立体几何中的有关证明

1、数学高考综合能力题选讲15立体几何中的有关证明题型预测立体几何中的证明往往与计算结合在一起考查。三垂线定理及其逆定理是重点考查的内 容。范例选讲例1.已知斜三棱柱 ABC-A'B'C'的底面是 直角三角形，/ C=90° ,侧棱与底面所成的角 为a (00 <a<90° ) , B'在底面上的射影D落 在BC上。(1)求证：AC，面 BB'C'C。(2)当a为何值时，AB'BC',且使得D 恰为BC的中点。讲解：(1) BD，面 ABC, AC 面 ABC, B'DAC,又 ACBC, BC

2、AB'D=D,. .AC，面 BB'C'C。(2)由三垂线定理知道：要使 ABBC',需且只需AB'在面BB'C'C内的 射影B'CBC'。即四边形BB'C'C为菱形。此时，BC=BB'。因为B,DXW ABC,所以，B'BD就是侧棱B'B与底面ABC所成的角。由D恰好落在BC上，且为BC的中点，所以，止匕时 B'BD = 60 。即当a =60时，AB'BC',且使得D恰为BC的中点。例2.如图：已知四棱锥P ABCD中，底面四边形为正方形，侧面PDC为正三

3、角 形,且平面PDC，底面ABCD , E为PC中 点。(1)求证：平面EDBL平面PBC(2)求二面角B DE C的平面角的 正切值。讲解：(1)要证两个平面互相垂直， 常规的想法是：证明其中一个平面过另一个 平面的一条垂线。首先观察图中已有的直线，不难发现，由于侧面 PDC为正三角形，所以，DE PC,那么我们自然想到：是否有DE 面PBC ?这样的想法一经产生，证 明它并不是一件困难的事情。面PDCL底面ABCD,交线为DC,DE在平面ABCD内的射影就是DC。在正方形ABCD中，DCLCB，.DEL CB又 PC BC CPC, BC 面PBC .DEEL 面PBC 。又DE 面EDB

4、平面EDB，平面PBC(2)由(1)的证明可知：DEL面PBC。所以， BEC就是二面角B DE C 的平面角。面PDCL底面ABCD,交线为DC,又平面ABCD内的直线CB±DC。 .CBL面 PDC。又PC 面PDC,.CBL PG,.BC在 Rt ECB 中，tan BEC BC 2。CE点评：求二面角的平面角，实际上是找到棱的一个垂面，事实上，这个垂面 同时垂直于二面角的两个半平面。例3.如图：在四棱锥S ABCD中，SAL平面ABCD , / BADADC ,2AB AD 2a, CD a, E 为 SB 的中点。(1)求证：CE/平面SAD;(2)当点E到平面SCD的距离

5、为多少时，平面SBC与平面SAD所成的二面 角为45 ?讲解：题目中涉及到平面SBC与平面SAD所成的二面角，所以，应作出这两CE/平面SAD ,应该设法证 (中位线)的性质，不难发现,个平面的交线(即二面角的棱)。另一方面，要证 明CE平行于面SAD内的一条直线，充分利用中点 刚刚做出的二面角的棱正好符合要求。平面 ABCD,所以，AB SA。又 AB AF,(1)延长BC、AD交于点F。在 FAB 中，/ BAD ADC , 2所以，AB、CD都与AF垂直，所以，CD/AB ,所以， CDF s BAF。又AB 2a, CD a ,所以，点 D、C 分 别为线段AF、BF的中点。又因为E为

6、SB的中点，所以，EC 为SBC的中位线，所以，EC/SF。又EC 面SAD, SF 面SAD,所以，CE平面SAD。(2)因为：SAL平面 ABCD ,ABAF SA A,所以，AB 面 SAF。过A作AH SF于H,连BH,则BH SF,所以,BHA就是平面SBC与平面SAD所成的二面角的平面角。在Rt BHA中，要使BHA = 45 ,需且只需 AH=AB= 2adEDBi的一半，即2点评：探索性的问题，有些采用先猜后证的方法，有些则是将问题进行等价 转化，在转化的过程中不断探求结论。高考真题1. （2002年北京高考）如图：在多面体 ABCD AiBiCiDi中，上、下底面平行且均为矩

7、形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等， 侧棱延长后相交于E、F两点，上下底面矩形的长、宽分别为 c、d与a、b,且a c,b d ,两底面间的距离为h o此时，在 SAF中,4a22 一SA2 4a 2a，所以，SA4. 3a3-SF AHSA AF在三棱锥S-ACD中,设点A到面SCD的距离为h,SAAD SA AD2因为AB/DC,所以，AB面SCD。所以，点A、B到面SCD的距离相等。 又因为E为SB中点，所以，点E到平面SCD的距离就等于点B到面SCD距离SDSA2 AD2.i4 a4AD DC SAS ACD SA 2 SA h= S SCDSD CD(i)求侧面ABBiAi与底面ABCD所成二面角的大小;I .证明 ADL DiF ;C(2)证明：EF 面ABCD（3）在估测该多面体的体积时，经常E.F运用近似公式V估S中截面h来计算。已知试判断V估与V的大小关系，并加以证DABV二S上底面4s中截面Sr底面。6A i -CbcDiCiABa（注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面）CiAi2.（i997年全国高考）如图，在正方体ABCD ABQQ）中,E,F 分别是 BBi,CD 的中Di-oFBiH