第六章无限脉冲响应数字滤波器的设计

1、第六章 无限脉冲响应数字滤波器的设计1 .1数字滤波器的基本概念1、定义数字滤波器是指输入、输出均为数字信号，通过一定运算关系改变输入信号 所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件。2 .数字滤波器与模拟滤波器比较(1)在概念上相同，只是信号的形式和实现滤波器方法不同。(2)较模拟滤波器精度高，稳定，体积小，重量轻，灵活，不要求阻抗匹配 以及实现模拟滤波器无法实现的特殊滤波器功能等优点。(3)数字滤波器处理模拟信号，用 A/DC和D/AC转换。3 .数字滤波器分类(1)经典滤波器：特点是输入信号中有用成分和滤除成分各占有不同频带。(2)现代滤波器：如维纳斯滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤

2、波器等，这些 滤波器可根据随机信号内部的一些统计分布规律，从干扰中最佳地提取信号，即使信号与干扰的频带相互重叠，则可以完成对干扰的有效滤波。4 .数字滤波器设计的一般步骤：(1)按照任务的要求，确定滤波器的性能要求。(2)用一个因果稳定的离散线性时不变系统函数去逼近这一性能。系统函数 有IIR系统函数和FIR系统函数两种。(3)利用有限精度算法来实现这个系统函数。包括选择基本运算结构，选择 合适的字长以及有效数字的处理方法。设计 选择技术指标H (Z )> 网络结构软件(或硬件)实现5 .数字滤波器分类可以分为无限脉冲响应IIR和FIR滤波器，它们的系统函数分别为：M"brZ-

3、rH(Z)= V1 v akZ 上kJN 1H(Z) i h(n)Zn =0二IIR小FIR6 .理想滤波器的幅频特性如下图图1理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性7 .数字滤波器的技术要求(1)数字滤波器(选频器)其传递函数 H(ejw)表示如下:H(ejw)=|H(ejw)|eEw)式中| H(ejw)|为幅频特性，Ww)为相频特性。(2) 一般选频滤波器的技术要求由幅频给出，相频特性不做要求。(3)实际中通带和阻带中都允许一定的误差容限，在通带与阻带之间设置 定的宽度的过渡带。(4) 图2给出了低通滤波器的幅频特性wp, ws分别为通带和阻带截止频率。0叫叫图2低通滤波器的技术要求通

4、带频率范围为OMwMWp,在通带中要求(1-6力<| H(ejw)区1,通带内允许的最大衰减用ap表示ap = 20lg 1H (dB = -20lg |H (ejwp )|dB |H(e p)|阻带频率范围为ws <w <n ,在阻带内要求|H(ejw)|W62,阻带内允许的最小衰减用as表示as =20 lj0"d|B=-20Hge (dB)1当幅度为-.2/2 时，w =wc ,此时ap =3dB ,故称wc为3dB通带截止频率。Wp、Wc和ws称为边界频率，在滤波器设计中很重要。8.设计IIR数字滤波器有以下两种方法：(1)先设计一个合适的模拟滤波器，然后变

5、换成满足预定指标的数字滤波器 (即先设计Ha(s),再转换成数字滤波器的H(Z)函数。优点是模拟滤波器设计方 法成熟。(2)计算辅助设计法，是直接在频域或者时域中进行设计，由于要联立方程, 设计时需要计算机做辅助设计。1 .2模拟滤波器的设计 1、概述(1)模拟滤波器设计方法已相当成熟，有严格的设计公式，现成的曲线和图 表供设计人员使用。(2)常用的模拟滤波器：巴特沃斯，切比雪夫，椭圆，贝塞尔滤波器等。(3)设计滤波器时，总是先设计低通滤波器，再通过低通滤波器转换成希望 类型的滤波器。2 .模拟滤波器的设计指标及逼近方法(1)设计指标：ap, %, as ft Qs 0其中Gp, Q分别为通带

