2020年中考数学复习之挑战压轴题(解答题)：四边形综合题(15题)

1、学霸数学2020年中考数学复习之挑战压轴题（解答题）：四边形综合题（15 题）一、解答题（共15小题）1 . （2019?盘锦）如图，四边形 ABCD是菱形， BAD 120，点E在射线AC上（不包括 点A和点C）,过点E的直线GH交直线AD于点G ,交直线BC于点H ,且GH /DC，点F在BC的延长线上，CF AG,连接ED, EF , DF .（1）如图1,当点E在线段AC上时，判断AEG的形状，并说明理由.求证：DEF是等边三角形.（2）如图2,当点E在AC的延长线上时，DEF是等边三角形吗？如果是，请证明你的结论；如果不是，请说明理由.A D G图】图2 £2.（2019秋

2、？雁塔区校级月考）（1）如图1,在四边形ABCD中，AB AD , B D 180 , , 一1E, F分别是边BC , CD上的点，且 EAF BAD ,则BE , EF , DF之间的数量关 2玄早（2）如图2,若E , F分别是边BC , CD延长线上的点，其他条件不变，则BE , EF , DF 之间的数量关系是什么？请说明理由.（3）如图3,在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动命令后，舰艇甲 向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50的方向以80海里/小时的速度 前进，1.

3、5小时后，指挥中心观察到8艇甲、乙分别到达E, F处，且两舰艇与指挥中心 O连线的夹角 EOF 70，试求此时两舰艇之间的距离.第1页（共53页）图1图2S33. （2018?河西区二模）将一个等边三角形纸片AOB放置在平面直角坐标系中，点0（0,0）,点 B（6,0）.点 C、D 分别在 OB、AB 边上，DC/0A, CB 2串.（I）如图，将 DCB沿射线CB方向平移，得到 DCB .当点C平移到0B的中点时，求 点D的坐标；（II ）如图，若边DC与AB的交点为 M ,边D B与 ABB的角平分线交于点 N ,当BB 多大时，四边形 MBND为菱形？并说明理由.（III ）若将 DCB

4、绕点B顺时针旋转，得到 DC B ,连接AD ,边DC的中点为P ,连接AP,当AP最大时，求点P的坐标及AD的值.（直接写出结果即可）.F小FtA圄 图4. （2017?潮阳区模拟）如图（1）,在 ABC 中，AB AC, BAC 90 , AD BC 于点 D , BC 20cm, AD 10cm.点P从点B出发，在线段BC上以每秒2cm的速度向点C匀速 运动，与此同时，垂直于 AD的直线l从点A沿AD出发，以每秒1cm的速度沿AD方向 匀速平移，分别交 AB、AC、AD于M、N、E .当点P到达点C时，点P与直线l同 时停止运动，设运动时间为 t秒（t 0）.（1）在运动过程中（点 P不

5、与B、C重合），连接PN ,求证：四边形 MBPN为平行四边 形；（2）如图（2）,以MN为边向下作正方形 MFGN , FG交AD于点H ,连结PF、PG , 当0 t史时，求 PFG的面积最大值；3第5页(共53页)若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由.5. (2019?工业园区一模)如图学霸数学(3)在整个运动过程中， 观察图(2)、(3),是否存在某一时刻t,使PFG为等腰三角形?，在矩形ABCD中，动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AD向终点D移动，设移动时间为t(s)，连接PC ,以PC为一边作正方形PCEF ,连接 DE、2DF ,设 PCD的面积为y(cm ),y与

6、t之间的函数关系如图 所示.(1) AB cm , AD cm ;(2)当t为何值时,DEF的面积最小？请求出这个最小值;(3)当t为何值时，DEF为等腰三角形？请简要说明理由.6.(2017秋？市南区期末)如图，在平行四边形 ABCD中，AC BC , AB 10. AC点P在线段BC上从点B出发沿BC方向以每秒1个单位长的速度匀速运动； 动点Q在线段DC上从点D出发沿DC的力向以每秒1个单位长的速度匀速运动，过点 P作PE BC .交线段AB于点E.若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运 动随之停止，设运动时间为 t秒.(1)当t为何值时，QE/BC ?(2)设 PQE的面积为S

