【精品】高中数学选修1-1曲线与方程知识点讲解讲义+巩固练习(含答案)基础

1、曲线与方程【学习目标】1 .了解曲线与方程的对应关系；2 .进一步体会数形结合的基本思想；3 .掌握求曲线方程的基本方法（直接法），了解求曲线方程的其他方法（待定系数法、定义法、转化法、参数法等）【学习策略】借助于实例去体会曲线的方程和方程的曲线的意义；理解求曲线方程的实质，求曲线方程的关键在于把曲线上任一点所满足的几何条件（或其坐标满足的条件）转化为任一点坐标满足的等量关系，要注意方程中量x （或y）的取值范围.【要点梳理】要点一、曲线与方程概念的理解一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C （看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程 （f x, y）0 的实数解建立了如下的关

2、系：4 1）曲线 C 上所有点的坐标都是方程 （f x, y）0 的解；5 2）以方程 （f x, y）0 的解为坐标的点都在曲线C 上 .那么，方程 （f x, y）0 叫做曲线 C 的方程；曲线C 叫做方程 （f x, y）0 的曲线 .要点诠释：6 1 ）如果曲线C 的方程为 （f x, y）0 ，那么点P（x0 , y0 ） 在曲线 C 上的充要条件为7 f x0, y0）0 ；（ 2）曲线C 可看成是平面上满足一定条件的点的集合，而 （f x, y）0 正是这一定条件的解析表示 .因此我们可以用集合的符号表示曲线 C ： C （ x,y） | （f x, y）0 .（3）曲线C也称为

3、满足条件f（x,y）0的点的轨迹.定义中的条件（1）叫轨迹纯粹性，即不满足方程 （f x, y）0 的解的点不在曲线C 上；条件 （2） 叫做轨迹的完备性，即符合条件的所有 点都在曲线上.纯粹性”和完备性”是针对曲线C是否为满足方程f（x,y） 0的点的轨迹而言(4)区别轨迹和轨迹方程两个不同的概念，轨迹是 形”，轨迹方程是 数”.要点二、坐标法与解析几何解析几何是在坐标系的基础上，用代数的方法研究几何问题的一门数学学科解析几何的两个基本问题：1.根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；2.通过方程，研 究平面曲线的性质.根据曲线与方程的关系可知，曲线与方程是同一关系下的两种不同的表现形式.曲线

4、的性质完全反映在它的方程上，而方程的的性质也完全反映在它的曲线上，这正好说明了几何问 题与代数问题可以互相转化，这就是解析几何的基本思想方法，也就是数形结合，形与数达 到了完美的统一.我们把这种借助坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法，又称解析法.定义：在直角坐标系中，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线 上点的坐标(x, v)所满足的方程f(x,y) 0表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究 曲线的性质.这就是坐标法.要点三、用直接法求曲线方程的步骤坐标法求曲线方程的一般步骤：建立适当的直角坐标系，并设动点 P(x,y).写出动点P满足的几何条件.把几何条件坐标化，得

5、方程 F(x, y)=0.化方程F(x, y)=0为最简形式，特殊情况，予以补充说明，删去增加的或者补上丢失的证明方程F(x, y)=0是曲线的方程。 判断点是否在曲线上的方法把点的坐标代入曲线的方程：点 P(x0, y0)在曲线 C： f(x , y)=0 上f(x0,y0)0点 P(xo, yo)不在曲线 C: f(x, y)=0 上 f (Xo, yo)0 .求两曲线 f( x， y) =0 与 g( x ， y ) =0 的交点坐标方法联立 f (x， y) =0 与 g(x， y) =0，方程组f(x,y) 0的解即为两曲线的交点坐标，解g(x, y) 0的个数为交点的个数要点诠释：