6、截止频率和阻带截止频率，ap为通带C (0Gp)的最大衰减系数，as为阻带(C至Cs)最小衰减系数，用dB表示。_2= -10lg|Ha(jWp)|2as = 10lg2|Ha(j0)|22|Ha(jWs)|2= -10lg|Ha(jWs)(2)(2)逼近法在指标给定后，需要设计一个传输函数Ha(s),希望其幅度平方函数满足给定的指标ap和as。用ap, as, Cp和Cs求出滤波器的|Ha(jG)|2,那么就可得到所需的Ha(s), 这时Ha(s)必须是稳定的，因此极点必须落在 S平面的左半平面，相应Ha(-s)的 极点落在右半平面。3 .巴特沃斯低通滤波器的设计方法(1)巴特沃斯低通滤波器

7、的幅度平方函数|Ha(jC)|2如下:|Ha(j 力|2 =)2N式中N为滤波器的阶数。当建=0 时，|Ha(jC)|2=1当 Q=Q 时,|Ha(jQ)|2=1/6当建时，随G加大，幅度迅速下降，下降速度与阶次 N有关。图3低通滤波器的幅度特性(2 )将幅度平方函数|Ha(jC)写成s的函数1小儿(S ) 1"NjWc上式表明幅度平方有2N个极点，极点或用下列式子表示为j 7X- 竺)Sk =(-1)2N(j=，e 2 2N ,k =0,1,2,(2N -1)2N个极点等间隔分布在半径为 Q的圆上，间隔为n/Nrad。(3) Ha(s)Ha(-S)的极点分布特点是:极点在s平面是象

8、限对称的，分布在Q的圆上，共有2N个极点，等间隔。< 极点绝不会落在虚轴上，因而滤波器才有可能是稳定的。N为奇数时，实轴上有极点，N为偶数时，实轴上没有极点。例如：N=3时，Ha(s)Ha(-s)的极点分布如下图图4三阶巴特沃斯滤波器极点分布Ha(s)Ha(-S)在左半平面的极点即为Ha(s)的极点，因而Ha(s)='JN cNnIT (s-Sk)k=0(其中系数QN由Ha(0)=1可以求出),k =0,1，N 1为使设计统一，将所有频率归一化，采用3dB截止频率d进行归一化。Ha(S)=H式中，%sSk . c口 (二)k =0- Jc -二cj'L，c(6)令归一化频

9、率九=皇；令归一化复变量p = j九，这样归一化后的巴特沃斯传输函数为1Ha(p) =N3II (p-pk) k=0式中，pk为归一化极点，用公式表示为:1 2k 1j 二(5 N)pk = e 2, k = 0,1,.N -1(8)计算Ha(S)的步骤如下:Stepl,根据技术指标计算出阶数N ；Step2,j -(! kJ)用pk=e 2 2N求出N个极点;Step3,1再用Halp)：计算出归一化传递函数Ha(p)；IT (p-pk) k =0Step4,确定Q再去归化，即将p = j，l= s/Qc代入Ha(p)k 得到Ha(S) o求出N (由技术指标ap, Cp, as和d计算)2

10、1|Ha(jCp)|2 =- 1+(士)2N c dclap=-10lg|Ha(j7)|2由上面两式可得：1 (-)2N =10ap/10(9)同理as =-10lg |Ha(j-s)|2(10)由上面两式可得：1 （士 ）2N =10as/10,c联立（9）和（10）可得10ap/10 -110 as/10 -1105P/10- 1、/ 4105s/10. 1 ) tig上式求出的N可能是小数，应取大小等于 N的最小整数。Q的确定阻带指标有富裕量，由（9）式得：1，"p（10a/ap -1产通带指标有富裕量，则由（10）式得:1/ = iJs（10a/as -14将（8）式代入（7

11、）式得到Ha（p）的分母是p的N阶多项式，用下式表示1H a (p) Z 772n-jnb0 6pb2P.bNp p归一化系数bk,k =0,1，N 1 ,极点pk可由表6.2.1 （P157）得到，这样只要求根据设计指标求出阶数N ,查表可得Ha（p）及各极点，省去了许多运算工作。例：导出三阶巴特沃斯题通滤波器的系统函数，设Q=2rad/s。11解：幅度平万函数是 | H(j11)|2 = -=2N61 . (一)1 ( )62c s = jw,则有 Ha(s)Ha (s、-：2k 肘二"n-J)k=0)2,.5 ,前面个)(k =0,1,2),就是Ha(s)的极点,s平面左半边极