7、,求出S与t的函数关系式：(3)是否存在某一时刻t ,使得 PQE的面积S最大？若存在，求出此时 t的值； 若不存在，请说明理由.（4）是否存在某一时刻t ,使得点Q在线段EP的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值;7. （2019?湘潭）如图一，在射线DE的一侧以 AD为一条边作矩形 ABCD , AD 5屈，CD 5 ,点M是线段AC上一动点（不与点 A重合），连结BM ,过点M作BM的垂线交（2）问题探究：动点 M在运动的过程中，是否能使 AMN为等腰三角形，如果能，求出线段MC的长度；如果不能，请说明理由. MBN的大小是否改变？若不改变，请求出 MBN的大小；若改变，请说明理由.（3

8、）问题解决：如图二，当动点 M运动到AC的中点时，AM与BN的交点为F , MN的中点为H ,求线 段FH的长度.8. （2019?抚顺）如图，点E , F分别在正方形 ABCD的边CD , BC上，且DE CF ,点P 在射线BC上（点P不与点F重合）.将线段EP绕点E顺时针旋转90得到线段EG ,过点E作GD的垂线QH ,垂足为点H ,交射线BC于点Q .学霸数学(1)如图1,若点E是CD的中点，点P在线段BF上，线段BP ,QC , EC的数量关系为(2)如图2,若点E不是CD的中点，点P在线段BF上，判断(1)中的结论是否仍然成立.若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.(3)正

9、方形ABCD的边长为6, AB 3DE , QC 1 ,请直接写出线段 BP的长.囹1图2留用图9. (2019?舟山)小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展.(1)温故：如图1,在 ABC中，AD BC于点D ,正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P, N分别在AB, AC上，若BC a, AD h,求正方形PQMN的边长(用a, h表示).(2)操作：如何画出这个正方形 PQMN呢？如图2,小波画出了图1的ABC ,然后按数学家波利亚在 怎样解题中的方法进行操作：先在AB上任取一点 P ,画正方形PQM N ,使点Q , M 在BC边上，点N在 ABC内,然后连结

10、BN ,并延长交 AC于点N ,画NM BC于点M , NP NM交AB于点P ,PQ BC于点Q ,得到四边形 PQMN .(3)推理：证明图2中的四边形PQMN是正方形.(4)拓展：小波把图2中的线段BN称为“波利亚线”，在该线上截取NE NM ,连ZEQ ,EM (如图3),当 QEM 90时，求“波利亚线” BN的长(用a , h表示).请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题.10. (2019?吉林)性质探究如图，在等腰三角形 ABC中,ACB 120 ,则底边AB与腰AC的长度之比为学霸数学理解运用(1)若顶角为120的等腰三角形的周长为 8 4则它的面积为;(2)如图

11、，在四边形 EFGH中，EF EG EH .求证：EFG EHG FGH ;在边FG , GH上分别取中点 M , N ,连接MN .若 FGH 120 , EF 10,直接写出线段MN的长.类比拓展顶角为2的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为(用含 的式子表示).第7页(共53页)图图11. (2019?无锡)如图1,在矩形ABCD中，BC 3,动点P从B出发，以每秒1个单位 的速度，沿射线 BC方向移动，作 PAB关于直线PA的对称 PAB ,设点P的运动时间为 t(s) .(1)若 AB 2木.如图2,当点B落在AC上时，显然 PAB是直角三角形，求此时t的值；是否存在异于图 2的时刻，

12、使得 PCB是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题 意的t的值？若不存在，请说明理由.(2)当P点不与C点重合时，若直线 PB与直线CD相交于点M ,且当t 3时存在某一时 刻有结论 PAM 45成立，试探究：对于 t 3的任意时刻，结论“ PAM 45 ”是否总 是成立？请说明理由.雷，弓国12. (2019?绵阳)如图，在以点。为中心的正方形 ABCD中，AD 4 ,连接AC ,动点E从点O出发沿O C以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点 C停止.在运动过程中，ADE的外接圆交AB于点F ,连接DF交AC于点G ,连接EF ,将EFG沿EF翻折，得到 EFH .(1)求证：DEF是