6、求曲线的方程时，首先应观察原题条件中有没有坐标系，没有坐标系时应先建立坐标系，否则曲线不能转化为方程.建系要适当，经常利用特殊点以及曲线的对称性，以尽可能方便写相关点坐标为基本原则，这样可使运算过程简单，所得的方程也较简单.根据曲线上的点适合的条件列出等式，是求方程的重要一环，在这里常用到一些基本公式 .仔细审题， 分析已知条件和曲线的特征， 抓住与曲线上任意点 M 有关的相等关系， 结合基本公式列出等式，并进行化简 .化简前后解集没变可省略证明。但别忘记删去增加的或者补上丢失的解要点四、求轨迹方程的常用方法：求动点的轨迹方程既是平面解析几何中的主要问题之一，又是高考中的一个热点问题 .求动点

7、轨迹方程的方法主要有以下几种(1) 直接法；(2)间接法；(3)参数法经典例题透析类型一：曲线与方程的概念例 1. 已知坐标满足方程 (f x, y) 0 的点都在曲线C 上，那么( ) .( A )曲线C 上点的坐标都满足方程 (f x, y)0(B)坐标不满足方程f(x,y) 0的点都不在曲线C上(C)不在曲线C上的点，其坐标必不满足方程f(x,y) 0(D)不在曲线C上的点，其坐标有些满足方程f(x,y) 0 ,有些不满足方程f(x,y) 0.【解析】由曲线与方程的定义，(A)、(B)不一定正确，(C)命题是原命题的逆否命题， 它们是等价命题，故选(C).【总结升华】在判定曲线的方程和方

8、程的曲线时，两个条件缺一不可，是不可分割的整 体，解答本题时，应注意不要被问题的表面现象所迷惑，应根据 曲线的方程”与 方程的曲线”的概念逐一辨别其选项的真假.举一反三：【高清课堂：曲线与方程 例11【变式】曲线C上的点的坐标都满足F(x,y) 0”是方程F(x,y) 0是曲线C的方程”的()A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B例2.已知方程(x a)2 (y b)2 36的曲线经过点O (0, 0)和点A (0, 12),求a、b的化【思路点拨】若点在曲线上，则点的坐标满足曲线的方程.【解析】:点O、A都在方程(x a)2 (y b)2 36表

9、示的曲线上，点O、A的坐标都是方程(x a)2 (y b)2 36的解.22 (0 a) (0 b)36 解得 a 0(0 a)2 ( 12 b)2 36' b 6即a=0, b= 6为所求.【总结升华】方程与曲线的问题也就是解与点的关系，判断点是否在曲线上，只需将点 的坐标代入方程，等号成立即在曲线上，否则就不在.举一反三：【变式U曲线 x2 2xy by 0上有点Q(1,2),则b=2【变式2】已知02 ，点 P(cos,sin )在曲线(x 2)2y2 3上，则的值为(A. -B. 5【答案】CC万或53D.或一36例3.求证：圆心为P(a,b)、半径等于r的圆的方程是(x22a

10、) (y b)【解析】(1)设M(%,y0)是圆上任意一点，则点M到圆心的距离等于r ,即 v(X0a)2(y0b)2 r ,也就是(x0 a)2 (y0 b)2 r2, 因此(x0,y°)是方程(x a)2 (y b)2 r2的解.(2)设(Xo, y°)是方程(x a)2 (y b)2 r2 的解，则有(x0 a)2 (y0 b)2 r2, 两边开方取算术平方根，得.、(% a)2 (y0 b)2 r ,于是点M (Xo, yo)到点a, b)的距离等于r,点(Xo, yo)是这个圆上的点由(1) (2)可知(x a)2 (y b)2r2是圆心为P(a,b),半径为r的

11、圆的方程.【总结升华】证明方程的曲线或曲线的方程需证明纯粹性和完备性两方面：曲线上的 点的坐标都是方程的解；以这个方程的解为坐标的点都在曲线上.举一反三：【变式1】证明圆心在坐标原点，半径为 5的圆的方程是x2+y2=25,并判断点Mi(3,-4), M2(-2a/5,2)是否在这个圆上.【解析】(1)设M(xo, yo)是圆上任意一点,因为点M到原点的距离为5,所以&肃=5 ,即x2 y2 25 ,所以(xo, yo)是方程x2+y2=25的解.(2)设(xo, yo)是方程 x2+y2=25 的解，那么 x2 y2 25,所以&2y25,也就是说，点M到原点的距离为5,所以

