大学概率论第三章随机向量

1、长沙理工大学备课纸概率论与数理统计大学概率论第三章一一随机向 量第三章随机向量第一节二维随机向量及其分布1、二维随机向量及其分布函数定义1 :设E是一个随机试验，它的样本空间是。=忙 设X(e)与Y(e)是定义在同一 样本空间。上的两个随机变量，则称(X(e),Y(e)为。上的二维随机向量或二维随机变 量。简记为(X,Y).定义2 :设(X,Y)是二维随机向量对于任意实数x,y ,称二元函数F(x,y)=PXWx, YWy为二维随机向量(X,Y)的分布函数或联合分布函数。(X,Y)的分布函数满足如下基本性质：(l)F(x,y)是变量x,y的不减函数.(2)0AF(x,y) W1对于任意的y,

2、F(-oo, y) = 0对于任意的x, F(x, yo) = 0oo) = 0» F(+oo, -+<o) = 1(3)/(x,y)关于是右连续的，即尸(x,)，)= F(x + 0, y), F(x, y) = F(x, y + 0)(4)对于任意(X, y)和(，X <X2> % V %，有产(七，尸2)一斤(七，)'1)一尸(3，为)+ 尸(内，)'1)之。2、二维离散型随机变量定义3 :若二维随机向量(X,Y)的所有可能取值是有限对或无限可列多对，则称(X,Y) 为二维离散型随机向量。设(X,Y)的一切可能值为区/),盯=1,2,，且(X,

3、Y)取各对可能值的概率为第20页共20页2长沙理工大学备课纸概率论与数理统计P(Xi，Y) = Pp, =(1)非负性:门产。，,产12.； 规范性:=i iJ 离散型随机变量X,丫的联合分布函数为 Fy) = PX<x,Y<Y = XX y,<y 定义4:称尸 X<x,Y<Y = Pll (i, j = 1,2,)为二维离散型随机变量(X, 丫)的概率分布或分 布律，或随机变量X和丫的联合分布律。(K Y)的分布律也可用表格形式表示y2Y yl X XIpllP2jx2p21 xipil例1：从一个装有2个缸球,3个白球和4个黑球的袋中随机地取3个球，设X和Y分

4、 别表示取出的红球数和白球数，求(X,Y)的分布律，并求PX41,Y<2,PX+Y=2,及 PX=1.解:X的可能值为0,1,2 ; Y的可能值为04,2,3.(KY)的所有可能值为(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1) 由古典概率计算可得PX=0，Y = 0 = C；/C；= px=o,y = i = c；c；/c；=Px=o,y = 2 = c；c：/c； = M第3页共20页3长沙理工大学备课纸概率论与数理统计Px=o,y = 3 = c；/c；=*Px = i,y = o = c；c：/c； = 2Px = i,

5、y = i = c；c；c；/c；=px = i,y = 2 = c；c；/c； = px = 2,y = o = c；c：/c； = =px=2,y = i = c；c；/cf於是(X,Y)的分怖可用表示4/8418/8412/841/8412/8424/846/84第20页共20页153/844/84由(X,Y)的分布律，所求概率为px<i,y<2 = Px=o,y = o + Px=o,y = i+Px=i,y = o+Px = i,y = i= A + 18 + 12 + 24 = 580690584 84 84 84 84px + y = 2 = Px=o,y = 2+P

6、x = i,y = i+Px = 2,y = o福+群岛啜皿762rx = i = px = i,y = o+Px = i,y = i+Px = i,y = 2= 12 + 24+A = 42=0584 84 84 84设离散型随机变量(X,y)的分布律为Px=%y = x = py,i,j = i,2,3.则(X, y)的分布函数为尸(x, y) = P X K x, y W y = Z与xt<x3 .二维连续型随机变量定义5 :设(X,Y)为二维随机向量,(X,Y)的分布函数为F(x,y).若存在非负二元函数f(x,y),对于任意实数x,y ,有F(x, y) = J： J(则称(x

