第五部分不定积分和定积分教学ppt课件

1、第五章不定积分和定积分积分学积分学不定积分不定积分定积分定积分 第二节 定积分一、定积分的概念1、定积分问题举例、定积分问题举例2、 定积分的定义定积分的定义3、 定积分的性质定积分的性质机动 目录 上页 下页 前往 终了 第六章 1 1、定积分问题举例、定积分问题举例1. 曲边梯形的面积曲边梯形的面积设曲边梯形是由延续曲线)0)()(xfxfy，轴及x以及两直线bxax,所围成 , 求其面积 A .?A机动 目录 上页 下页 前往 终了 )(xfy 矩形面积ahhaahb梯形面积)(2bah1xix1ixxabyo处理步骤处理步骤 :1) 大化小大化小.在区间 a , b 中恣意插入 n 1

2、 个分点bxxxxxann1210,1iiixx用直线ixx 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;2) 常代变常代变.在第i 个窄曲边梯形上任取作以,1iixx为底 ,)(if为高的小矩形, 并以此小梯形面积近似替代相应窄曲边梯形面积,iA得)()(1iiiiiixxxxfA),2, 1,nii机动 目录 上页 下页 前往 终了 3) 近似和近似和.niiAA1niiixf1)(4) 取极限取极限. 令, max1inix那么曲边梯形面积niiAA10limniiixf10)(lim机动 目录 上页 下页 前往 终了 xabyo1xix1ixi2. 变速直线运动的路程变速直线运动的路程设某物体作

3、直线运动, ,)(21TTCtvv且,0)(tv求在运动时间内物体所经过的路程 s.处理步骤处理步骤:1) 大化小大化小., ,1iiitt任取将它分成, ),2, 1(,1nittii在每个小段上物体经2) 常代变常代变.,)(代替变速以iv得iiitvs)(,1,21个分点中任意插入在nTT),2, 1(nisi), 2, 1(ni知速度机动 目录 上页 下页 前往 终了 n 个小段过的路程为3) 近似和近似和.iniitvs1)(4) 取极限取极限 .iniitvs10)(lim)max(1init上述两个问题的共性: 处理问题的方法步骤一样 :“大化小 , 常代变 , 近似和 , 取极

4、限 所求量极限构造式一样: 特殊乘积和式的极限机动 目录 上页 下页 前往 终了 abxo2、定积分定义、定积分定义 ,)(上定义在设函数baxf的若对,ba任一种分法,210bxxxxan,1iiixxx令任取, ,1iiixxi时只要0max1inixiniixf1)(总趋于确定的极限 I , 那么称此极限 I 为函数)(xf在区间,ba上的定积分,1xix1ixbaxxfd)(即baxxfd)(iniixf10)(lim此时称 f ( x ) 在 a , b 上可积 .记作机动 目录 上页 下页 前往 终了 baxxfd)(iniixf10)(lim积分上限积分下限被积函数被积表达式积分

5、变量积分和称为积分区间,ba定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分变量用什么字母表示无关 , 即baxxfd)(battfd)(bauufd)(机动 目录 上页 下页 前往 终了 定积分的几何意义定积分的几何意义:Axxfxfbad)(,0)(曲边梯形面积baxxfxfd)(,0)(曲边梯形面积的负值abyx1A2A3A4A5A54321d)(AAAAAxxfba各部分面积的代数和A机动 目录 上页 下页 前往 终了 o1 xyni定理定理1.上连续在函数,)(baxf.,)(可积在baxf定理定理2.,)(上有界在函数baxf且只需有限个延续点 可积的充分条件可积的充分条件:(证明略

6、)例例1. 利用定义计算定积分利用定义计算定积分.d102xx解解: 将 0,1 n 等分, 分点为niix ), 1 ,0(ninix1,nii取),2, 1(ni机动 目录 上页 下页 前往 终了 .,)(可积在baxf2xy iiiixxf2)(则32nio1 xyniiinixf)(1niin1231) 12)(1(6113nnnn)12)(11 (61nniniixxx120102limdnlim31)12)(11 (61nn2xy 注 目录 上页 下页 前往 终了 注注 利用利用,133) 1(233nnnn得133) 1(233nnnn1) 1( 3) 1( 3) 1(233nn

