微积分基本定理第2课时

1、 微积分基本定理(2) 回顾回顾 一一: : 定积分的基本性质定积分的基本性质 kf(x)dx? ?k性质性质1. 1. ab? ?b? ?baf(x)dxbb? ?f(x)dx? ?g(x)dx f(x)? ?g(x)dx性质性质2. 2. ? ?a? ?a? ?a性质性质3. 3. ? ?f(x)dx? ? ?f(x)dx? ? ?f(x)dxaacbcb二、牛顿莱布尼茨公式 定理定理 （微积分基本定理）（微积分基本定理） 如果如果f(x)f(x)是区间是区间a,ba,b上的连续函数上的连续函数, , 并且并且F F (x)=f(x),(x)=f(x),则则 bba?baf(x)dx?F(

2、b)?F(a)或或?f(x)dx?F(x)|?F(b)?F(a)a(F(x)叫做f(x)的原函数,f(x)就是F(x)的导函数)f(x)dx=蝌abbaF(x)dx=F(x)|ba基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式1. 若若f(x)=cf(x)=c，则，则f(x)=0f(x)=02. 若若f(x)=xf(x)=x ，则，则f(x)=nxf(x)=nx n n n-1n-1 (n?R)3. 若若f(x)=sinxf(x)=sinx，则，则f(x)=cosxf(x)=cosx4. 若若f(x)=cosxf(x)=cosx，则，则f(x)=-sinxf(x)=-sinx5. 若若f(x)=

3、af(x)=a ，则，则f(x)=af(x)=a lna6. 若若f(x)=ef(x)=e ，则，则f(x)=ef(x)=e x x x xx x x x1 17. 若若f(x)=logf(x)=loga ax x，则，则f(x)=f(x)=xlnaxlna1 1 8. 若若f(x)=lnxf(x)=lnx，则，则f(x)=f(x)=x x定积分公式定积分公式 bb1)(cx) =c?cdx=cx|aab1nnnnb2)x=nx?x dx=x|aan+ 1bb3)(sinx) = cosx?cosxdx= sinx|aabb4)(cosx) = - sinx?sinxdx=- cosx|aa1

4、1b5)(lnx) =?dx=ln|x|axxbxbxxx6)(e) =e?e dx=e|aaxbabxxx7)(a) =alna?a dx=|aalna- 1+1ba?baf(x)dx?F(x)|?F(b)?F(a)?2 2ba例例 1 1计算计算 x3(1)?(1-(1- 2sin2sin)dxdx0 02(2)(2)?5 5?-5-5?332sinsin 5xdx2 2?12? ln631?x(3)?dx2x2(4)?(2xlnx?x)dx124ln 2例2：计算1）?120 x1?x2dx 2 ） e?11?2xdx(1) 根据微积分基本定理计算定积分，关键是由被积函数这一函数，求出原

5、函数，然后计算原函数在积分区间上的增量即可 (2) 如果被积函数较复杂，则要先化简再求解 求分段函数的定积分求分段函数的定积分 ? ? ? ? ?sin x? ?0 x? ? ? ? ?2? ? ? ? ? ? ?例例 3 3、已知函数已知函数f(x)? ? ? ?1? ?2x2? ?，? ? ? ? ? ?x1? ?2x4? ?， 求?f(x)dx04例例4:计算计算 解解 ?20?2x,0?x?1f(x)dx,其中其中 f(x)?5,1?x?212? ?20f( x)dx? ? ?2xdx? ? ?5dx? ? x01210? ? 5x1? ? 62Y=5 1 2 求分段函数的定积分时，可

6、利用积分性质将其表示为几段定积分和的形式，若函数解析式中含有绝对值，应根据绝对值的意义找到分界点，去掉绝对值符号，化为分段函数后再求积分 2|x? 3x? 2 |dx的值的值 练习：利用微积分基本定理计算练习：利用微积分基本定理计算 ?03116已知函数的定积分求参数已知函数的定积分求参数 f(x)?3(at?bt? 1)dt例5、已知?（x ?axa?b)dx? 2a? 6且练习：已知函数为奇函?0-11数，且f(1)-f(-1)= ,求a，b的值。 t3331x2f(t) ?0(x?ax? 3a?b)dx为偶函数，求a，b。求与定积分有关的参数问题，通常利用函数的性质与微积分基本定理转化为

7、方程求解 题型四、微积分基本定理的简单应用题型四、微积分基本定理的简单应用 例6、1：求直线y=2x+3与抛物2线y=x所围成的图形的面积。 2：求由曲线 y ?x,y? 2 ?x,y? 围成的图形的面积。1?x3思维点击思维点击 先画出图形，求交点确定积分上、下先画出图形，求交点确定积分上、下限及被积函数，求面积限及被积函数，求面积 1计算由曲线计算由曲线yx21，直线，直线xy3以及两坐标以及两坐标轴所围成的图形的面积轴所围成的图形的面积 2.求由曲线求由曲线yx2，yx，及，及y2 x所围成的平面图所围成的平面图形的面积形的面积 我来试一试我来试一试 1 、求下列函数的定积分： ?(1)

8、?3(sinx?six2x)dx01?4(2)?cos(x?3?6)dx014? 2ln 2(3)?(2?12204x1x)dx(4)?|x? 1 |dx2? ?lg x x0，? ?a2(2011陕西卷陕西卷)设设f(x)? ?2? ?x3 tdt，x0，? ?0 若若f(f(1)1，则，则a_. 解析：解析： 当x1时，f(1) lg 1 0 ， 当x0 时，f(0) 0 t3|a3 3若f(f(1) 1 ，即a 1 a1. 答案：答案： 1 3(2012高考山东卷高考山东卷)设设a0，若曲线若曲线yx与直与直线线xa，y0所围成封闭图形的面积为所围成封闭图形的面积为a，则，则a_. 2解

9、析：解析： 由已知得由已知得a ， 2?aS?02 3? ?2 3? ?axdx3x 2? ?0 a 3 2? ? 124所以所以a ，所以，所以a . 2394答案：答案： 9 4.(2012高考福建卷高考福建卷)如图所示，如图所示，在边长为在边长为1的正方形的正方形OABC中任中任取一点取一点P，则点，则点P恰好取自阴影恰好取自阴影部分的概率为部分的概率为( ) 1A. 41C. 61B. 51D. 7解析：解析： ?1阴影部分的面积为阴影部分的面积为?0( xx)dx ? ?2 3? ?12? ?1? ? 1? ? 3x 2 2x? ? ?0 ， 6? ? ? ? 阴影部分的面积阴影部分

10、的面积1故所求的概率故所求的概率P ， 6正方形正方形OABC的面积的面积故选故选C. 答案：答案： C 5(2012年高考上海卷年高考上海卷)已知函数已知函数yf(x)的图像是的图像是折线段折线段ABC，其中，其中? ? ?A(0,0)、B? ? ? ? ?1? ?，5? ?、C(1,0)函函2? ?数数yxf(x)(0 x1)的图像与的图像与x轴围成的图形的面轴围成的图形的面积为积为_ 解析：解析： 写出函数解析式，再利用定积分求曲写出函数解析式，再利用定积分求曲边边 形形 的的 面面 积积 由由 题题 意意 可可 得得? ?1? ?10 x，0 x ? ?2? ?1? ?1010 x， x1? ? ?2f(x) ， ? ?12? ?10 x ，0 x ? ?2所以所以yxf(x)? ?1? ?21