7、,y)为二维连续型随机向量 非负二元函如3,y)称为(X,y)的联合概率密度函数，简称为概率密度概率密度f(x)的性质:T x /(X, y)dxdy = 1 J X J X(3)若/)，)在*,)，)连续,则 江3 =以x, y) cxoy(4)设G为xOy平面的一区域则P(X,y)eG = JJ7(x,yWMv G在几何上? = f(x,y)表示空间的一张曲面由性质(2)知, 介于该曲面和xOy平面之间空间区域的体积为1, 由性质(4)知,P(X,y)e 0的值等于以G为底, 以曲面Z = /(x,)，)为顶的曲顶柱体的体积.例2 :设随机向量(X, 丫)的概率密度为 Ax 0<x&

8、lt; 1,0< y <x /(2)= 。其它求系数4;(2)口X > |;(3)Py >1,(4)PX < l,r < 1, 解:由概率密度的性质知1 =| J /(%,y)dxdy =£(£ Axdy)dx =y 得A = 3 设。= (x,y)lx>6,则xT = (XJ)e。, 于是尸X 咛=P(x, y) e 0 =y)dxdy = g = JJ7(x,yWMv = K y<4类似地可计算 pyj (4)P X<1,r<|=ff/U y)dxdy = ±二维均匀分布设G是平面上的有界区域，其面积

9、为S,若二维随机变量(X.,Y)的概率密度为i(Q)eGf(x.y) = A 0其它则称(X,Y)在区域G上服从均匀分布.设(X,Y)在区域G上服从均匀分布,D为G内的一区域，即Dug,且D的面积为S(D),那么P(X,r)eD) = JJ f(x, y)dxdy = j dxdy = *DD 0二维正态分布若(X,Y)的概率密度为f(x, y) = - exp- 2P (f)()F)+()蓝)，)其中一8V/4 v>0,% >0,-1<夕<1.则称(X,Y)服从二维正态分布,记9x,y)N(/z”外,b”/,p).4、n维随机变量设E是一个随机试验它的样本空间是Q.设

10、随机变量&,相,X.)是定义在同一样本 空间上的n个随机变量，则称向量(乂,2,x“)为n维随机向量或n维随机变量，简 记为(xx”.,X3设(X，".,x,j是n维随机变量，对于任意实数公和多，称n元函数 F(x,x2,.,xn) = PXl <xpX2 <x2,-sXn <xn为n维随机变量以",x”)的联合分布函数。第二节边缘分布X和Y自身的分布函数分别称为二维随机向量(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数函数,分别记为用，Fr(y)o当已知(X,Y)的联合分布函数F(x,y)时，可通过Fx (x) = PX<x = PX<x,Y&l

11、t; +s=lim PX <x,Y < y = lim F(x, y) = F(x, +oo) v+0C1FY(y) = PY < y = PX < y=lim PX < x,Y < y = lim F(x,y) = F(+qo,y) A>4-XN+«求得两个边远分布函数。例1 :设二维随机向量(X,Y)的联合分布函数为F(x, y) = A(B + arctan g)(C + arctan )试确定a 8, a勺值；(2)求x和丫的边缘分布函数；(3)求P0<X <2,0<y<3及尸X>2解：(1)由分布函数的

12、性质，知尸(*o, +S)= 48 + f)(C + 1) = 1尸(f,y) = A(B - y)(c + arctan -) = 0F(x,-qo) = A(B + arctan )(C - y) = 0 乙乙由此可解得,A = 1,8 = MC = 9 )-22(2)由定义可得Fx (x)=尸(x,)= p-(y + arctan 与)乃=/ +!arctan5/,(y) = F(+<>3, y)=(4 + arctan 3 乃=' + 工 arctan g h 232 n 3(3)由X的边缘分布函数，得PX>2) = l-PX<2) = l-Fx(2)

13、= i 可得：P0<X <2,0<r<3)=F(2,3) - F(2,0) - F(0,3) + F(0,0), 9 3 3 , 1 _ 1 16 8 8 4 161、二维离散型随机变量的边缘分布设(x,y)为二维离散型随机向量，其分布律为Px=Xj,y = x = /%," = i,2.于是有边缘分布函数Fx 0）=/（X, +03） = Z X Pij4）x和洎身分布律分别称之为（x,y）关于x和关于y的边缘分布律，关于x的边缘分布律为PX=xJ = Z%,i = l，2 /同理,（x,y）关于丫的边缘分布律为尸丫 =力 = 1>7，= 1，2 i例