12、点1j3S3S4=2ej0 = 2S5=2 e3：r' =1j.'3,2j3 二s0 = 2 e - JSi = 2e， = -2.4j3 二 ，电=2 e = 1,5-j3 二 ,=2 e - 1Ha(S)=由s0 , 8 , s2三个极点构成的系统函数为7 = 3-2 z z(s-si)(s-s2)(s-s0) s 4s 8s 8设计模拟低通滤波器的步骤：由技术指标（ap, as, Cp和Cs）计算Q和N , 进而得到模拟低通滤波器的Ha（s）。fp=5KHZ ,通带最大衰减ap=2dB,阻带截止as =30dB按照以上技术指标设计巴特沃斯题通例6.2.1已知通带截止频率

13、频率fs =12kHZ ,阻带最小衰减 滤波器。解：（1）确定阶数N因为,10ap/10 -110as/10 -1=0.0242 ,NT",取 N=5。、r1 一,j/ 斐） 一， ，.（2）万法一（极点法）：由Pk =e 2 2N ,求出归一化极点为:j凯 中 jnj/P0 =e 5 , P1 =e 5 , P2 -e ， P3 =e 5 , P4代入下式求出归一化传输函数为 Ha(p)=-II (P - Pk)k=0上式分母可以展开形成五阶多项式，或共腕极点放在一起形成因式分解形式 方法二(查表法)：由N =5查表可得bo , bi, b2, 4, b4Ha(P)=1p5 b4p

14、4 b3p3b2p2bi pbo式中 bo=1.OOOO, 6=3.2361, b2=5.2361, 4=5.2361, b4 =3.2361将Ha(p)去归一化，先求3 dB截止频率Cc,1i】c =4(10即-17 = ：25. kra(5 岳/将p =s/Q代入Ha(p)中得到Ha(S)=s5+b4ds4+bQJ ?bQcS3+b，s+4bd5(3)巴特沃斯低通滤波器设计方法总结方法1:极点法ji(1 _k "")1 ap,as,Cp,CsT NiMUUPk =6,"2 2N ,k = 0,1,.N1Ha(P)口 (p -pk) i=01p(10°

15、.1ap -1)而jCsp =Q QJ. s .用p =代入H a ( p)去归一化 c c(s)方法2:查表法100.1ap -1ap,as,Cp,CsT N = J o.1as/lg(-)-> 查表行归,10f 11' s统函数1H a( p) 二-N7 Ndr2-p bNp dpbip bo10.1a2N4 -p(10p -1) 2NspFHa(S)例题：设计一个巴特沃斯低通滤波器，满足以下技术指标：在通带 Gp =0. 2rad/吐衰减不大于1dB ,在阻带截止频率 d = 0.3nrad /s上衰减不小 于15dB,分别用极点法和查表法求传输函数 Ha(s)。解：设计步

16、骤分三步：(1)确定技术指标ap,as,Qp,Qs,求出阶数N和3dB截止频率d4 = 0.2 r a d /,s aD =1dB p pQ=0.3nrad/s, as=15dB1 6回 - 111N =lg1d.as _ 1/ 电、 3 0.6 22 8 ,5.8869一).l g/ lg< 1 . 5)0.2 58 9取N = 6 ,得10 .a102；：4 =4(10 p -1) 2N =T =0.7032rad/s(100. -1)由通带指标求出Q进行设计，通带指标能准确满足要求，阻带指标将超过要求(2)求归一化传输函数H(p)方法一：求归一化极点pk,_v1 2k 1、 j.

