第4节整函数与亚纯函数

1、 Department of Mathematics第四节第四节 整函数与亚纯函数整函数与亚纯函数一一 整函数的概念及其分类整函数的概念及其分类0( ),0(5.14)nnnf zc zz 1 整函数 在整个z平面上解析的函数.( ),0,0,f zzzLaurentzTaylor 显然每一个整函数都以为唯一孤立奇点故它在无穷远点的去心邻域内展式就是它在原点邻域内的展式 即可设2 定理5.10( ),f z若为整函数 则(1)( )zf z 为的可去奇点(2)( )zf zm 为的 阶极点01( ),(0);mmmf zcc zc zc即(3)( )zf z 为的本质奇点此时f(z)称为超越整

2、函数.( ( )f zz 在的主要部分有无穷多项正幂不等于零).( ( )f zz 在的主要部分为零,即无正幂)1( ( ),0);mmmf zzc zc zc 在的主要部分为1,nnc zc z0( );f zc常数( ),f zm是一个 次多项式(5.14).展开式有无限项0( )f zc0(5.14)z zzezcos,sin,都是超越整函数.注1z 整函数按唯一奇点的不同类型而被分成三类.注2定理5.10(1)与刘维尔定理一致.二二 亚纯函数的概念及其与有理函数的关系亚纯函数的概念及其与有理函数的关系1 定义5.6 在z平面上除极点外无其它类型奇点的单值解析函数,称为亚纯函数.整函数更

3、一般函数族( )1zef zz如为亚纯函数.2 定理5.11( ):( ).f zf zz一函数为有理函数的充要条件是在扩充 平面上除极点外没有其它类型的奇点证明“ 必 要性”设有理函数( )( ),( )P zf zQ z( )( ),.P zQ zzmn其中与分别为 的 次与 次多项式 且彼此互质则(1),( );mnzf zmn 当时必为的阶极点(2),( )mnzf z 当时必为的可去奇点,只要置( )( )lim,( ).( )zP zfzf zQ z 就是的解析点(3)( )( ).Q zf z的零点必为的极点“ 充 分性”( )f zz若在 平面除极点外无其它类型的奇点,则这些极

4、点的个数只能是有限个, 若不然,这些极点在( ),zf z扩充 平面上的聚点就是的非孤立奇点矛盾.12( ),;kf zzz zz令在 平面上的极点为12,;k 其阶为则函数11( )() ()( ),kkg zzzzzf z,z 至多以为极点而在z平面解析;( )(),g z故必为多项式 或常数( ).f z从而为有理函数注亚纯函数可表成两个整函数的商,也可表成部分分式.3 定义5.7非有理函数的亚纯函数称为超越亚纯函数.例11( ).1zf ze考察函数的类型解1( ),zef z 的零点为的奇点( )(21)(0, 1,);kf zzkik 故的奇点为极点(1)0,zzee因为( );k

5、zf z故 为的一阶极点,kz 因为( ),f z故 是的非孤立奇点( ).f z即为超越亚纯函数例2223( )sin, ( )21.f zz g zzzz 考察函数的类型解2( )sin,f zzz因为在 平面上解析( );f z故为整函数21sin(1 cos2 )2zz而12121( 1)2(0)(2 )!nnnnzzn 在点 的主要部分有无限项,;所以 是它的本质奇点2sin即z为超越整函数.23( )210,g zzzzzz 因为在 平面仅以为极点( )g z所以为亚纯函数,( )g z且在扩充z平面上以 为二阶极点,( ) z故g为有理函数.例3( )f z试证是单叶整函数的充要

6、条件是( )(0).f zazba证明“ 充 分性”由于函数( )wf zazb及其反函数11( )()zfwwba都是单值函数,( )(0).f zazba所以为单叶整函数“ 必 要性”( )f z设为单叶整函数,( )f z则可分为三类,(1)( ),f zc常数这与假设相矛盾.01(2)( ),(0)nnf zcc zc zz ,z 它的惟一奇点是本质奇点由Picard定理,0,AAA 对每个除掉可能一个值外, ,()(1,2,),nnzf zA n必有趋于 的无限点列使这与函数的单叶性假设相矛盾.(3)( ),f z 为一多项式01( ),nnf zcc zc z,A 对每个由代数学基本定理,( ),f zAn有且仅有 个根( ),f z由的单叶性1,n 故必有011( )