第三章空间力系

1、第三章第三章空空 间间 力力 系系空间汇交（共点）力系空间汇交（共点）力系空间力偶系空间力偶系空间任意力系空间任意力系空间平行力系空间平行力系空间力系：空间力系：空间力系的分类空间力系的分类直接投影法：直接投影法：若已知力若已知力F F与三个直角坐标轴与三个直角坐标轴x x，y y，z z之间的夹角之间的夹角，则可将力，则可将力F F直接进行投影直接进行投影1 1、力在直角坐标轴上的投影、力在直角坐标轴上的投影cosFFx31 空间汇交力系空间汇交力系cosyFFcoszFFsinxyFFsin cosxFFsin sinyFFcoszFF间接（二次）投影法：间接（二次）投影法：若已知力若已知

2、力F F和坐标轴之间的方和坐标轴之间的方位角位角和和，则可将，则可将F F投影到投影到oxyoxy平面，再投影到平面，再投影到x x，y y轴上。轴上。例例3-13-1 已知：已知：nF、求：力求：力 在三个坐标轴上的投影。在三个坐标轴上的投影。nFsinnzFFcosnxyFFsincossinnxyxFFFcoscoscosnxyyFFF2 2、空间汇交力系的合力与平衡条件、空间汇交力系的合力与平衡条件123RniFFFFFFRxxiFFRyyiFFRzziFF合矢量（力）投影定合矢量（力）投影定理理空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的

3、作用线通过汇交点。用线通过汇交点。 合力的大小合力的大小222()()()RxiyiziFFFFcos(, ),xiRRFFiF方向余弦方向余弦cos(, ),yiRRFFjFcos(, )ziRRFF kFRRxRyRzFF iFjF k空间汇交力系平衡的充分必要条件是：空间汇交力系平衡的充分必要条件是：0 xiF 0yiF 0ziF 称为称为空间汇交力系的平衡方程空间汇交力系的平衡方程0RF该力系的合力等于零，即该力系的合力等于零，即此三方程是独立方程，因此可以解三个未知量。此三方程是独立方程，因此可以解三个未知量。例例3-23-2如图所示，已知：如图所示，已知： 物重物重P=P=10kN

4、10kN，CE=EB=DECE=EB=DE；CB=DBCB=DB030求：杆受力及绳拉力求：杆受力及绳拉力解：画受力图如图，解：画受力图如图，列平衡方程列平衡方程0 xF045sin45sin21FF0yF030cos45cos30cos45cos30sin21FFFA0zF030cos30sin45cos30sin45cos21PFFFA结果：结果：kN54. 321 FFkN66. 8AF1 1、 力对点的矩以矢量表示力对点的矩以矢量表示 力矩矢力矩矢32 32 力对点的矩和力对轴的矩力对点的矩和力对轴的矩(3) (3) 作用面：力矩作用面，也作用面：力矩作用面，也即力矢和矩心形成的平面。

5、即力矢和矩心形成的平面。(2) (2) 方向方向: :转动方向转动方向(1(1）大小）大小: :力力F F与力臂的乘积与力臂的乘积对于平面力系，用代数量表示力对点的矩足以概括它对于平面力系，用代数量表示力对点的矩足以概括它的全部要素。但是对于空间力系，需要考虑三个要素的全部要素。但是对于空间力系，需要考虑三个要素这三个要素可以用力矩矢来描述这三个要素可以用力矩矢来描述即使力矩的大小相等，作用面即使力矩的大小相等，作用面不同，作用效果也完全不同。不同，作用效果也完全不同。32 32 力对点的矩和力对轴的矩力对点的矩和力对轴的矩力矩矢的方位和力矩的作用力矩矢的方位和力矩的作用面的法向重合，力矩矢的