13、等腰直角三角形；(2)当点H恰好落在线段BC上时，求EH的长；(3)设点E运动的时间为t秒，EFG的面积为S,求S关于时间t的关系式.13. (2019?岳阳)操作体验：如图，在矩形 ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，将 矩形ABCD沿直线EF折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C处.点P为直线EF上 一动点(不与E、F重合)，过点P分别作直线BE、BF的垂线，垂足分别为点 M和N , 以PM、PN为邻边构造平行四边形 PMQN .(1)如图1,求证：BE BF ;(2)特例感知：如图 2,若DE 5 , CF 2 ,当点P在线段EF上运动时，求平行四边形PMQN的周长；(3)类比探

14、究：若 DE a , CF b .如图3,当点P在线段EF的延长线上运动时，试用含 a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系，并证明；如图4,当点P在线段FE的延长线上运动时， 请直接用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系.(不要求写证明过程)14. (2019?资阳)在矩形ABCD中，连结AC，点E从点B出发，以每秒1个单位的速度沿学霸数学学霸数学着B AC的路径运动，运动时间为t (秒).过点E作EF BC于点F ,在矩形ABCD的内部作正方形 EFGH .(1)如图，当AB BC 8时，若点H在 ABC的内部，连结 AH、CH ,求证：AH CH ;当0 t, 8时，设正方形EFG

15、H与 ABC的重叠部分面积为 S ,求S与t的函数关系式;(2)当AB 6, BC 8时，若直线 AH将矩形ABCD的面积分成1:3两部分，求t的值.AD第11页（共53页）15. (2019?益阳)如图，在平面直角坐标系 xOy中，矩形 ABCD的边AB 4, BC 6 .若 不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时， 矩形的另一 个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动.(1)当 OAD 30时，求点C的坐标；(2)设AD的中点为M ,连接OM、MC ,当四边形OMCD的面积为百时，求OA的长;2(3)当点A移动到某一位置时，点 C到点。的距离有最大值，请直接

16、写出最大值，并求此2020年中考数学复习之挑战压轴题（解答题）：四边形综合题（15题）参考答案与试题解析、解答题（共15小题）1. （2019?盘锦）如图，四边形 ABCD是菱形，BAD 120，点E在射线AC上（不包括点A和点C）,过点E的直线GH交直线AD于点G ,交直线BC于点H ,且GH /DC，点F在BC的延长线上，CF AG,连接ED, EF , DF .（1）如图1,当点E在线段AC上时，判断AEG的形状，并说明理由.求证：DEF是等边三角形.（2）如图2,当点E在AC的延长线上时，DEF是等边三角形吗？如果是，请证明你的结论；如果不是，请说明理由.图】图2 E【考点】LO :四

17、边形综合题【专题】554:等腰三角形与直角三角形；152:几何综合题；556:矩形 菱形 正方形；553: 图形的全等【分析】（1 ）由菱形的性质得出AD / /BC , AB BC CD AD , AB /CD ,-1 -CAD BAD 60 ,由平行线的性质得出 BAD ADC 180 , ADC 60 , 2AGEADC60,得出 AGE EAGAEG 60 ,即可得出AEG是等边三角形；由等边三角形的性质得出AG AE ,由已知得出AE CF ,由菱形的性质得出BCDBAD120 ,得出 DCF 60CAD ,证明 AEDCFD（SAS）,得出DE DF , ADE CDF ,再证出

18、EDF 60 ,即可得出 DEF是等边三角形；（2）同（1）得： AEG是等边三角形，得出 AG AE ,由已知得出 AE CF ,由菱形1.的性质得出BCD BAD 120 , CAD - BAD 60 ,得出 FCD 60 CAD ,证2学霸数学EDF 60 ,即可得出明 AED CFD (SAS),得出 DE DF , ADE CDFDEF是等边三角形.【解答】（1）解： AEG是等边三角形；理由如下:Q四边形ABCD是菱形,BAD 120 ,AD / /BC , ABBCCD AD , AB/CD ,CAD1BAD260 ，BAD ADC180ADC 60 ,QGH / /DC ,AG