17、K )-2 2N二 e,k =0,1,., N -1 (左边平面极点).9j12 &P1 =e ，,11jT2&P2 =e ,*P4 = P2 = e,11、12&* 其二12P5 = P1 =e ,P6* 一环二Po =e1H(p)二H (P-Pk) k =01(p2 0.5176 p 1)( p 2 1.4142 p 1)( p 2 1.9319 p 1)方法二：查表求H(p) , N =6H(p)p6 3.8637 p 5 7.464 p 4 9.1416 p 3 7.4641 p 23.8687 p 1(3)去归一化H(s)=H(p)| s12c一 p6 3.8

18、637 p5 7.464 p4 9.1416 p3 7.4641 p2 3.8687 P 10.1209 s6 2.717s5 3.691s4 1.8251s2 0.664s 0.12095.模拟滤波器的频率变换一一模拟高通，带通，带阻滤波器设计(1) 一般滤波器的设计方法广把技术指标转变成低通滤波器的技术指标。i按技术指标设计低通滤波器。冉将低通滤波器的传输函数换成所需类型的滤波器传输函数。(2)对符号规定 低通传输函数用G(s)表示，s=jG;归一化频率用九表示；p=j九，p 称为归一化拉氏变量。所需类型(如高通)传递函数用 H (s)表示，s= jC ;归一化频率用n表 示；令q = j

19、",并将q称为归一化拉氏变量，H (q)称为归一化传递函数。(3)低通到高通的频率变换低通和高通幅频特性如下图五与九及Hj)和G(jQ的关系1将|G(jK)|和| H(j")|对应起来看有：九=1 =为低通到高通的频率变换公式。如果已知低通G(j九)，高通Hj),则下式转换Hj)=G(jK)|、1模拟高通滤波器的设计步骤如下：确定高通技术指标：通带下限 Qp阻带上限Qs通带最大衰减ap,阻带最小衰减as0 确定相应低通滤波器的设计指标:,低通滤波器通带截止频率Cp =r)低通滤波器阻带截止频率cs =l通带最大衰减仍为ap,阻带最小衰减仍为as。设计归一化低通滤波器G (

20、p)求模拟高通的H (s)H(s) = G(p)|pw-s例6.2.3设计高通滤波器fp = 200Hz, fs =100Hz，幅度特性单调下降，fp处 最大衰减为3dB ,阻带最小衰减as=15dB。解：高通技术指标：归一化频率:fpap=2 0 Hz f,s = 100-3dB,as =15dBfp=1,fcfsfc0. 51低通技术指标:=1, sap=3dB ,as = 15dB= 2.47,取 N=3G( p)=32p 2p 2p 1(查表 N=3 R57)设计归一化低通G(p),采用巴特沃斯滤波器，故“ ：100.1ap -1、lg( 100-1)求模拟高通H(s):s3+2Qs2

21、+2&S+Cc 3 ccc式中,c =2二 fp(4)低通到带通的频率变换带通和低通滤波器的幅度特性如下图所示i附网图2带通与低通滤波器的幅度特性图中Q和Qi分别为带通滤波器的通带上限和下限频率；令B =Cu -Q称B为通定义 Q2 =QGu,si带带宽，一般用B作归一化参数(Cc)； Csi和Cs2分别称为下阻带上限和上阻带 下限频率。称C。为通带中心频率，归一化边界频率用下式表示:一 B2s2九-JJO一，-s一，-p0p- poan0nsinln0nun s20a带通和低通的幅度特性对应起来，得到 九和。的对应关系如下表l u“0222一 0n由九和刈的对应关系可得：儿=由上面公

22、式和对应关系求九p , p2s2 _2_ u 0p u=u- l =12 _2s2 - 0ns2下面推导归一化低通到带通的转换公式 由于p = j九，将其代入式得：22. 一 0P 二 j n将4 =上”代入上式，得:P=q将q = %代入上式去归一化：2s -I1'1 up = -sC"J)因此 H(s)=G(p)| s2名s(1.u, . , l模拟带通滤波器设计步骤总结确定模拟带通滤波器技术指标，即：带通上限频率Q ,带通下限频率cl ,下阻上限频率,飞B =Q -。归一化：=4u B通带最大衰减,上阻下限频率Cs2 ,通带中心频率-"si-"s2&