6、指面的法向重合，力矩矢的指向按右手螺旋定则来确定。向按右手螺旋定则来确定。右手螺旋定则右手螺旋定则：O力力 对点对点O O的矩用力矩矢的矩用力矩矢 来表示来表示F( )OM F力矩矢的模力矩矢的模( )2OOABM FF hA四指旋握的方向为力矩的转四指旋握的方向为力矩的转动方向，拇指的指向即为力动方向，拇指的指向即为力矩矢的指向。矩矢的指向。32 32 力对点的矩和力对轴的矩力对点的矩和力对轴的矩上式为力对点的矩的矢积表上式为力对点的矩的矢积表达式，即：力对点的矩矢等达式，即：力对点的矩矢等于矩心到该力作用点的矢径于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积。与该力的矢量积。O( )OM Fr F

7、 因此因此用用 表示力的作用点表示力的作用点A A的矢径，则的矢径，则r12OABAr F力对点力对点O O的矩的矩 在三个坐标轴上的投影为在三个坐标轴上的投影为( )OMFxyzFF iF jF krxiyjzk又又( )() ()OxyzMFrFxiyjzkFiF jFk 则则zyxFFFzyxkji()()()zyxzyxyFzF izFxFjxFyF kxyzoyFxFFM )(zxyoxFzFFM )(yzxozFyFFM )(力矩矢的大小和方向都和矩心的位置有关，故力矩矢的始端力矩矢的大小和方向都和矩心的位置有关，故力矩矢的始端必须在矩心，不可任意挪动，这种矢量称为定位矢量。必须在

8、矩心，不可任意挪动，这种矢量称为定位矢量。2.2.力对轴的矩力对轴的矩力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效果的度量，是一力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效果的度量，是一个代数量，其绝对值等于该力在垂直于该轴的平面上个代数量，其绝对值等于该力在垂直于该轴的平面上的投影对于这个平面与该轴的交点的矩。的投影对于这个平面与该轴的交点的矩。工程中有些刚体绕定轴转动。为了度量力对绕定轴转工程中有些刚体绕定轴转动。为了度量力对绕定轴转动的刚体的作用效果，需要动的刚体的作用效果，需要力对轴的矩力对轴的矩的概念。的概念。力对轴的矩的正负号这样确定：从力对轴的矩的正负号这样确定：从z z轴正端来看，若轴正端来看，若力的

9、投影使物体绕该轴逆时针转动，则取正号，反之力的投影使物体绕该轴逆时针转动，则取正号，反之取负号。取负号。也可用右手螺旋定则确定其正负号：四指旋握方向为也可用右手螺旋定则确定其正负号：四指旋握方向为力矩方向，若拇指指向与力矩方向，若拇指指向与z z轴正向相同，则为正，反轴正向相同，则为正，反之为负。之为负。2.2.力对轴的矩力对轴的矩力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴的矩为零。力对该轴的矩为零。( )()zoxyxyM FM FFh例例3-33-3：已知：已知：, alF求：求： FMFMFMzyx,co sxyzyzMFFdFla

10、co syzxzxMFFdF l sinzxyxyMFFdFla 把力把力 投影到投影到xy，yz，zx平面，有平面，有Fsin , cos , xyyzzxFFFFFF根据定义根据定义, ,得：得：解：直接从定义求解解：直接从定义求解( )()()()xxxxyxzM FM FM FM FzyyF zF 3 3、 力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系 已知：力已知：力 , ,力力 在三根轴上的分力在三根轴上的分力 ， ， ，力，力 作作用点的坐标用点的坐标 x, y, zFxFyFzFFFF求：力求：力 对对 x, y, z 轴的矩轴的矩0yzF zF y

11、 0 xzxzF zF xzFxF ( )()()()zzxzyzzMFMFMFMF0 xyyxF y F xxFyF ( )( )ozyxxMFyFzFMF ( )( )oxzyyMFzFxFMF ( )( )oyxzzMFxFyFMF 得得即：即：力对点的矩矢在过该点的某轴上的投影，等于力对点的矩矢在过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。力对该轴的矩。()()()()yyxyyyzMFMFMFMF例例3-4 3-4 从解析表达式求从解析表达式求已知：已知：, alF求：求： FMFMFMzyx,co sxzyMFyFzFFla co syxzMFzFxFF l sinzyxMFxFyFF