19、E ADC60AGEEAGAEG 60 ,AEG是等边三角形；证明：Q AEG是等边三角形，AG AE ,QCF AG ,AE CF ,Q四边形ABCD是菱形，BCD BAD 120 ,DCF 60 CAD ,AD CD在 AED 和 CFD 中， EAD FCD ,AE CFAED CFD (SAS)DE DF , ADE CDF ,Q ADC ADE CDE 60 ,CDF CDE 60 ,即 EDF 60 ,DEF是等边三角形；（2）解： DEF是等边三角形；理由如下:同（1）得: AEG是等边三角形，AG AE ,Q CF AG , AE CF ,Q四边形ABCD是菱形，1 BCD B

20、AD 120 , CAD BAD 60 ,2 FCD 60 CAD ,AD CD在 AED 和 CFD 中， EAD FCD , AE CFAED CFD （SAS）,DE DF , ADE CDF ,Q ADC ADE CDE 60 ,CDF CDE 60 ,即 EDF 60 ,DEF是等边三角形.【点评】本题是四边形综合题目，考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键.2.（2019秋？雁塔区校级月考）（1）如图1,在四边形ABCD中，AB AD , B D 180 , 1E, F分别是

21、边BC , CD上的点，且 EAF BAD ,则BE , EF , DF之间的数量关 2系是 _EF BE DF（2）如图2,若E , F分别是边BC , CD延长线上的点，其他条件不变，则BE , EF , DF 之间的数量关系是什么？请说明理由.（3）如图3,在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动命令后，舰艇甲 向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50的方向以80海里/小时的速度 前进，1.5小时后，指挥中心观察到8艇甲、乙分别到达E, F处，且两舰艇与指挥中心 O连线的夹角 E

22、OF 70，试求此时两舰艇之间的距离.学霸数学图1图2S3【考点】LO :四边形综合题【专题】67:推理能力；152:几何综合题；553:图形的全等【分析】（1）延长FD到点G .使DG BE .连结AG ,证明 ABE ADG ,根据全等三角形的性质得到 AE AG ,证明 AEF AGF ,得得EF FG ,证明结论；(2)在CB上截取BM DF ,连接 AM ,证 ABM ADF，推出AF AM ,DAF BAM ,求出 EAM EAF ,证 FAE MAE ,推出EF EM ,即可得出结果；(3)延长AE、BF相交于点C ,然后根据(1)中的方法可得两舰艇之间的距离.【解答】 解：(1

23、)延长FD到点G ,使DG BE ,连结AG ,如图1所示：BE DG在 ABE 和 ADG 中， B ADG 90 ,AB ADABE ADG (SAS),AE AG , BAE DAG ,1Q EAF - BAD , 2GAF DAG DAF BAE DAF BAD EAF EAF ,AE AG在 AEF 和 GAF 中， EAF GAF ,AF AFAEF AGF (SAS),EF FG ,Q FG DG DF BE DF ,EF BE DF第#页（共53页）学霸数学第13页(共53页)故答案为：EFBE DF ;DF之间的数量关系是:EF BE DF ;理由如下:在CB上截取BMDF

24、,连接如图2所示:D 180ADCADF180ABAD在ABMADF 中,ADFBMDFABMADF (SAS)AF AMBAMBADQ BADMAFMAEAE AE在FAE和MAE 中,FAE MAEFAEMAE (SAS)AF AMEF EMBE BMBE DF ,即 EF BEDF ；(3)连接EF ,延长AE、BF相交于点C ,如图3所示:Q AOB3090(9070)140 ，EOF 70 ,EOFQOAOB,OACOBC(9030(7050 ) 180符合(1)中的条件,即结论EF AEBF成立,EF1.5 (60 80)210 (海里).答：此时两舰艇之间的距离是210海里.学霸

25、数学图1【点评】本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质等知识；通过作辅助线构建三角形全等是解题的关键.3. (2018?河西区二模)将一个等边三角形纸片AOB放置在平面直角坐标系中，点0(0,0),点 B(6,0).点 C、D 分别在 OB、AB 边上，DC/0A, CB 273 .(I)如图，将DCB沿射线CB方向平移，得到 DCB .当点C平移到0B的中点时，求 点D的坐标；(II )如图，若边D C与AB的交点为M ,边D B与 ABB的角平分线交于点 N ,当BB 多大时，四边形 MBND为菱形？并说明理由.(III )若将 DCB绕点B顺时针旋转，得到 DC B ,连接