14、2 ：试验EW三个结果a, 4, a2, A,满足44 =阿=力，A = A?=4 =。，P（A）= p, 0<p.< 1（/= 1,2,3）, 1 + 2 + 3=1.将试验后独立地重复次,以*,丫 分别表示次试验中4,4出现的次数，求（X；）的分布律及关于x和关于y的边缘 分布律.解：x的所有可能值为o, 1,小丫的所有可能值为o, 1,，当自 + 左2 > 时 P x = &, y=&=o当仁+网金的，由于试验的独立性小在指定的某人次试验中出现，为在另外指定的某3次试验中出现,&在其余-仁-网次试验中出现的概率为/# /V p y小=pF p&q

15、uot; - pp?严 二,考虑到在次试验中,4可在其中任意人次试验中出现，而&可在其中任意七次试验中 出现小,&总共有CCz种不同的出现顺序.而且这种不同顺序对Ue*个事 件两两互斥的，因此口 x =匕,y=& = c弋c： p" - PP2尸f所以（x, 丫）的分布律为P x =kj=k2 = c：; c葭小 P；"1PP2 严F, k,k =0,1,+k2 <n关于X的边缘分布律为一用PX=kl=XP=Y = k2趣.0Cl-pjf, 占=0,1,2 /可见X 同样可求得关于丫的边缘分布律为PY = k2 = Cf p* （1 - 2 广

16、卷，刈 = 0,1,2 ,2、二维连续型随机变量的边缘分布设（X,Y）为二维连续型随机向量，具有概率密度f（x,y）,则Fx (x)=尸(x, +s) - J_x (匚 /*，y)dy)dx从而知，X为连续型随机变量且概率密度为力（幻=粤2=匚/（内'）力同理，Y也是连续型随机变量，其概率密度为八）=* = 口".分别称小（幻/（F）为（X, 丫）关于x和关于y的边缘概率密度 例3:设二维随机向量（X,丫）在区域。=（乂 y） I y2 < a < y 上服从均匀分布,求关于X和Hl勺边缘概率密度/x（x）/（y）.（如图） 解:区域勺面积S =（炭一 x）4x

17、=上所以（x,y）的概率密度为y2 < a < y其它0<x<l其它0<y<l其它加外=-）力=/6叱6（五7） -x0加 y） = f7c = J；6力=6（6-尸） 0第三节条件分布1、二维离散型随机变量的条件分布律定义6:设(x,y)是二维离散型随机向量，对于固定的，若Py =)，/>o,则称为在y =力条件下随机变量x的条件分布律. 同样，对于固定的i,若X = % > 0,则称PX=xi>Y = y,尸【"X"=px7 , j = L2,为在x =%条件下y的条件分布律.例1 : 一射手进行射击，每次射击击中目

18、标的概率均为p(0<p<l)且假设各次击中目标与否相互独立射击迸彳用击中目标两次为止.设以X表示到第一次击中目标所需要的射击次数，以Y表示总共迸行的射击次数.试求(X,Y)的联合分布律和条件分布律.解：由题意,X二i表示第i次首次击中目标,Y刁表示第j次击中目标，因而i<j,X=i, 丫可表示第i次和第j次击中目标而其余j-2次均未击中目标.于是(X,Y)的联合分布 律为：P(X=i,Y = j) = p2q"i = 1,2,/ = i + L i + 2, , q = 1 由这一联合分布律可得关于x和关于丫的边缘分布律分别为i = L2,j = 2,3,i = 1

19、2 ，/一1PX=i)=Zp2qT = pqiJ-J+1Py = j = gp2/-2 = (j-l)p2 尸 /-对于固定的j = 2,3,在条件y = /Fx的条件分布律为2 j-2Px=iiy = /= /7一=六对于固定的i = l,2,，在条件x.下丫的条件分布律为P<Y = jlX=i = = pqi / = i + l,i + 2.2、二维连续型随机变量的条件分布定义7:定的实数y,设对于任意给定的正数£,Py-E<Y<y+E>>Of且群寸于壬意实数x,极限PX <x,y-c<Y <y + sirnPx<y-