12、l 解：把力解：把力 分解如图分解如图Fcos , 0 ,sinFFFFFzyxD, y=, z=0lla力的作用点 的坐标为：x=带入公式带入公式, ,得：得：33 33 空间力偶空间力偶1 1、力偶矩以矢量表示、力偶矩以矢量表示 力偶矩矢力偶矩矢空间力偶对刚体的作用效应空间力偶对刚体的作用效应, ,可以用可以用力偶矩矢力偶矩矢来度量来度量. .即用力偶中的两个力对空间某点之矩的矢量和来度量。即用力偶中的两个力对空间某点之矩的矢量和来度量。( ,)( )()oooABMF FMFMFrFrF ( ,)()oABBAMF FrrFrF FF因因可见，力偶矩矢和矩心无关。可见，力偶矩矢和矩心无关

13、。BAMrF力偶矩矢力偶矩矢空间力偶矩的三要素空间力偶矩的三要素（1 1） 大小：力与力偶臂的乘积大小：力与力偶臂的乘积（3 3） 矢量的指向与力偶的转向的关系服从右手螺旋法则矢量的指向与力偶的转向的关系服从右手螺旋法则（2 2） 方位：力偶矩的方位与力偶作用面相垂直方位：力偶矩的方位与力偶作用面相垂直2ABCMFdA2 2、力偶的性质、力偶的性质（2 2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变。改变而改变。(1(1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 。（3 3）只要保持力偶矩不变，力偶可在

14、其作用面内）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变。臂的长短，对刚体的作用效果不变。(,)RRBARM FFrF 12()BArFF12BABArFrF111(,)BArFM F F=111),(FrFFMBA(4)(4)只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体的移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不变。作用效果不变。211FFF332FFF=(5)(5)力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡。力

15、偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡。定位矢量（定位矢量（矢量始端不能任意挪动矢量始端不能任意挪动）力偶矩矢相等的力偶等效力偶矩矢相等的力偶等效力偶矩矢是自由矢量力偶矩矢是自由矢量自由矢量（自由矢量（无需确定矢量的初端位置无需确定矢量的初端位置）3 3力偶系的合成与平衡条件力偶系的合成与平衡条件111222,.,nnnMrF MrFMrF=RiFFiMM有有M为合力偶矩矢，等于各分为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和。力偶矩矢的矢量和。如同右图如同右图空间力偶系平衡的充分必要条件是空间力偶系平衡的充分必要条件是 : :合力偶矩矢等合力偶矩矢等于零，即于零，即 0M 222()()()ixiyiz

16、MMMM合力偶矩矢的大小和方向余弦合力偶矩矢的大小和方向余弦,xixyiyzizMMMMMM称为空间力偶系的平衡方程。此三方程为独立方程，称为空间力偶系的平衡方程。此三方程为独立方程，可以解三个未知量。可以解三个未知量。000 xyzMMM简写为简写为有有MMixcosMMiycosMMizcos0ixM0iyM0izM例例3-53-5, ,x y z,xyzMMM求：工件所受合力偶矩在求：工件所受合力偶矩在 轴上的投影轴上的投影 。已知：在工件四个面上同时钻已知：在工件四个面上同时钻5 5个孔，每个孔所受个孔，每个孔所受切削力偶矩均为切削力偶矩均为8080N Nm。解：把力偶用力解：把力偶用

17、力偶矩矢表示，平偶矩矢表示，平行移到点行移到点A A 。mN1 .19345cos45cos543MMMMMixxmN802MMMiyymN1 .19345cos45cos541MMMMMizz列列力偶平衡方程力偶平衡方程圆盘面圆盘面O1垂直于垂直于z轴，轴，求求: :轴承轴承A,BA,B处的约束力。处的约束力。例例3-63-6已知：已知：F F1 1=3N=3N，F F2 2=5N=5N，构件自重不计。构件自重不计。两盘面上作用有力偶，两盘面上作用有力偶，圆盘面圆盘面O2垂直于垂直于x轴，轴，AB AB =800mm,=800mm,两圆盘半径均为两圆盘半径均为200200mmmm，解：取整体