26、AD ,边DC的中点为P ,连接AP,当AP最大时，求点P的坐标及AD的值.(直接写出结果即可).【考点】LO :四边形综合题【专题】153:代数几何综合题【分析】（I）如图 中，作DH BC于H .首先求出点 D坐标，再求出CC的长即可解决问题；（n）当BB J3时，四边形MBND是菱形.首先证明四边形 MBND是平行四边形，再证明BB BC即可解决问题;（出）在 ABP中，由三角形三边关系得,AP AB BP,推出当点A, B, P三点共线第19页（共53页）时，AP最大;【解答】解：（I ）如图中，作DH BC于H .>4圉Q AOB是等边三角形， DC/OA,DCB AOB 60

27、 , CDB A 60 ,CDB是等边三角形，QCB 2石，DH CB ,CH HB 点，DH 3 ,D（6 灰,3）,QC B 3 ,CC 2 73 3 ,DD CC 23 3D(3 叔 3).(n)当BB 有时，四边形 MBND是菱形.理由：如图中，Q ABC是等边三角形，ABO 60 ,ABB 180 ABO 120 ,QBN是 ACC的角平分线，1-NBB - ABB 60 D C B , 2D C / /BN , Q AB/B D四边形MBND是平行四边形，Q ME C MCE 60 , NCC NC C MC B和NBB是等边三角形，MC CE , NC CC ,Q B C 2 点

28、,Q四边形MBND是菱形，BN BM ,BB -BC B, 2(m)如图连接 BP,图在 ABP中，由三角形三边关系得，AP AB BP,当点A, B, P三点共线时， AP最大，如图中，在 DBC中，由P为DC的中点，得AP DC , PD 启，CP 3,AP 6 39,在Rt APD中，由勾股定理得，AD JAP_PD 2 2 J21 .此时 P（15, W3）. 22【点评】此题是四边形综合题， 主要考查了平行四边形的判定和性质，菱形的性质，平移和旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解（2）的关键是四边形 MCND是平行四边形，解（3）的关键是判断出点 A, C, P三点共线时

29、，AP最大.4. （2017?潮阳区模拟）如图（1）,在 ABC 中，AB AC, BAC 90 , AD BC 于点 D , BC 20cm, AD 10cm.点P从点B出发，在线段BC上以每秒2cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于 AD的直线l从点A沿AD出发，以每秒1cm的速度沿AD方向 匀速平移，分别交 AB、AC、AD于M、N、E .当点P到达点C时，点P与直线l同 时停止运动，设运动时间为 t秒（t 0）.（1）在运动过程中（点 P不与B、C重合），连接PN ,求证：四边形 MBPN为平行四边 形；（2）如图（2）,以MN为边向下作正方形 MFGN , FG交AD于点H ,连

30、结 PF、PG ,10当0 t 一时，求 PFG的面积最大值；3（3）在整个运动过程中， 观察图（2）、（3）,是否存在某一时刻t ,使PFG为等腰三角形？ 若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由.图G【考点】LO :四边形综合题【分析】(1)证出1/BC ,得出比例式AM- AN,证出AM AN ,得出ME NE,因此 AB ACMN 2AE 2t,证出MN BP,即可得出四边形 MBPN为平行四边形；(2)由正方形的性质得出 FG MNMF2AE 2t ,求出DHAD AH10 3t ,得出1 525Spfg- FGgDH3(t-)2,由二次函数的最值即可得出答案；2 33(3)利用

31、勾股定理得： PF2 2(103t)2,PG2(10 3t)2 (10t)2,FG2(2t)2,分三种情况讨论，得出方程，解方程即可.【解答】(1)证明：Ql AD, BC AD,l / /BC ,AM ANAB AC 'Q AB AC ,AM AN , Q BAC 90 ,ME NE ,MN 2AE 2t ,Q BP 2t ,MN BP ,四边形MBPN为平行四边形；(2)解：Q四边形MFGN是正方形，FGMNMF2AE2t,Q EHMF2t ,DHADAH10 3t,学霸数学115 2 25Spfg -FGgDH - 2t (10 3t)3(t -),223310Qa 3 0 ,

