完整版高中常见数学模型案例

1、高中常见数学模型案例中华人民共和国教育部 2003年4月制定的普通高中 数学课程标准 中明确指出：数学探究、数学建模、数学文化是贯穿于整个高中数学课程的重要内容”，数学建模是数学学习的一种新的方式，它为学生提供了自主学习的空间，有助于学生体验数学在解决问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识；有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新意识和实践能力。”教材中常见模型有如下几种 ：一、函数模型用函数的观点解决实际问题是中学数学中最重要的、最常用的方法。函数模型与方法在处理实际问题中的广泛运用，两个变量或几个变量，凡能找到它们

2、之间的联系，并用数学形式表示出来，建立起一个函数关系(数学模型)，然后运用函数的有关知识去解决实际问题， 这些都属于函数模型的范畴。1、正比例、反比例函数问题例1:某商人购货，进价已按原价 a扣去25%,他希望对货物订一新价，以便按新价让利销售后仍可获得售价 25%的纯利，则此商人经营者中货物的件数x与按新价让利总额 y之间的函数关系是 。分析：欲求货物数x与按新价让利总额 y之间的函数关系式，关键是要弄清原价、进价、 新价之间的关系。若设新价为b,则售价为b (1 20%),因为原价为a,所以进价为a (1 25%)5解：依题意，有 b(1 0.2) a(1 0.25) b(1 0.2) 0

3、.25 化简得 b a 所以 45r ay 0.2bx -a 0.2 x , IP y - x, x N 442、一次函数问题例2：某人开汽车以 60km/h的速度从A地到150km远处的B地，在B地停留1h后， 再以50km/h的速度返回 A地，把汽车离开 A地的路x (km)表示为时间t (h)的函数， 并画出函数的图像。分析：根据路程=速度X时间，可得出路程 x和时间t得函数关系式x (t);同样，可 列出v的关系式。要注意 v是一个矢量，从 B地返回时速度为负值，重点应注意如何画 这两个函数的图像，要知道这两个函数所反映的变化关系是不一样的。解：汽车离开 A 地的距离 x km 与时间

4、t h之间的关系式是：60t,t 0,2.5x 150,t (2.5,3.5,图略。150 50(t 3.5),t (3.5,6.560,t 0,2.5)速度vkm/h与时间t h的函数关系式是：v 0,t 2.5,3.5),图略。50,t 3.5,6.5)3、二次函数问题例3:有L米长的钢材，要做成如图所示的窗架，上半部分为半圆，下半部分为六个全 等小矩形组成的矩形，试问小矩形的长、宽比为多少时，窗所通过的光线最多，并具体标出窗框面积的最大值。解：设小矩形长为 X,宽为V,则由图形条件可得：11x x 9y l9y l (11 )x要使窗所通过的光线最多,即要窗框面积最大，则:2 x s 2

5、6xy|lx (11 )x22l23(44)2l44时,l (11 )x9(229(44)L)即：xy1822此时窗框面积S有最大值Smax2l23(44)可见，一般的设自变量为 x,函数为y,并用x表示各相关量，然后根据问题已知条件， 运用已掌握的数学知识、物理知识及其它相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为数学问题，实现问题的数学化，也就是建立数学模型。二、数列模型数列模型有增长率问题和银行中的储蓄与贷款问题。在高一年级教材中就有这类数学问题，下面以一个例题来分析银行中的数学建模问题。例4:某银行设立了教育助学贷款，其中规定一年期以上贷款月均等额还本付息，如果贷款10000元，两年还清，

6、月利率为 0.4575%,那么每月应还多少钱呢？分析与假设：按照规定，偿还贷款既要偿还本金，还要支付利息。在上述问题中，到贷 款两年（即24个月）付清时，10000元贷款的本金与它的利息之和是多少呢？引导学生通 过填表来回答：10000元贷款的本金（元）与它的利 息之和1个月后2个月后3个月后.23个月后24个月后通过对例子的分析，与学生交流使学生认识到： 到期偿还贷款的含义即各月所付款连同到贷款付清时所生利息之和， 等于贷款本金及到贷款付清时的利息之和，计算每月应付款额。一一一_23 一_24x 1.004575 x 1.004575 x 10000 1.004575可以发现，上述等式是一个

7、关于x的一次方程，且等号左边括号内是一个首项为1,公比为1.004575的等比数歹U的前 24项的和，于是：.241 1,004575x 1 1,0045752410000 1.00457510000 1.00457524 (1 1.004575)1 1,00457524解之得x 440.91a元，m个月将款全部付清，月利率为 r,那么提出问题：如果采用上述分期付款方式贷款 每月付款款额的计算公式是什么？显然问题转化为建立关于 x的方程。设采用分期付款方式贷月利率为r,每月付款x元,m那么：m 2a(1 r)m x 1 rx 1 r .1 xa元，m个月将款全部付清,2x 1 r x把右边求和

8、，得a(1mr)x(1 r)m 1所以：xar(1 r)m(1 r)m一万元。1三、初等概率模型古典概率不仅要求基本实践的出现具有等可能性，而且要求样本空间为有限集， 但实际问题中却经常会碰到无限样本空间的情形，对于无限样本空间的情形，常可转化为几何概率来解决。例5:将n个球随机地放入 n个盒子中去，求每个盒子恰有一个球的概率。分析与求解：因为每一个球都可以放进 n个盒子中的任一个盒子， 共有n种不同的放法，n个球放进n个盒子就有nxnxxn=nn种不同的放法，而每种放法就是样本空间中的一个元素，所以样本空间中元素的总数为nn个。现在来求每个盒子恰有一个球时，球的不同放法的种数。第一个球可以放

9、进 n个盒子之一，有 n种放法；第二个球只能放进余下的（ n-1）个盒 子之一，有（n-1）种放法，最后一个球只可以放进唯一余下的盒子，所以 n个球放进 n个盒子中要使每个盒子中都恰有一个球，共有 n!种不同的放法，因而所求得概率为：AnP（A） o n几何概率所描述的随机试验满足：试验的样本空间是一个可度量的几何区域（这个区域可以是一维、二维甚至 n维）；试验中每个基本事件发生的可能性都一样，即样本点落入某 一个可度量的子集 A的可能性与A的几何测度成正比，而与 A的形状及位置无关。如下面 的例子含面问题”是几何概率的典型例子。例7:两位网友相约见面，约定在下午4:00到5:00之间在某一街角相会，他们约好当其中一人先到后，一定要等另一人20分钟，若另一人仍不到则离去，试问这两位朋友能相遇的概率为多少？（假定他们到达约定地点的时间是随机的，且都在约定的一小时内）解：以x、y分别表示两人到达的时刻，则两人相遇必须满足下列条件：Ix-y I <20,两人到达时刻的所有可能结果可用边长为60的正方形区域上的任意点（x, y）表示，该正方形上的所有点的集合构成了样本空间。如下图的阴影部分(满足不等式Ix-y I < 20的点的集合)表示 两人能相遇”这一事件的概率应等于图中阴影部分的面积与正方形的面积之比。