23、gt;- 2 * * s-Z- , s2 = -Z- 0BBap,阻带最小衰减as。C。2 =QCu ,通带宽度确定归一化低通指标2 _2s2 - 0儿 二ss2例6.2.4设计模拟带通滤波器，通带带宽B =2nx200rad/s ,中心频率Qq =2n x1000rad /s,通带内最大衰减ap=3dB ,阻带 Qs1 =2n x830rad /s,Q2 =2n xl200rad /s ,阻带最小衰减 as =15dB。解：模拟带通滤波器的指标要求：d =2兀刈 0 d s ap =3dBCs1 =2n 8 3r0a d /s Cs2 = 2n >d200rad / s , as=15

24、dBB =2二200ad /,s ° = 5,= 4.15, s2 = 6模拟归一化低通滤波器技术要求:1.2 _2s2 - 0 -1.833s22 _ 2s1 一 ° -1.874s1取九=1.833, ap =3dB , as =15dB设计模拟归一化低通滤波器 G(p),采用巴特沃斯型，有0.1ap卜,041kz1=0.18, %=广=1.8331 10 I ,pN - -lgsp =2.83 lg sp取N=3,查表6.2.1,得G( p)=p3 2 p2 2p 1求模拟带通H(s)H(s) =G(p)| 产2 M p?T)-q3 3 6 - 9 Dq5 /qr i

25、 2 9 R2 A Q423q3s B s 2 Bs (3- * °2 B ) s (4° B B ) s(3,°4- 2 1°2B 2s 22pBs -°'-6(5)低通到带阻的频率变换1)、低通与带阻滤波器的频率变换图3低通与带阻滤波器的幅频特性图中：A为下通带截止频率； Q为上通带截止频率； Qsi为阻带下限频率 Q2为阻带上限频率；。为阻带中心频率；B为阻带宽度B=Cu-Q ,作为归一 化参考频率。相应的归一化频率为、=%,、=%，、i =% ， %，2)将低通和带阻滤波器对应起来，得出 狗和九的对应关系，如下表-OQ一工00%

26、&8琳如%+ oc0根据“和人的对应关系，可得:nA =s 2 _2si 0且，T =1® =1 , (I)式称为低通到带阻的频率变换公式。3)将(1)式代入p = j九，并去归一化，可得sBs(马)P s2，b2 s 2 1则归一化低通转换成带阻的频率变换公式为H(s) =G(p)| 工工204)下面总结设计带阻滤波器的步骤：确定模拟带阻滤波器的技术要求下通带截止频率Q ;上通带截止频率Q ;阻带下限频率Gw ;阻带上限频率2Q2；阻带中心频率 d =QCu ；阻带宽度B=Q Cl ;它们相应的归一化频率为：uJR，“I*/%，21=w通带最大衰减ap和阻带最小衰减as确定

27、归一化模拟低通技术要求取心和-%的绝对值较小的几。通带最大衰减为ap,阻带最小衰减as。 设计归一化模拟低通G(p)。按照H(s) =G(p)| sb直接将G(p)转换成带阻滤波器H (s) p s2。G(p)=1p2 2p 1例6.2.5设计模拟带阻滤波器，其基本要求：Ql =2冗x905rad / s,Q1 =2冗 x980rad / s, Cs2 =2n x1020rad / s, , Cu = 2n >d105rad / s,ap =3dB,as =25dB ,试设计巴特沃斯带阻滤波器。解：模拟带阻滤波器的设计要求：0 2 9 0r5a d /s,，2 二 1105rad /s,

28、.匕=2二 9 8r0ad /s2 =2二 1 02(ad s ,i02 -liu =4二2 1000025rad /s,B =(4 "l =2二 2 00 =C% = 5.525, '=% =4.525, % =C% = 4.9 ,工2 =夏% =5.1 , =1,% = s2 - 0 =5.05,% = s1 - 0 =-4.95,取 h =4.95 , pssss2s1ap =3dB,as =25dB设计归一化低通滤波器G(p)为1lg( 100 & 一 >N=_UU=1.8,故取N=2,查表可得,除、lg( 一),p2 ="u =25归一化低通

