示成一个对称矩阵与反对称