解三角形的压轴小题练习题和详细的分析解答(1)

1、解三角形的压轴小题练习题和详细的分析解答(1)1 .已知 AA8C 的内角 A、B、C 满足 sin2A + sin(A 3 + C)= sin(C A B)+ g,面 积S满足1KSW2,记。、b、c分别为A、B、C所对的边，则下列不等式一定成立的A. Zx: (Z? + c)>8C. 6<abc<2B. ab(a+b) > 16>/2D. 2<abc<242 .如图，A43C的内角A, B, C的对边分别为b, c9且满足(b + c) cos A = t/(2 - cos B - cos C), b = c ,设 AAOB = 6,OA = 2O

2、B = 4 ,则四边形3c3面积的最大值为.3.如图所示，点M, N分别在菱形A8CO的边AO, CO上,4 .已知AA5C的三个内角A, B, C的对边分别为。，b9 c9若3 = 2A, cos Acos BcosC>0,则 + 2sin A 的取值范围是.5 .设MBC的内角A, B,。的对边分别为。，b, c,给出下列命题:若 a2 +h2 <c2 » 则 C > ;若 ab > c2 > 则。；若，+。3=。3,则 C<g；若 2">m+）c,则c>m；若（/+/为方，则C<2.其中正确的是.（写出所有正确命题

3、的编号）6 .如图,0为A4BC的边AC上一点，|明=2|。|, NA8C = 60 JA却+ 2怛C|=4,当怛q取最小值时，AABC的面积为O37 .已知AA5C的内角A,8,C所对边分别为H acosC-ccosA =-h f则tan(A-C)的最大值为.8 .如图，在48c中已知2802+4" =24?2,且8c延长线上的点。足ZM = 03,则ZDAC的最大值是.解三角形的压轴小题练习题和详细的分析解答（1）B. ab（a+b） > 16>/21 .已知 AA8C 的内角 A、B、C 满足 sin2A + sin（A 3 + C）= sin（C A B）+ g,

4、面 积S满足1WSK2,记。、b、c分别为A、B、C所对的边，则下列不等式一定成立的 是（）A. bc（b + c）>SC. 6<abc<2D. 2<abc<24【答案】A【解析】【分析】由条件5血】24+ 5山（从-8 +。）= 5狂1（。-24 8）+ ,化简得出0亩4§血35血C =-,设 28AA3C的外接圆半径为A,根据1WSK2求得R的范围，然后利用不等式的性质判断即可.【详解】AA3C 的内角 A、B、C 满足 sin2A + sin（A-3 + C）= sin（C-A - 8）+ g,即 sin 2A + sin（A-B + C）+ si

5、n（A + B- C）= ,2即 sin2A + sinA-（B-C） + sin（A + B-C）= 1,即 2sinAcosA + 2sin Acos（B-C）= ；,即-2sin Acos（8 + C） + 2sin Acos（B-C） = - f2=4 sin Asin B sin C = , /. sin A sin B sin C =-即 2sinA cos（B-C）-cos（B + C）J设AABC的外接圆半径为R,则/一= /_ =_ = 2R, sin A sin B sin CS =absinC = x2/?sin Ax2/?sinBxsinC =2< R<2点

6、,.e. abc = 87?3 x sin A sin B sin C = R" e 8/6应,C、D 选项不一定正确： 对于A选项，由于b + c。，.历e + c）obcN8, A选项正确:对于 B选项，ab（a+b）abcSf 即出?（。+）8成立，但不一定成 立.故选：A.【点睛】本题考查了利用三角恒等变换思想化简、正弦定理、三角形的面积计算公式、不等式的基本 性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题.2 .如图，AABC的内角A, B, C的对边分别为“，b, *且满足(Z? + c) cos A = 6/(2-cos B-cos C), /? =

7、c，设 ZAOB = 0 (0夕 乃)，OA = 2OB = 4 ,则四边形3cB面积的最大值为.【答案】8 + 5。【解析】【分析】由S + c)cosA = a(2-cos3-cosC),由正弦定理化简可得 sinC+sin3 = 2sin A,可得b+c = 2a,又b = c,所以A43c为等边三角形，可得1/TS四边形QAC8 = S'AUB + S1ABC =-OA OB sin - AB1» 化简可得 .S四边形36=8sin|+求出6的取值范围，可得四边形。4c8面积的最大值.【详解】解：由S + c)cosA = a(2-cosb-cosC),以及正弦定理得