29、滤波器的技术指标：2222带阻滤波器的H(s)为H(s) =G(p)s4_2-02s2_£044 . 3 2 2 2 2 / . 4s 一 2Bs (B 2I10 )s、2BI10 '106.3用脉冲响应不变法设计IIR数字滤波器1、利用AF理论和设计方法设计IIR数字滤波器的常用过程(1)按技术要求设计模拟滤波器 Ha(S)o(2)再将Ha(S)T H(z)数字滤波器的传输函数。2、完成s平面到z平面的转换，转换优劣主要从两方面考察(1)稳定性H(z)应保持H(s)的因果稳定性，即s平面的左半平面应该映射到z平面的单 位圆内。(2)逼近程度S平面的虚轴应映射到z平面的单位圆

30、上；模拟角频率建和数字角频率w之 问成线性关系，w=CT。X(jC) = Cx(t)e,Cdt”=w - :1TX(ejw) = £ x(n)e4wnn=joO3、从Ha(s)转换成H(z)方法工程上常用脉冲响应不变法和双线性不变法。4、脉冲响应不变法(1)转换原理Ha(s) 拉氏逆变埒(t)h(t)时域采样 ha( n F h Z变换一 H (z)(2)转换过程1) Ha(s)只有单极点设Ha(s)只有单极点，分母和分子多项式分别是N阶和M阶(N>M),则Ha(s)可分解成N个部分分式之和.N AHa(s)= (1)id s-s(式中si为Ha(s)的单阶极点。对Ha(s)进

31、行拉氏变换得ha(t)Nha(t) =' AeO(t)(2)i W对ha(t)进行等间隔T采样得h(n)Nh(n) =ha(nT) ='、AeTu(nT)i 1对(3)式进行z变换NH(z)='、i 1比较(1)和(4)式，Ha(s)的极点s映射到z平面，其极点变成e'T ,系数Ai不变2)若Ha(s)含有高阶极点若Ha(s)有高阶极点，则需按以下流程一步一步进行设计:Ha(s) > ha (t)> h (nT)>H( z1sST-A1 -ei zN A前面单阶Ha(s) ='、, -Ai ：1 二:-j1 1 - si(3) s平面与

32、z平面之间的关系jw;-T ji Tre = e - e =fjwI z = re-sT -=z = e =cr=0Tr=1： s虚轴对应z平面单位圆上 « <r<0Tr<1： s虚轴左半边对应z平面单位圆内 一仃>07>1： s虚轴右半边对应z平面单位圆外(4)注意到z=esT是一个周期函数，可写成z=esT=e：TejiT=e：Tej(M)TM为任意整数，即esT是以二为周期。T当。不变 模拟频率复变化一的整数倍时，映射值不变。即将 S平面沿TjC轴分割成一条条宽为 干的水平带。每条水平带都映射到整个 z平面。此时，Ha(s)所在的s平面与H(z)所

33、在z平面关系如下图所示。(5)混叠现象 ha(t)是h(t)的采样信号，两者LT变换关系如下：.?、 12Ha(s)= £ Ha ( s js，) Cs =2n fs =Tk = 二T2-即H?a(s)是以"为周期，沿着虚轴对Ha(s)进行周期延拓而成。如果原模拟信号ha(t)的频带不是限于士%之间，则会在士%的奇数倍 附近产生频率混叠，映射到z平面在w = ±n附近产生混叠。脉冲响应不变法的频率混叠现象如下图图5脉冲响应不变法的频率混叠现象克服混叠现象的方法：在实际上的频响不可能真正带限，只要在折叠 %以上频响衰减加快，即锐截止，用此方法设计的数字滤波器仍能较好

34、地满足 要求。此方法，适合于低通和带通滤波器设计，不适合高通，带阻滤波器设计。(6)优缺点优点：频率坐标变换是线性，w = CT,若不考虑频率混叠现象，用这种方法 i 设计的数字滤波器会很好地重现模拟滤波器的频率特性。数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应。缺点：会有频率混叠现象，适合低、带通，不适合高、带阻通滤波器。3s 2例题：Ha(s)=3s,试用脉冲响应不变法设计IIR的H(z),设T=0.52s2 3s 1解：将Ha(s)展开成部分分式3s 2Ha=2s2 3s 13s 2(2 s 1)(s 1)2s 1其中3s 2A=(2s 1)| 1二1(2s 1)(s 1)s

