用二分法求方程近似解经典例题及答案

1、例1:利用计算器，求方程x2 2x 1 0的一个近似解（精确到0.1）.【解】设f（x） x2先画出函数图象的简图（如右图所示）因为f（2）1 0, f（3）所以在区间（2,3）内,方程x2-2tx 1 0有一解，记为分析：分别画函数lg x 和 y 3 x的图象，在两个函点的横坐标就是方数图象的交点处，函数值相等.因此，这个程lg x 3 x的解.由函数y lg x与x1.取2与3的平均数2.5,因为f(2.5) 0,25 0, 所以 2 4 2.5.再取2与2.5的平均数2.25,因为f (2.25)0.4375 0,所以 2,25 x1 2.5.如此继续下去，得f(2) 0, f(3)

2、0x1(2,3)f(2) 0, f(2,5)0x1 (2,2,5)f(2.25) 0, f (2,5)0x1 (2.25,2.5) f (2.375) 0, f (2,5) 0x1(2.375,2.5)f (2.375) 0, f (2.4375) 0 x1 (2.375, 2.4375),因为 2.375与 2.4375精确到 0.1 的近似值都为2.4 ,所以此方程的近似解为x12.4.利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解点评：第一步确定零点所在的大致区间（a, b）,可利用函数性质，也可借助计算机或计算器,但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1的区间；

3、建议列表样式如下：零点所在 区间区间中点函数值区间长度2,3f(2.5) 012,2,5f (2.25) 00.52.25,2.5f (2.375) 00.252,375,2,5f (2.4375) 00.125如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一步.例2：利用计算器，求方程lgx 3 x的近似解（精确到 0.1）.y 3 x的图象可以发现，方程lgx 3 x有惟一解，记为人,并且这个解在区间(2,3)内.【解】设f(x)lgx x 3,利用计算器计算得f(2) 0, f(3) 0x1(2,3) f (2.5) 0, f (3) 0x1(2.5,3)f(2.5)

4、0, f (2.75) 0x1 (2.5,2.75) f(2.5) 0, f (2.625) 0x1 (2.5,2.625)f (2.5625) 0, f (2.625) 0x1 (2.5625,2.625)因为2.5625与2.625精确到0.1的近似值都为2.6,所以此方程的近似解为为 2.6.思考：发现计算的结果约稳定在2.58717.这实际上是求方程近似解的另一种方法一一迭代法.除了二分法、迭代法，求方程近似解的方法还有牛顿切线法、弦切法等.例3：利用计算器，求方程 2x x 4的近似解(精确到0.1).【解】方程2x可以化为2x分别画函数y与y 4 x的图象，由图象可以知道，方程2x

5、 x 4的解在区间(1,2)内，那么对于区间(1,2),利用二分法就可以求得它的近似解为 x 1.4.追踪训练一'1.设x0是方程lnx x 4的解，则x°所在的区间为(B)A. (3,4)C. (1,2)2.估算方程5x2 7xB. (2,3)D. (0,1)1 0的正根所在的区间是A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)0的负根所在的区间是(1，一一、23 .计算器求得方程 5x 7x 1A. ( 1, 0)B.2,C.2.5, 2 D.3, 2.54.利用计算器，求下列方程的近似解(精确到0.1) lg2x x 1(2)3x x 4答案：(1)

6、0.8(2) x13.9, x2 1.6一、含字母系数的二次函数问题例4：二次函数f(x) px2 qx r中实数p、q、r满足 0,其中m 2mlmm 0 ,求证：(1) pf(S)0);m 1(2)方程f(x) 0在(0,1)内恒有解.分析：本题的巧妙之处在于，第一小题提供了有益的依据:上是区间(0,1)内的数，且m、 pf() m 1 【解】(1) pf(T m 10,这就启发我们把区间(0,1)划分为(0m 1-)和(m 1m、2PP(m1)/ m q(m1) rpmpm2(m 1)pmpm(m 1)22上 p2mm(m 2)2 (m 1) m 2(m 1) (m 2)2p m 2 (

7、m 1)2(m 2)由于f(x)是二次函数，故p 0,又m 0,所以，pf(L) 0. m 1由题意，得f (0) r, f(1) p q r .当p 0时，由(1)知f() 0m 1若 r 0,则 f(0) 0,又 f(上一)0, m 1所以f(x)在(0 ,3一)内有解.m 1若 r 0,则 f(1) p q r p (m 1)(p- ) r p- 0,又 f (上一)0,所以 f (x) 0在(上一，1)内 m 2 m m 2 mm 1m 1有解.当p 0时同理可证.点评：(1)题目点明是“二次函数”，这就暗示着二次项系数 p 0 .若将题中的“二次”两个字去掉，所证结论相应更改.(2)对字母p、r分类时先对哪个分类是有一定讲究的，本题的证明中，先对 p分类，然 后对r分类显然是比较好.追踪训练-x 1 0在(0,1)内恰有一则实数a的取值范围是(B )一 、一21,若方程2ax2r 1、A. -,)B. (1,)8r 1 )、C. (,1)D. -.1)82.方程x2 2x 2k 1 0的两个根分别在区间(0,1)和(1,2)内，则k的取值范围是1 k 1;23 .已知函数f(x) 2mx 4,在2,1上存在x°,使f(x0) 0,则实数m的取值范围是m 1或 m2.34 .已知函数f x x x试求函数y f x的零