12、点M在这个圆上.由(1) (2)知，x2+y2=25是圆心在坐标原点，半径为 5的圆的方程.把Mi(3, -4)代入x2+y2=25,等号成立，所以点Mi在圆上，把M2 (-2痣,2)代入x2+y2=25,等号不成立，所以点 M2不在圆上.【变式2】设A (2, 0)、B (0, 2),能否说线段AB的方程是x+y 2=0?为什么？【答案】不能.以A (2, 0)、B (0, 2)为端点的线段AB上的点的坐标都是方程x+y 2=0的解，但以方程x+y2=0的解为坐标的点并不都在线段 AB上，而是直线AB.类型二：坐标法求曲线的方程【高清课堂：曲线与方程例2】I PA I 1例4.已知点A与B为

13、平面内两定点，若平面内动点P到点A与B的距离之比|,| PB | 2求动点P的轨迹.【思路点拨】求动点P的轨迹方程，即是求P点的横、纵坐标所满足的关系式，因此应先建 系设点P (x,y).【解析】以线段AB所在直线为x轴，以线段AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，设 |AB| 2,则八(1,0), B(1,0),设 P(x,y)则由国I 1得| PB| 2(x 1)2 y2),(x 1)2 y22化简整理得(x 5)2 y2攻 39所以动点P的轨迹是圆【总结升华】(1)求曲线的方程一般有下面几个步骤：建立适当的直角坐标系，并设动点P(x,y).写出动点P满足的几何条件.把几何条件坐标化，得方程

14、 F(x, y)=0.化方程F(x, y)=0为最简形式.证明方程F(x, y)=0是曲线的方程.(2)求曲线的方程时，首先应观察原题条件中有没有坐标系，没有坐标系时应先建立坐 标系，否则曲线不能转化为方程.建坐标系应建得适当，这样可使运算过程简单，所得的方程 也较简单.(3)根据曲线上的点适合的条件列出等式，是求方程的重要一环，在这里常用到一些基 本公式.仔细审题，分析已知条件和曲线的特征，抓住与曲线上任意点M有关的相等关系，结 合基本公式列出等式，并进行化简.(4)证明可以省略不写.举一反三：【高清课堂：曲线与方程例3】【变式11已知点A(10,0)与圆O: x2 y2 16,设点P是圆。

15、上一动点，求线段PA中点 M的轨迹方程.【答案】(x 5)2 y2 4【变式2】若点M到两条互相垂直的直线的距离相等，求点 M的轨迹方程.【答案】取已知两条互相垂直的直线为坐标轴，建立直角坐标系，如图所示 设点M的坐标为(x, y),点M的轨迹就是到坐标轴的距离相等的点的集合P=M|MR|=|MQ|,其中Q、R分别是点M到x轴、y轴的垂线的垂足.因为点M到x轴、y轴的距离分别是它的纵坐标和横坐标的绝对值，所以条件|MR|二|MQ|可写成|x|二|y|,即x力=0.下面证明是所求轨迹的方程.(1)由求方程的过程可知，曲线上的点的坐标都是方程的解；(2)设点M1的坐标(为，y)是方程的解，那么x

16、y 0,即|x1| | y1 |,而| X |、| y |正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点Mi到这两条直线的距离相等，点Mi是曲线上的点.由(1) (2)可知，方程是所求轨迹的方程，图形如上图所示 .【变式3】设两定点Fi(-4,0), F2(4,0),求到Fi和F2的距离的平方和是50的动点轨迹方程.【答案】x2+y2=9.类型三：两曲线的交点例4.已知曲线x2 (y 1)2 4与直线y k(x 2) 4有两个不同的交点，求k的取值范围.【思路点拨】两曲线f (x, y) =0与g (x, y) =0的交点的个数，即是方程组 f(X，y) 0的解的个数。 g(x, y) 0y k(x 2

