第三册第二章第23节数列、函数的极限理

1、第三册第二章第2-3节数列、函 数的极限（理）课程信息年 级fWj二学 科数学 （理）版 本人教版（理）内容 标题高三新课：数列、函数的极限（理）编稿 老师刘震【本讲教育信息】一.教学内容：高三新课：数列、函数的极限二.本周教学重、难点:1 .数列极限（1）定义（2）运算法则如果nim anlim (an na,nim bnb)bn) lim an lim bnnn那么2) lim (an bn) lim annna lim anannalim-nbnlimbnbnlim bn a b nlim (c an)clim an c ann（c为常数）（3）几个常用的极限“mc 0 (c为常数)1

2、clim()p 0 n(P 0)k(3) lim -k (kN*a,b,c, d R 日,c 0)n cn d c ' nimqn 0 (q| 1)2.函数的极限(1)当x 时，f(x)的极限(2)当xX0时，f(x)的极限(3)运算法则如果 lim f(x) a,limg(x) b 那么 X X0x Xo lim f(x) g(x) a bx Xo lim f(x) g(x) a bx Xo lim*2X2 £(b 0) x xo g(x)b【典型例题】例1考察下面的数列，写出它们的极限。(1)1 111,一，二,8 27n36.5,6.95,6.995,(3)1 12,4

3、,解:(1) ；的项随n的增大而减少，但大于0,且 n当n无限地增大时，工无限地趋于0,因此lim0。 nn n(2)数列7 的项随n的增大而增大，但小 于7,且当n无限地增大时，7卷无限地趋近于7, 因此数列7焉的极限为7。(3)数歹U 士的项正负交错，随n增大其绝对值减少但不等于0,当n无限地增大时，一无限(2)地趋于0。因此数列1#的极限为0。例2已知niman 2, “mbn 3。求下列极限。(1) lim(3an 2bn)； n lim；0n-7on 2an bn解：(1) lim (3an 2bn) 3lim an 2 lim bn 3 2 2 3 12 nnn/ 、 a b li

4、m an lim bn2 3 lim an bn n2 35n 2an bn 2lim an lim bn 2 2 3nn例3求下列数列的极限。(1)limn2n2 3n 1 .4n2 2nlim( . n2 nmnn)(3)lim (n12 n32 n52 n2n 12- n解:(1)limn2n24n23n2nlim(2 nlim (41T) n_ 4) nlim 2nlim 4nmn(3)lim (n1n23n2lim 一n4lim 3n nlimnlim- limn)5n21-2 n 彳-2 n1-2 n T -2 nlimnmnn2 mn2n 1)n2例4求啊31 %(a 3)的值。

5、n 3 a解:当a 3时，原式当|a 3时，原式当|a 3时，原式limn3n 3n nim 3n 13n 1limnn1 (2n 1)(-)n 1lim -an 33(3)n aa2n2limn1一, a所以原式0,a 313, a例5已知数列an前n项之和Sn 1 kan ( k为不是1 的常数)(1 )用n,k表示an ；(2)若JmSn 1,求k的取值范围。解：(1) Snan 1kan k 1'Sn 1 kan , 同样有 Sn 1 1 kan 1Snk(an 1 an)即 an1 kan 1 kanJ an为等比数列，公比为占k 1项由a1 1 ka1 ,得到a1即为a占的

6、等比数列k 1(2)要求lim Sn11 k 11人k 1例 6 (1)设 f(x),1.x(2)，x 0x2 ,x求 lim f(x)xlim f(x)及 lim f (x) xxlim f(x) lim 2x 0 xx解：lim f (x) lim (1)x 0xx 2 lim f(x) lim f (x) 0.二 lim f(x) 0xxx(2)设f(x)及x 0 ,问他)是否存在x 1,x 0, x 0解：xim f(x) xim 4 °，xim f(x) xin0(x 1) 1xin0 f(x) limi f(x),Qm0f(x)不存在例 7求!imcW F7)解:2lim

7、 ( . x 1 x 1) lim xx1 x2 ,x21)( , x21 , x2 1)1limx例8已知函数f(x)3x 2,x 0x2 1,0 x 1)2-,x 1 x试讨论f (x)在-2lim f (x) lim (x 1) 1x 0x 0x 0,x 1处的极限。解：如 f(x)如(3x 2) 2lim f (x)x 0lim f (x)x 0所以f(x)在x 0处的极限不存在2. lim f (x) lim (x 1) 2lim f (x) lim2x 1x 1x 1x 1 xlim f (x) lim f (x) x 1x 1所以)f(x)在x 1处有极限且lxm1f (x) 2

8、。例9已知f(x) -(x 0),讨论f(x)在x 0和x 1时的 x '极限。解：.xlim 1x 0 x(1 )当 x 0 时 lim -lim x1x 0 xx 0 xx lim 一 x 0 xx lim 一 x 0 xx 0时)f(x)的极限不存x xlim lim -1x 1 xx 1 x(2)当 x 1 时，lim® lim 1'',x 1 x x 1 x.x.xdlim一lim一1x 1xx 1x例10已知则111,求a,b的值x a bx a b用牛. lim2 limx 1 x 1 x 1 (x 1)(x 1)(. x a b)2由于当x1时

9、，(x仅：1ahm的极限存在分子、分母必有公因式(x 1)a b21x a b1lim 2lim15 a16x 1 x 1 (x 1)(. x a b)a b211(1 1)( 1 a b)【模拟试题】（答题时间：30分钟）一.选择题：1 .下列数列中不存在极限的是（）A.二B. 2nnC. （2）nD. 6 ：2.下列数列中有极限的是（）卓3（ 1）. 05ncos n-吟2nA.B.C. D.3.若如（六）n 0,则（）A. x 2B. x2 且 x0C. x -2D. x 14.对无穷数列有下面四个命题：an 一定有极限； 若an为等差数列，那么an有极限的充要条 件是它的公差d 0;

10、若an为等比数列，那么公比q 1时，an有 极限； 若an为递增数列，那么an一定没有极限以上命题中正确的个数是（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 45.叫 x （）.0 D.不存在C. i D. 2）1 D.不存在。的极限是（）D.不存在A. 1 B. 16. xim xx21(A.不存在7. lim (Jx 4 vx 1)xA. 08.设 f (x)B. 21 x2 3xexB. 1C.0 0 -A. 1 B. 3C. 0二.解答题：1 .已知等比数列xn的公比为q ,且有 lim （臼qn） J,求首项为的取值范围。n 1 q 22.写出下列函数的极限:(1 ) Jim (1g 3)x(2)lim (1n 3)x 13.设函数f(x)ax2 bx c是一个偶函数,且lm1f(x)0,Jm2 f (x)3,求出这一函数的最大值。，、你热美生命吗？邺么别浪费时间，因为时间是蛆成生V命硼!£-富兰克林,1【试题答案】1. C2. A3. A4. B5. B6.7. A8. D1.解：由limn（言q i或q iXii q。或 0xiii q 2由得。XiXi由得xi 3综上所述,0 xi 2 或3为所求。2.解:(1)limX