18、，受力图如图解：取整体，受力图如图b b所示。所示。解得解得由力偶系平衡方程由力偶系平衡方程0 xM08004002mmmmAzFF0zM08004001mmmmAxFFN5 . 1BxAxFFN5 . 2BzAzFF34 34 空间任意力系向一点的简化空间任意力系向一点的简化主矢和主主矢和主矩矩1 1 空间任意力系向一点的简化空间任意力系向一点的简化其中，各其中，各 ，各，各iiFF( )ioiMM F空间汇交力系与空间力偶系等效代替一空间任意力系。空间汇交力系与空间力偶系等效代替一空间任意力系。RiixiyixFFF iF jF k 空间力系的主矩空间力系的主矩()oioiMMMF( )(

19、 )( )oxyzMMF iMF jMF k空间力系的主矢空间力系的主矢空间力偶系的合力偶矩矢空间力偶系的合力偶矩矢由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有( ),( ),( )xyzMFMFMFxyz对对 ， ， 轴的矩。轴的矩。式中，分量式中，分量 分别表示各力分别表示各力空间汇交力系的合力空间汇交力系的合力有效推进力有效推进力RxF飞机向前飞行飞机向前飞行RyF有效升力有效升力飞机上升飞机上升RzF侧向力侧向力飞机侧移飞机侧移OxM滚转力矩滚转力矩飞机绕飞机绕x x轴滚转轴滚转OyM偏航力矩偏航力矩飞机转弯飞机转弯OzM俯仰力矩俯仰力矩飞机仰头飞机仰头2 2

20、空间任意力系的简化结果分析（最后结果）空间任意力系的简化结果分析（最后结果）（1 1）合力偶）合力偶当当 时，最后结果为一个合力偶。时，最后结果为一个合力偶。此时与简化中心无关。此时与简化中心无关。0,0ROFM ORMdF最后结果为一合力。合力作用线距简化中心为最后结果为一合力。合力作用线距简化中心为0,0,ROROFMFM当当 时，时，2 2） 合力合力0,0ROFM 当当 最后结果为一个合力。最后结果为一个合力。合力作用点过简化中心。合力作用点过简化中心。（3 3）力螺旋）力螺旋当当 时时0,0,RORFMFOM力螺旋的力作用线称为该力螺旋的中心轴。力螺旋的力作用线称为该力螺旋的中心轴。

21、中心轴通过简化中心。中心轴通过简化中心。右螺旋右螺旋左螺旋左螺旋力螺旋中心轴距简化中心为力螺旋中心轴距简化中心为sinORMdF一般情况下空间任意力系可以合成为力螺旋一般情况下空间任意力系可以合成为力螺旋当当 成角成角0,0,ROROFMF M,且且 既不平行也不垂直时既不平行也不垂直时,ROF M（4 4）平衡）平衡当当 时，空间力系为时，空间力系为平衡力系平衡力系0,0ROFM 0RF0OM主矢主矢主矩主矩结果结果说明说明0OM力螺旋力螺旋合力偶合力偶合力作用线过简化中心合力作用线过简化中心0RF合力作用线距简化中心合力作用线距简化中心ROFM0OM0OM合力合力力螺旋的中心轴过简化中心力

22、螺旋的中心轴过简化中心空间任意力系向作用面内一点简化空间任意力系向作用面内一点简化 主矢和主矩主矢和主矩平衡平衡与简化中心的位置无关与简化中心的位置无关oRMF 合力合力0OMoRMF /0OM角成与oRMF力螺旋力螺旋力螺旋的中心轴与简化中心力螺旋的中心轴与简化中心距离为距离为sinORMdF 35 35 空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程空间任意力系平衡的充分必要条件：该力系的主矢、空间任意力系平衡的充分必要条件：该力系的主矢、主矩分别为零。主矩分别为零。1. 空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程000 xyzFFF000 xyzMMM2. 空间平行力系的平衡方程空间平行