32、0 t 一，3当t 5时，Spfg最大经；33(3)解：存在，当t 30 10行或t 5或t 10时,7PFG为等腰三角形；理由如下:利用勾股定理得:2_22PF 2(10 3t) , PG_2_22_2(10 3t)(10 t),又 FG (2t),当 PF FG 时，则 2(10 3t)2(2t)2,解得:t 30 1042当PFPG 时，2(10 3t)2 (10 3t)2 (10 t)2 ,解得：t 5,或t 0 (舍去)；当 FG PG 时，(2t)2 (10 3t)2 (10 t)2 ,解得：t 10 ,或t103(舍去)；第#页(共53页)综上所述，t 30或t 5或t 10时，

33、PFG为等腰三角形.【点评】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定、正方形的性质、等腰三角形的判定、二次函数的最值、勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大.5. (2019?工业园区一模)如图 ，在矩形ABCD中，动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AD向终点D移动，设移动时间为t(s)，连接PC ,以PC为一边作正方形 PCEF ,连接DE、.2DF ,设 PCD的面积为y(cm ) , y与t之间的函数关系如图 所本.(1) AB 2 cm , AD cm ;(2)当t为何值时，DEF的面积最小？请求出这个最小值;(3)当t为何值时,DEF为等腰三角形？请简要说明理由.学霸数学【分

34、析】(1)根据图三角形PCD的面积，可得矩形的长和宽;(2)由题意得：AP t , PD 5 t ,根据三角形面积公式可得 y与t的关系式,由图得:S DEF S PDC 2 SO形EFPC，代入可得结论;(3)当DEF为等腰三角形时,分四种情况进行讨论，根据全等三角形的性质计算PD 和 AP的长，可得t的值.【解答】解：(1)由图知:当t 0时，P与A重合,CD 2cm,Q四边形ABCD是矩形,AB CD 2cm ,故答案为：2, 5;(2)由题意得：AP ty 2CDgPD 尹染t) 5 t,Q四边形EFPC是正方形,S DEFQ PC22PDPC222第21页(共53页)学霸数学1 21

35、 219 12 3Sdef 2(t 10t 29) (5 t) 2t4t - 2(t 4)当t为4时， DEF的面积最小，且最小值为 3 ;2(3)当 DEF为等腰三角形时，分四种情况：当FD FE时，如下图所示，过 F作FG AD于G ,Q四边形EFPC是正方形，PF EF PC , FPC 90 ,PF FD ,Q FG PD ,-11PG DG PD , 2Q FPG CPD CPD DCP 90 ,FPG DCP ,Q FGP PDC 90 ,FPG PDC(AAS),PG DC 2 ,AP 5 4 1 ,即t 1;当DE DF时，如下图所示，E在AD的延长线上，此时正方形EFPC是正

36、方形,PD CD 2,第23页(共53页)学霸数学当DE EF时，如下图所示，过 E作EG CD于G ,Q FE DE EC , 1CG DG -CD 1 , 2同理得： PDC CGE(AAS),PD CG 1 ,AP t 5 1 4,当DF EF时，如下图所示，PC EF PF 2 ,且PC BC ,此时P与D重合，t 5 ,综上，当t 1s或3s或4s或5s时， DEF为等腰三角形.【点评】本题是四边形的综合题， 考查了全等三角形的判定与性质、利用三角形的面积公式求二次函数的解析式，勾股定理的运用，动点运动等知识，考查学生数形结合的能力，分类讨论的能力，综合性强，难度适中.6.（2017

37、秋？市南区期末）如图，在平行四边形 ABCD中，AC BC , AB 10. AC 6 .动 点P在线段BC上从点B出发沿BC方向以每秒1个单位长的速度匀速运动； 动点Q在线段DC上从点D出发沿DC的力向以每秒1个单位长的速度匀速运动，过点 P作PE BC .交线段AB于点E.若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运第22页（共53页）学霸数学动随之停止，设运动时间为 t秒.(1)当t为何值时，QE /BC ?(2)设 PQE的面积为S,求出S与t的函数关系式：(3)是否存在某一时刻t ,使得 PQE的面积S最大？若存在，求出此时 t的值； 若不存 在，请说明理由.(4)是否存在某一时