7、nn1131312233两端分别相加, 得1) 1(3n)21 ( 3nn即nnn3323nii12332) 1( nnnnii1261) 12)(1(nnn)21 ( 3222n121lim)2(ppppnnnnnipn1lim1nixxpd10iix例例2. 用定积分表示以下极限用定积分表示以下极限:ninnin111lim) 1 (121lim)2(ppppnnn解解:ninnin111lim) 1 (nninin11lim1iixxxd110机动 目录 上页 下页 前往 终了 x01ni 1ni阐明阐明:机动 目录 上页 下页 前往 终了 , ,)(baCxf设,d)(存在则baxxf

8、根据定积分定义可得如下近似计算方法:), 1 ,0(nixiaxi,nabx), 1 ,0()(niyxfii记baxxfd)(. 1xyxyxyn110)(110nnabyyy将 a , b 分成 n 等份: abxoyix1ix(左矩形公式)(21nnabyyy(右矩形公式)baxxfd)(. 2xyxyxyn21baxxfd)(. 3xyyii211)()(21110nnyyyynab(梯形公式)11ni为了提高精度, 还可建立更好的求积公式, 例如辛普森机动 目录 上页 下页 前往 终了 abxoyix1ix公式, 复化求积公式等, 并有现成的数学软件可供调用.3、定积分的性质、定积分

9、的性质(设所列定积分都存在)abbaxxfxxfd)(d)(. 10d)(aaxxfbaxd. 2xxfkxxfkbabad)(d)(. 3( k 为常数)bababaxxgxxfxxgxfd)(d)(d)()(. 4证证:iiinixgf)()(lim10左端iiniiinixgxf)(lim)(lim1010= 右端ab机动 目录 上页 下页 前往 终了 bccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)(. 5证证: 当当bca时,因)(xf在,ba上可积 ,所以在分割区间时, 可以永远取 c 为分点 , 于是,)(baiixf,)(caiixf,)(bciixfabc0令baxxfd)(c

10、axxfd)(bcxxfd)(机动 目录 上页 下页 前往 终了 abc当 a , b , c 的相对位置恣意时, 例如,cba那么有caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(机动 目录 上页 下页 前往 终了 6. 假设在假设在 a , b 上上0)(1iinixf那么.0d)(xxfba证证:,0)(xfbaxxfd)(0)(lim10iinixf推论推论1. 假设在假设在 a , b 上上, )()(xgxf那么xxfbad)(xxgbad)(机动 目录 上页 下页 前往 终了 推论推论2.xxfbad

11、)(xxfbad)(证证:)( xf)(xf)(xf)(ba xxfxxfxxfbababad)(d)(d)(即xxfxxfbabad)(d)(7. 设设, )(min, )(max,xfmxfMbaba那么)(d)()(abMxxfabmba)(ba 机动 目录 上页 下页 前往 终了 例例3. 试证试证:.2dsin120 xxx证证: 设设)(xf,sinxx那么在),0(2上 , 有)(xf2sincosxxxx)tan(xx2cosxx0)0()()(fxff2即2, 1)(xf), 0(x2故xxxfxd1d)(d2220002即2dsin120 xxx机动 目录 上页 下页 前往

12、 终了 8. 积分中值定理积分中值定理, ,)(baCxf若那么至少存在一点, ,ba使)(d)(abfxxfba证证: :,)(Mmbaxf别为上的最小值与最大值分在设那么由性质7 可得Mxxfabmbad)(1根据闭区间上延续函数介值定理,上至少存在一在,ba, ,ba点使xxfabfbad)(1)(因此定理成立.性质7 目录 上页 下页 前往 终了 oxbay)(xfy 阐明阐明:.都成立或baba 可把)(d)(fabxxfba.,)(上的平均值在理解为baxf故它是有限个数的平均值概念的推行.机动 目录 上页 下页 前往 终了 积分中值定理对abxxfbad)(因nabfabniin)(lim11)(1lim1niinfn例例4. 计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自在落体的平均速度. 解解: 知自在落体速度为知自在落体速度为tgv 故所求平均速度v2211TgT2TgTttg0d01T机动 目录 上页 下页 前往 终了 otgv vTt221TgS 内容小结内容小结1. 定积分的定义 乘积和式的极限2. 定积分的性质3. 积分中值定理机动 目录 上页 下页 前往 终了 矩形公式 梯形公式延续函数在区间上的平均值公式近似计算01xn1n2nn 1思索与练习思索与练习1. 用定积分表示下述极限 :nnnnnIn) 1(sin2sinsin1lim解解:1