8、：sin B cos A+sin C cos A = 2 sin A - sin A cos B - sin A cos C ,sinBcosA+sinAcosB+sinCcosA+sin AcosC = 2sin A,sin(A + B) + sin(A + C) = 2sin A , sinC + sin B = 2sin A2+OB2-2OAOBcos0)由正弦定理得：b+c = 2a,又b = c,所以MBC为等边三角形,S 四边形 OK8 = SOB + S SBC = ； OA . 08 . sin e + f AB2 = 4sin 6 +=4 sin 6 - 4>/Jcos

9、 8 + 5>/T = 8 sinG（0,）, ：,O- 一三，三-"当且仅当8 丁 =不，即6 = -时，S四边形OAC8取326最大值8 + 5JJ.【点睛】本题主要考查三角恒等变化及正弦定理、余弦定理解三角形及三角函数的性质，考查学生的 综合计算能力，需牢记并灵活运用各定理解题，属于中档题.3.如图所示，点M , N分别在菱形A8CO的边AO, CO上，8【答案】12-6/【解析】【分析】设NA8W=e,由此表示出NAM8, /BNC，利用正弦定理求得8M, BN,再由三角形 而积公式表示BMN的面积，从而由三角函数性质求得最小值.【详解】ZB7VC = -=0+-.3

10、v62BN _ BC- sin/BNC设NABM=e,由题意可知乙也08 =2一。, 3在和aBCN中，由正弦定理，可得效= . 18siil4 sinZAMB所以BN二更让sin/BNC cos 6S = " BM - BN = 7rn故22 "能酢。se，其中。记/(e) = sin邛+| sin 20+ cos20 2(2-得最大值正+,42cos229 + sinOcos。=-此时S,8hn取得最小值，1 +cos 26 2当且仅当=5时，/（。）取-jJ = 12-6>/3 叵+L42【点睛】本题考查由正弦定理解三角形进而表示而积，还考查了利用三角函数性质求

11、最值，属于中档 题.4.已知AA8C的三个内角A, B, C的对边分别为。，b, c,若b = 2A, cosAcosBcosC>0,则 + 2sin A 的取值范围是.【答案】（4+ L2点）.【解析】【分析】 先利用二倍角公式化简8 = 2A换成边的关系，求得A的范围，根据正弦函数的单调性即 可求其取值范围.【详解】 由cosAcos3cosC>0,可知，三角形是锐角三角形,由正弦定理可知sin B = sin 2A = 2sin Acos A , .Z? = 2acosA ,可得 2 = 2cosA,+ 2sin A = 2cosA + 2sin A =A + B + C =

12、 7T i B = 2A9C , C4 冗 C 7C3A + C = tt, A = > 一, 3 3 6.e 2A< ,2(若)A + 45° e12'2 J/人 4 V? + y/b sm(4 + 45 )e J+ 2sinA = 2>/Jsin(A + 45)e(x/J+L2>/I)故答案为：（褥+L2&）【点睛】本题考查了二倍角的正弦公式、正弦定理，辅助角公式以及正弦函数的单调性，掌握相关公式与性质是解题的关键，属于基础题.5 .设AA8C的内角A, B,。的对边分别为。，b, c,给出下列命题：若力+6。2,则c3；若ab c2 则。

13、 三； 若屋+/=。3,则eV；若2曲m+）c,则c3；若加力二则Cv：.其中正确的是.（写出所有正确命题的编号）【答案】【解析】【分析】直接可以用余弦定理得出cosCvO,用余弦定理和/+之2"可求出cosC的范围,/+/。2,可得出。三，和运用基本不等式可向进行转化. 2【详解】 因为a2 +b2 <c2所以余弦定理得cosC = L" j. < 0 lab因为+ b-c- 2ab c 2ab ub所以 cosC =>>2ab2ab2ab因为3+=。3所以(b5七3=1所以1=色 c)bIcJbY即。2+Z?2>/,故C<1，故正确