38、刻t ,使得点Q在线段EP的垂直平分线上？若存在， 求出此时t的值;第25页(共53页)【专题】15:综合题【分析】(1)先用勾股定理求出 BC ,进而彳#出CD AB 10,利用锐角三角函数得出B的相关三角函数，再判断出CGQs CAD ,利用得出的比例式建立方程即可得出结论；(2)同(1)的方法，利用三角函数求出 CH , QH ,最后利用面积的差即可得出结论；(3)借助(2)的结论即可得出结论；3(4)先由垂直平分线得出 PM t ,再表示出CN ,用PM CN建立万程即可得出结论.8【解答】 解：(1)如图1,记EQ与AC的交点为G,Q AC BC ,ACB 90 ,在 Rt ABC

39、中，AB 10, AC 6,根据勾股定理得，BC 8,tanBACBCQ四边形ABCD是平行四边形,CD AB 10, AD BC 8 ,由运动知，BP t, DQ t,PC 8 tCQ 10 t学霸数学PEBPPE 3PE3-t4Q PE BC ,BPE 90 ,34在 Rt BPE 中，sin B -，cosB ，tan B 55161625第27页（共53页）Q EQ / /BC ,PEQ BPE 90 ,四边形CPEG是矩形，3CG PE -t , 4Q EQ / /BC ,CGQs CAD ,CG CQAC CD :3t4t 10 t-6io40(2)如图2,过点Q作QH BC交BC

40、的延长线于Q四边形ABCD是平行四边形,AB / /CD ,DCH在RtCHQ 中，sin QCH QHQHQH|(10t),cosHCQCQCH10 tCHCQ10 tCHt),4 -(10 5PHPCCH4 (10 5t)16S梯形 QHPES QPH3一 103-t49-t59-t53一 10 t52740 2一(t )40940学霸数学Q点E在线段AB上,点P在线段BC上,0 t, 8 ,点Q在CD上，0 t 10,2740 2 40即：S _(t _)2 _(0 t, 8)；4093(3)由(2)知，S 27(t 丝)2 40(0 t, 8)；4093竺时9S最大40一；3第29页(

41、共53页)(4)如图3,过点Q作QM PE于M ,交AC于N ,Q点Q在线段EP的垂直平分线上，13PM -PE -t, 283 同(2)的万法得，CN 3(10 t),5易知，四边形PCNM是矩形，PM CN , 3t 1(10 80【点评】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，矩形的判定和性质，解本题的关键是用t表示出相关的线段.7. (2019?湘潭)如图一，在射线DE的一侧以 AD为一条边作矩形 ABCD , AD 5爬，CD 5 ,点M是线段AC上一动点(不与点 A重合)，连结BM ,过点M作BM的垂线交 射线DE于点N ,连

42、接BN .E AN D £ 金DE A -VD(1)求 CAD的大小；(2)问题探究：动点 M在运动的过程中，是否能使 AMN为等腰三角形，如果能，求出线段MC的长度；如果不能，请说明理由. MBN的大小是否改变？若不改变，请求出 MBN的大小；若改变，请说明理由.(3)问题解决：如图二，当动点 M运动到AC的中点时，AM与BN的交点为F , MN的中点为H ,求线段FH的长度.【考点】LO :四边形综合题【专题】152:几何综合题【分析】(1)在Rt ADC中，求出 DAC的正切值即可解决问题.(2)分两种情形：当NA NM时，当AN AM时，分别求解即可.MBN 30 .利用四点

43、共圆解决问题即可.(3)首先证明 ABM是等边三角形，再证明 BN垂直平分线段 AM, 决问题.Q四边形ABCD是矩形,解直角三角形即可解ADC 90 ,Q tan DACDCAD5_35.33DAC 30(2)如图一(1)中，当AN NM时，Q BAN BMN 90 , BN BN , AN NM ,Rt BNA Rt BNM(HL),BA BM ,在 Rt ABC 中,Q ACB DAC 30 , AB CD 5 ,AC 2AB 10,Q BAM 60 , BA BM ,ABM是等边三角形，AM AB 5学霸数学CM AC AM 5 .15 ，如图一（2）中，当 AN AM时，易证 AMN