35、=2A 3s 2,A -(s 1) |s -j -1(2 s 1)(s 1)因止匕Ha(S)=+2s 1 s 10 . 5s 0.5 s 1Ha(S)有两个极点，s1 =-0.5, s2 =-1,映射 z 平面，极点 Z1 =es1T =e_0.5TZ2 = es2T = e，则 H (z)为0.5H(z) 1 - e z_0.5一 _0.5T_11 -e z1re2Tp11-ez将T=0.5代入上式得、0.5H二10.5 11 -e z1.5-1.082z4 Z Z 221 -1.385z0.472 z6.4用双线性变换法IIR数字低通滤波器 1、引入脉冲响应不变法的主要缺点是产生频率混叠现

36、象。 产生原因：模拟低通的最 高频率超过折叠频率 %，在数字化后产生了频率混叠，再通过标准映射z = esT, 结果在w =n附近形成频率混叠现象。2、克服上述缺点的办法采样非线性频率压缩方法，将整个频域轴上的频率范围压到-,-之间,T T再用z=esT变换到z平面上，克服了频率混叠现象。2,1.、'Ttan(2iT)S1 = y.'1Ha(s)二二=-Ha(St)二二-H(z)zL可T3、Ha(S)T Ha(Si)(1)设Ha(s),S = jC ,经过非线性频率压缩后，用 Ha(Si), S, = jCl表示，这 时用下列正切变换实现频率压缩2111 =-tan(21T)其

37、中T为采样间隔。当Q从-%经过0变化到，时，Q从血经0变化到Z ,实现了 s平面 上整个虚轴完全压缩到、平面上虚轴的土%之间的转换。(2)将(1)式两端同时乘以j得因此:2 . j,T j1 _Sin 1T2_14cos1T2_ 2 1 -e1T"T 1 e 印_2 1-e1Ts -T 1 e61T2-s称式(3)为双线性变换其映射情况如下图评面j旧RtU)叫-中早Jl平面 中(4)Ha(Si) > H(z)再通过z=e平将Ha(s)从s平面映射到z平面上的H(z)得:2 1 -zJs = j T 1 z因此:2s zTs平面映射到Si平面，再从Si平面映射到z平面,图5双线性

38、变换的映射关系说明：由于从s平面到、平面具有非线性频率的压缩功能，因此不可能产生混叠 现象，这就是双线性变换法比较脉冲响应不变法的最大优点。 G平面映射到z平面，用zue'T, s平面上的土%之间水平带的左半部 分映射到z平面单位圆内部，虚轴映射单位圆。Ha(s)因果稳定二H(z)也是因果稳定(5)模拟频率C与数字频率w的关系2 1 -z，一 jws =1 _ w 2 Jsin2T wcos2令s = jQ，z=e ,并代入 T 1 + z得:j w-j-wjw o c2 c 2,2 1 e 2 eejl = -=jw = " jj-T 1 e T 2w-2we1因此：1 =

39、 -tan-wT 2 e 2说明：一 21 C=tan-w说明s平面上的C模拟频率与z平面上的数字频率成非线性T 2正切关系，如图5所示。 与0的非线性关系是双线性变换法的缺点，影响数字滤波器频响逼真 地模仿模拟滤波器的频响。 非线性影响实质：如果 建的刻度是均匀的，则映射到z平面上w的刻度 不是均匀的，而是随 w增加愈来愈密。 幅频与相频失真情况，如 P76图6.4.3所示。图5双线性变换法的频率变换关系2 1-7,(6)双线性变换可由s = 4L三将Ha(s)直接变换成H(z),这是该万法的T 1 z优点。但当阶次较高时，将H(z)整理也不是件容易事为简化设计，已将模拟滤波器各系统经双线性