17、) 22x (y 1)【解析】由4,4,2 2k2)x22k(3 2k)x2(3 2k)2 4 0。得k512一 5即k 时曲线x2 (y 1)2 4与直线y k(x 2) 4有两个不同的父点12【总结升华】曲线的交点个数问题通常转化为方程根的个数问题，对于区间根的问题要 利用方程根的分布理论求解.举一反三：【变式1】曲线x2 xy y23x+4y 4= 0与x轴的交点坐标是 .答案：(4,0)和(1,0)【变式2】方程(x2 4)2 (y2 4)2 0表示的图形是()A.两个点 B.四个点 C.两条直线 D.四条直线【答案】B【变式3】已知曲线C:y x2 mx 1,点A(3,0),B(0,

18、3)，求C与线段AB有两个不同交点 时m的取值范围.【答案】m|3 m 10【巩固练习】一、选择题1 .与曲线y x相同的曲线方程是2A. y B . y l'x2x2 .已知 A (2, 5)、B (3, -1)A. 6x+y 17=0B.C. 6x+y17=0 (x03 D.3 .动点P到点(1, -2)的距离。-2_ 2A. (x 1) (y 2)9B.22C. (x 1) (y 2)3D.( ).C. y 潺D. y 2log2x,则线段AB的方程是()6x+y 17=0 (x>56x+y 17=0 (2<x33,则动点P的轨迹方程是()2 _ 2一x1)(y2)9

19、3 _ 2_x1)(y2)34 .到两条坐标轴的距离相等的点的轨迹方程是()A.|y|=|x| B. |y|=x C. y=|x| D. y=x5 .到两个定点A (-2, 0)、B (1, 0)的距离之比等于2的点的轨迹方程是()A, x2+y2-4x= 1 Bx2+y2-4x=0C x2+y2+4x=0Dx2y2-4x=06 .到两定点A(0,0),B(3,4)距离之和为5的点的轨迹是()A.圆B . AB所在直线C.线段ABD.无轨迹7 .曲线& :A. 0(x 1)24B. 11与曲线C2:y 1 (x 1)2的公共点的个数是(C. 2 D. 3二、填空题8.已知曲线C:xy+

20、 3x+ky+ 2 = 0,贝U当 k=.时，曲线C经过点(2, 1).9 .方程(x24)2+(y2 4)2 = 0表示的图形是10 .方程4x2 y2 = 0表示的曲线是11 .下列各组方程表示相同曲线的是 丫;x与y=病丫:(人)2与y= x|(x1)2+(y+2)2 = 0 与(x 1)(y+2) = 01 .®y=-与 xy= 1 x三、解答题12 .点M与两条互相垂直的直线的距离之积为常数k(k>0),求点M的轨迹方程.13 .求到点A(5,0) , B(-5, 0)连线斜率之积为定值 §的动点轨迹方程.14 .已知 ABC的两个顶点分别为 B(-2, 0

21、), C(3, 0),第三个顶点A在直线l:2x+3y-12=0 上滑动，求 ABC重心的轨迹方程.15 .已知一条曲线在x轴的上方，它上面的点到 A(0, 2)的距离减去它到x轴的距离的差都是2,求这条曲线的方程.【答案与解析】1 .答案C;解析：根据函数相同的概念，曲线相同，则曲线上点的横纵坐标的范围也相同可得2 .答案D;解析：题目中是线段AB,所以方程中x的范围为2x3,答案选D.3 .答案B;解析：由两点的距离公式得：J(x 1)2 (y 2)2 3,即：(x 1)2 (y 2)2 9,故选B4 .答案A ;解析：点到x轴，y轴的距离分别是|y| ,|x|,所以答案选A.5 .答案B;解析：设动点的坐标为(x,y),因为动点到两个定点A (-2, 0)、B (1, 0)的距离之比等于2,所以有1(x 2)： y2 2,化简得：x2+y2-4x=0 (x 1)2 y26 .答案C;解析：数形结合易