20、3;<Y<y + e= Py-£<Y<y + £存在，则称此极限为在条件Y=y下X的条件分布函数, 记作px<巾=)'或记为尸冲(小).同样，在X=x条件下随机变量Y的条件分布函数Fyx(y 幻为 Fyx(y x)=inyPY<yx-£<X< x + 8设(X,Y)的分布函数为F(x,y),概率密度为f(xfy)0若在点(x,y)处f(x,y)连续，边缘概率密度fY(y)连续，且fY(y)>0，则有: PX <x,y-£<Y <y + £ Fvlv(x v) = h

21、m:冲 L)+Py£<Y<y + £=lim F(x,y + £)一4",)，一 £)i 弓(y + E)一4(y £)所(a)=Hm F(X)' + 幻一尸(x，y - 5)/28 =，型写(y + £)-6，(y-£)/2£ Fy(y) dy '.f(u,y)du亦即若记/(中)为条件Y=y下X的条件概率函数，则由上式知：&丫(小)=A(y)类似地在相应条件下可得在X=x条件下Y的条件概率密度为/(x,y)fxM例2 :设随机变量(X,Y)在区域D=(x,y) |

22、x2+y241±fi艮从均匀分布，求条件概率密度为，“)解：（X,Y）的概率密度为 x2 + y2 < 1/(，“) =冗0 其它且有边缘概率密度fy（y）=匚 f（x, y）dx 0其它当l<y<l时有：Mn _15 HM需H尹二k0- J1-)广 « x « J1-)广其它£特别y二0和y二彳时条件概率密度分别为加，(小=0)干0*11 /小("=2)= M o-1<x<1其它其它类似于条件概率的乘法公式，也有f, y) = fYX (y|x) fx (x) = fxly(xy) fY(y)第四节随机变的独立性

23、定义8 :设X和Y是两个随机变量，如果对于任意实数x和y ,事件X4x与Y4 y相互独立，即有P< X<x , Y<y = PX<xPY<y，则称随机变量X与Y相互独设F(x,y)为n隹随机变量(x,y)的分布函数，(x,y)关于X和关于Y的边缘分布函数分 别为FX(x) , FY(y)，则上式等价于尸(X, >>) = Fx (x)4 (y), Vx, yeR由独立性定义可证若X与Y相互独立，则对于任意实数xl<x2,yl<y2,事件 xl<X4x2与事件yl<Yy2相互独立。P(xl<X<x2 ,yl<Y&

24、lt;y2= F(x2, y2)-F(x2f yl)-F(xlf y2) + F(xlr yl)= FX(x2) FY(y2)-FX(x2) FY(yl)-FX(xl) FY(y2) + FX(xl) FY(yl)=FX(x2)-FX(xl) FY(y2)-FY(yl)=Pxl<X<x2Pyl<Y<y2所以事件x l<X<x2yl<Y<y2 是相互独立的。结论推广若X与Y独立，则对于任意一维区间11和12 ,事件Xell与YUI2 相互独立当(X,Y )为离散型或连续型随机向量时，可用它的分布律或概率密度来判别X与Y 的独立性。例1：设二维随机变

25、量(X,Y)的分布律如表所示。Y -102X-1/22/201/202/2012/201/20 2/201/24/202/20 4/20问X与Y相互独立吗？ 解:X与Y的边缘分布律分别为1/2-1/21/41/41/2-12/51/52/5逐一验证可知,pij= pi. pj （i = l,2,3,j = 1,2,3 1从而X与Y相互独立。例2:设X和Y都服从参数为1的指数分布，且相互独立，试求P(X+Y<le解：设fX(x),fY(y)分别为X和Y的概率密度，则I x>00x<0A(y)=U' y > 00y<0由于X与Y相互独立，所以(X,Y)的概率密

26、度为x > 0, y > 00 其它PX + Y<1= JJ /（内），"=".上” =2/、。.2642 于是.r+y<lJo Jo,一 第五节 两个随机变量的函数的分布1 .二维离散型随机变量的函数分布2 .二维连续型随机变量的函数分布设(X,Y)为连续型随机向量，具有概率密度f(x,y), 又Z=g(X,Y)(g(x,y)为一已知的连续函数)。大部分情况下，Z是一连续型随机变量长沙理工大学备课纸概率论与数理统计为求Z的概率密度，可先求出Z的分布函数=ff f(x,y)d"yFz(Z) = PZ<z = Pg(X.Y)<Zg