40、变换法得到的数字滤波器各系数之间关系，列成表格供设计使用，P177表6.4.1Ha(s)=AAsAS2AkSk2kBoBsB.BksH(z) =Ha(s)| 21 一s 牛 rz1- 2- kao aza2z. akz 1 bz' b2z'bkz*式中：Ak,Bk和ak,bk之间的关系如表6.4.1所示，在已经Ak,Bk时，通过查表获得ak , bk的值，从而得到H(z)0例6.4.1试分析用脉冲响应不变法和双线性不变法将下图所示RC低通滤波器转换成数字滤波器。解：写出传输函数1HaR a2zsc1 Rc令 a=Rc，则 Ha(s)=1Rc s a 利用脉冲响应不变法转换成数字

41、滤波器，其传输函数H1(z)为H1=1e z利用双线性变换转换成数字滤波器，其传输函数H2(z)为H2(z) =Ha(S)| 2 3其中ai =aTaT -2,a2二aT 2 aT 2s7rz1a(1 z')(7)利用模拟滤波器设计IIR数字低通滤波器的步骤：确定数字低通滤波器的技术指标：通带截止频率Wp,通带衰减ap,阻带截止频率ws ,阻带衰减as。 将数字低通指标转换成模拟低通指标，主要对边界频率Wp和Ws的转换,对ap和as不作变化。/A.采用脉冲响应不变法，边界频率的转变关系为：C=w/TLb.采用双线性变换法，边界频率的转变关系为：C=2tan1wT 2按照模拟低通滤波器的

42、技术指标设计模拟低通滤波器。 将模拟滤波器Ha(s)从s平面转换到z平面，得到数字低通滤波器 系统函数H (z)例6.4.2设计低通数字滤波器，要求在通带内频率低于 0.2nrad时，容许幅 度误差在1dB以内，在频率0.3n到冗之间的阻带衰减大于15dB。指定模拟滤波 器采用巴特沃斯低通滤波器。试分别用脉冲响应不变法和双线性变换法设计滤波 器。解:(1)用脉冲响应不变法设计数字低通滤波器数字低通的技术指标为：Wp -0.2rad a,p = dBWs =0.3二 rad ,as =15dB模拟低通的技术指标为:T =1s, jp = 0.2二 rad / s, ap = 1dB, '

43、 = 0.3二 rad /s, as = 15dB 设计巴特沃斯低通滤波器，先计算 N和3dB截止频率CcN 二一lgkp100.1ap -101a ' =099210 -11g sp i】s 0.3 二'-sp = C C =1.5，ksp-p 0.2 二ppK1 lg 0.092 ，N = =5.884lg1.5取N=60.1a jc = jp(101-1产= 0.7032rad /s根据阶数N=6,查表6.2.1得到归一化传输函数为:Ha(p) 一(1 3.8637 p 7.4641 p2 9.1416p 3 7.4641p 4 3.863p 5 p )6Ha(s) =0

44、.1209将p = %C代入Ha( p)中去归一化，得到实际的传输函数H a (s) (0.1209 0.121s 1.825s2 3.179s33.691s4 2.716s5 s6) 用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成H(z)。先对Ha(s)进行部分分式, 并按照 印3式6.3.11, 6.3.12得至IJ:H(z)=0.2871 -0.4466zJ_ 一 . _12.1428 1.1454z 1.8558-0.6304z JZ 22. ' J T . 1-Z21 -0.1297z0.6949 z 1 -1.0691z0.3699z1 -0.9972z 0.2570Z(2)用双线性变换设计数字滤波器同模拟低通指标:2,1 丁 ,tan- w,T =1T 2'Jp =2tan0.1 星=0.65rad /s,a0 =1dBp p/ =2tan0.15二=1.019rad/s,as =15dB设计巴特沃斯低通，阶数 N计算sp=F =1.568,ksp =0.092 pN=lgksp=lg01092 = 5.306lg 卯 lg1.568取N=6 ,为求d,将Q , Cp代入10.1a_ -VT7% ”s(10 s -1) 2N =0.7662rad /s这样阻