23、力系的平衡方程000zxyFMM例例3-73-7已知：已知：P=P=8kN8kN, ,101kNP各尺寸如图各尺寸如图求：求：A A、B B、D D 处处约束力约束力解：研究对象：小车解：研究对象：小车受力：受力：,1DBAFFFPP列平衡方程列平衡方程0zF 0FMx 0FMy01DBAFFFPP022 . 02 . 11DFPP06 . 02 . 16 . 08 . 01DBFFPP结果：结果：kNkNkN423. 4,777. 7,8 . 5ABDFFF例例3-83-8已知：已知：,2000NF,212FF ,60,30各尺寸如图各尺寸如图求：求：21,FF及及A A、B B处约束力处约

24、束力解：研究对象，解：研究对象， 曲轴曲轴受力：受力：BzBxAzAxFFFFFFF,21列平衡方程列平衡方程 0 xF 0yF060sin30sin21BxAxFFFF00 0zF060cos30cos21BzAzFFFFF 0FMx040020020060cos20030cos21BzFFFF 0FMy0212FFDRF 0FMz040020060sin20030sin21BxFFF结果：结果：,6000 ,300021NNFF,9397 ,1004NNAzAxFF,1799 ,3348NNBzBxFF例例3-93-9已知：已知：F=F=2 2P P及各尺寸及各尺寸 求：求：杆内力杆内力解

25、：研究对象，长方板解：研究对象，长方板受力图如图受力图如图 列平衡方程列平衡方程 0FMAB 0FMAE 0FMAC 0FMEF026PaaF62PF 05F022216baabFPaaF04F01F 0FMFG022bFPbFbPF5 . 12 0FMBC045cos232bFPbbFPF223例例3-103-10求：三根杆所受力。求：三根杆所受力。已知：已知：P P=1000N ,=1000N ,各杆重不计。各杆重不计。解：各杆均为二力杆，取球铰解：各杆均为二力杆，取球铰O，画受力图建坐标系如图。画受力图建坐标系如图。0 xF 0yF 0zF 由由045sin45sinOCOBFF045c

26、os45cos45cosOAOCOBFFF045sinPFOA解得解得 （压）（压）N1414OAF（拉）（拉）N707OCOBFF例例3-113-111122(,),(,),F FF FCD2A E 求：正方体平衡时，求：正方体平衡时，不计正方体和直杆自重。不计正方体和直杆自重。12,F F力力 的关系和两根杆受力。的关系和两根杆受力。已知：正方体上作用两个力偶已知：正方体上作用两个力偶解：两杆为二力杆，解：两杆为二力杆，取正方体，取正方体，画受力图建坐标系如图画受力图建坐标系如图b b以矢量表示力偶，如图以矢量表示力偶，如图c c0 xM 0yM 解得解得12MM设正方体边长为设正方体边长

27、为a ,a ,有有1122MF aMFa有有12F F322AMFa解得解得2212ABFFFF杆杆 受拉，受拉， 受压。受压。12AA12BB045cos31MM045sin32MM312MM36 36 重重 心心1 1 平行力系中心平行力系中心平行力系的中心：平行力系合力的作用点。平行力系的中心：平行力系合力的作用点。12RFFF合力作用点合力作用点C C满足：满足：12RFFFBCACAB若将原有各力绕其作用点转过若将原有各力绕其作用点转过同一角度，则合力也绕其作用同一角度，则合力也绕其作用点点C C转过相同角度。转过相同角度。以上分析对反向平行力系是否适用？以上分析对反向平行力系是否适

28、用？平行力系合力的作用点的位置仅以各平行力系的大小平行力系合力的作用点的位置仅以各平行力系的大小和作用点的位置有关，和各力的方向无关。和作用点的位置有关，和各力的方向无关。由合力矩定理，有由合力矩定理，有1122CRrFrFrF设力作用线方向的单位矢量为设力作用线方向的单位矢量为0F0001122CRrF FrFFrF F01 12 2()0R CF rFrF rF1 12 21 12 212CRFrF rFrF rrFFFi iCiFrrFiiCiFxxFiiCiF yyFiiCiFzzF地球表面的重力可以看作是平行力系，此平行力系地球表面的重力可以看作是平行力系，此平行力系的中心就是物体的重心。的中心就是物体的重心。设物体由若干部分组成，其第设物体由若干部分组成，其第i i部分的重力为部分的重力为P