27、(x.y)<z求解过程中，关键在于将事件Z0N等价地转化为用（X,Y）表示的事件g（X,Y） <z=（X,Y）e 2，其中，=入山®g力。f（7）= "z（V）即首先找出上式右端的积分区域D：如果求得了 FZ（n）,那么可通过小,此 求 出Z的概率密度人。例1 ：设x N（0,/）,y N（0, /）,且X与Y相互独立，求z = jx" 的概率密度。解：X和Y的概率密度分别为人（幻=方>）疔，/）,（）,）= _1万由于X与Y相互独立，于是（X,Y）的概率密度为先求Z的分布函数FZ（z）%(z) = PZ <x = Py!x2 + Y2&l

28、t;z当 n<0 时 FZ(z) = O当左。时弓=尸"7F<z = Px2 + y2z2-= fl -e 2b dxdy%=PyJX2 + Y2 <z = PX2 + Y2<z22%b所以A-e7 >0五z(z)= °z<0于是可得2 =仪高2的概率密度4如果一随机变量的概率密度为上式，称该随机变量I艮从参数为s的瑞利分布。由题可 知，若X, Y独立服从同一分布 W)则z = VF7F服从参数为s的瑞利分布。(1)和的分布设(X,Y)的联合概率密度为f(x,y),现求Z=X+Y的概率密度。令2=(羽讣+)。, 则Z的分布函数为F,z(z

29、) = PZ<z = PX + Y<z = P"，y)d呦=匚仁2)狗力定n和y对积分匚"Q"作换元法，令x+y=u得'/(x,y)dx=f(u-y,y)du J-00J X-y，y)疝d) J-X V-w于是.=匚(匚/( - y，yMv)旅由概率密度定义，即得Z的概率密度为(z)= J：z-y,y)力由X与Y的对称性，又可得/z(z) = J：/(x，z-x)"x当X与Y相互独立时，有/z(z)=匚 fx(Z - y)A(yWy =匚 fx (好人(z -工)公其中/*)/()分别是x和Y的空度函数。例2 :设X , Y是相互独立

30、且分别服从参数al,b和a 2, b的G分布，即X , Y的概率密度分别为第16页共20页17长沙理工大学备课纸概率论与数理统计fxM =x<0fy(y)= <0y > 0a, > 0;夕 > 0x>0囚> 0;夕0v<0证明：X+Y服从参数为4+%»的分布证：由定义，Z=x+Y的概率宓度为/z(Z)= L fxMfy(z-x)dx当 nM 时 fZ(z) = O当N>0时,加)=；就念小篙高产-第20页共20页22令x = U1=()()户以即见):(%)(4)P幽7-灰 (% + %)综上所述，Z=X+Y的概率密度为巴Z%-”

31、 屋 K Z>0Z>0这正是参数为%十%/的分布的概率密度。(2)商的分布设(XJ)的联合概率密度为/(2，),乂2 =令，现求Z =专的概率密度Z的分布函数为G(z) = PZ<z= Jj7(x，y)dx力 【人+ f(x,y)dx(ly D>而 JJ f(x, ydxdy =/J ： /(x, y)dxdy 6-对于固定的z, y,积分匚/(X, yMN乍换元 =j(y> 0),得 C f(x,y)dx =yf(yi/，y)du J-XJ-00于是 Jj f(x, y)dxdy =匚 »()'，y)小心=匚：W(y,y)4M类似地可得:JJ/

32、U，y)dxdy = 口； yf(yu,y)dudy =y)dydu故有：匕=Jj /(x, ydxdy + JJ f(x, ydxdy=匚J； »（*，y）y - J_x W（w，y）"rW =£xj_xi y "（w，、）"）" 由概率密度定义可得z =.的概率密度为:心=J. y "（户,y）dy当x与y相互独立时有：<（z）= J： yiA（W）（yMy其中/x （%）和/； （y）分别为x和y的概率密度.例3 ：设x和y相互独立，它们的概率密度分别为/'，、尸'f2e2y >'>0fxM = n,八 />（>'）= n/八0x<00y<0求:z = 的概率密度.解:Z的概率密度为/z （z）=匚1 y