14、2因为 2/7>（4 + /?）C,所以 c1 a + h所以C2 V4a2b2a2 +b2 +2ab因为。2+/之2皿，g、i 24。力,4。力一.所以L v.<=abcr +Zr + 2ab 4ab由知0<c<g,故错误因为(/+卜22a2b22a2b22ab=ab所以c2<3X，因为1+之2c活 a2+b222a+2 /所以Lr<cr +Zr由知0<C<g,故正确故答案为：【点睛】本题考查的是用余弦定理和基本不等式来判断三角形中角的范围，较难.6 .如图，。为 AABC 的边 AC 上一点，ZABC = 60 , AB + 2BC = 4

15、f当怛q取最小值时，AA3C的面积为。【答案】C【解析】【分析】 设CQ = x, BD = y, BC = m,则4£> = 2工，AB = 4-2nu 在A43c中，运用余弦定/ =-2x2 + 2/n2-/H + -33理可得9小=7?2_20? + 16,再由 NAO3 + ZWC = 4,cosNAO3 = -cosN3OC,得，代入根据二次函数的最值可求得当加=1时，y2有最小值, 从而求得此时三角形的面枳.【详解】 设 C£)= x, BD = y, BC = in,则 4£)= 2x, AB = 4-2m,/ 4.O/an- (4 2?) +

16、 广(3x)1在.AAfiC 中，zl48c = 60，/ cos ZL48C =- =2 ,/ (4一2，)2 9x2 = 7m2 - 20? +16，又,: ZADB + /BDC = 7i,cos ZADB = -cos /BDC, 4/+)，2(4一2，了 x2 + y2 -m22, , .1616/.=:，. y- = -2a- + 2nr ,2 2xy2xy332 J 7 2 20161 - 1616” ，) 4 )Sm 16，厂=-2 nr - -in + 一 + 2nr - 一？ + 一，整理得 v=厂十 一，199933999当加=1时，V有最小值，此时怛取最小值，此时8c

17、= 1, A3 = 2,177所以S = x2xlxsin60 = 小班22故选：C.【点睛】本题考查解三角形的余弦定理，二次函数的最值，三角形的而积公式，关键在于表示8。的 长，求得何时8。取得最小值，属于中档题.37 .已知AA5C的内角4,8,C所对边分别为且。cosC-ccos A =二/7,则tan(A-C)的最大值为【答案】4 4【解析】【分析】33利用正弦定理将 acosC-ccosA = -ZHtJysinAcosC-sinCcosA = -sin B .然后利用 55三角形内角和定理将3用兀-(A + C)代换，再利用两角和的正弦公式展开整理可得 2sinAcosC = 8c

18、osAsinC,再由同角三角函数关系可得tan A = 4tanC ,将其代入 tan(A-C)展开式消去tan A ,结合基本不等式即可求出tan(4 - C)的最大值.【详解】33因为 acosC-ccos A = -/7,由正弦定理得sin Acos C-sin Ceos A = - sin B ,又 8 = /r-(H + C),所以 sin A cos C-sinC cos A = - sin万 一(A + C),即 sin Acos C-sin Ceos A = -sin(A + C),所以 5sin Acos C- 5sin Ceos A = 3sin Acos C+3cos A

19、sin C ,所以 2sin AcosC = 8cosAsinC,当cosCWO或cosAKO时，等式不成立，所以A,Ce(O,三)， 2所以 tan A = 4tanC,/ 4tan A -tan C3tanC3厂tan(i4-C) =.= 所以1 + tanAtanC I + 4tan- C 1 A+ 4 tan tan C又 tan C > 0 ,所以一! + 4tan C > 2J! 4tan C =4 , tan CV tanC当且仅当一 = 4tanC,即tanC = !时，等号成立, tanC2所以tan(A C)=< + 4 tan C 4 tanC3 所以tan(4 - C)的最大值为二.43故答案为：-4【点睛】本题主要考查正弦定理，两角差的正切公式及基本不等式的应用，需要注意的是在利用基本 不等式时，要根据条件确定tanC>0.8 .如图，在a8c中已知28c2 + A"=2AC2,且8c延长线上的点。足ZM = D3,则ZDAC的最大值是.【答案】7 o【解析】【分析】 根据条件利用余弦定理写出cosZABC ,变形并结合正弦定理可得=S”