44、 ANMQ BMN 90 ,CMB 75 , Q MCB 30 ,CBM 180 75 30 75 ,CMB CBM ,CM CB 5 3 ,综上所述，满足条件的 CM的值为5或5曲.结论：MBN 30大小不变.理由：如图一（1）中，Q BAN BMN 180 ,A, B , M , N四点共圆，MBNMAN30 .如图一（2）中，Q BMN BAN 90 ,A, N ,B , M四点共圆，MBNMAN180 ,Q DACMAN180 ,MBNDAC30 ,综上所述，MBN30 .（3）如图二中,第31页（共53页）QAM MC ,BM AM CM ,AC 2AB ,AB BM AM ,ABM

45、是等边三角形，BAMBMA60,QBANBMN90,NAMNMA30,NA NM ,Q BA BM ,BN垂直平分线段AM ,NM卫 cos30Q NFM 90NH HM ,1 FH MN2解直角三【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质,角形，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的 关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.8. （2019?抚顺）如图，点E , F分别在正方形 ABCD的边CD , BC上，且DE CF ,点P 在射线BC上（点P不与点F重合）.将线段EP绕点E顺时针旋转9

46、0得到线段EG ,过点 E作GD的垂线QH ,垂足为点H ,交射线BC于点Q .（1）如图1,若点E是CD的中点，点P在线段BF上，线段BP , QC , EC的数量关系为学霸数学学霸数学（2）如图2,若点E不是CD的中点，点P在线段BF上，判断（1）中的结论是否仍然成 立.若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.（3）正方形ABCD的边长为6, AB 3DE , QC 1 ,请直接写出线段 BP的长.图1图2备用图【考点】LO :四边形综合题【专题】152:几何综合题；556:矩形 菱形 正方形；553:图形的全等；554:等腰三角形与直角三角形【分析】（1）由ASA证明 PEQ EG

47、D ,得出PQ ED ,即可得出结论；（2）由ASA证明 PEQ EGD ,得出PQ ED ,即可得出结论；（3）当点P在线段BC上时，点Q在线段BC上，由（2）可知：BP EC QC ,求出DE 2,EC 4,即可得出答案；当点P在线段BC上时，点Q在线段BC的延长 线上，由全等三角形的性质得出PQ DE 2 ,求出PC 1,得出BP 5;即可得出答案.【解答】 解：（1） BP QC EC ;理由如下：Q四边形ABCD是正方形，BC CD , BCD 90 ,由旋转的性质得：PEG 90 , EG EP ,PEQ GEH 90 ,QQH GD ,H 90 , GGEH 90 ,PEQ G

48、,又Q EPQ PEC 90 ,PECGED 90 ,EPQ GED ,EPQ GED在 PEQ 和 EGD 中，EP EG,PEQ G第35页（共 53页）PEQEGD （ ASA） ，PQ ED ，BP QC BC PQ CD ED EC ，即 BP QC EC ；故答案为： BP QC EC ；（2） （ 1）中的结论仍然成立，理由如下：由题意得： PEG 90 ， EG EP ，PEQ GEH 90 ，Q QH GD ，H 90 ， G GEH 90 ，PEQ G ，Q 四边形 ABCD 是正方形，DCB 90 ， BC DC ，EPQPEC 90 ，Q PECGED 90 ，GED

49、EPQ ，EPQ GED在 PEQ 和 EGD 中， EP EG，PEQ GPEQEGD （ ASA） ，PQ ED ，BP QC BC PQ CD ED EC ，即 BP QC EC ；（ 3 ）分两种情况： 当点 P 在线段 BC 上时，点 Q 在线段 BC 上，由（ 2）可知： BP EC QC ，Q AB 3DE 6 ，DE 2 ， EC 4 ，BP 4 1 3 ； 当点 P 在线段 BC 上时，点 Q 在线段 BC 的延长线上，如图 3 所示：学霸数学同(2)可得： PEQ EGD(AAS),PQ DE 2 ,QQC 1 ,PC PQ QC 1,BP BC PC 6 1 5;综上所述

50、，线段BP的长为3或5.【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、旋转变换的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及分类讨论等知识； 本题综合性强，证明三角形全等是解题 的关键.9. （2019?舟山）小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展.（1）温故:如图1,在 ABC中，AD BC于点D ,正方形PQMN的边QM在BC上，顶 点P, N分别在AB, AC上，若BC a, AD h,求正方形PQMN的边长（用a, h表 示）.（2）操作：如何画出这个正方形PQMN呢？如图2,小波画出了图1的ABC ,然后按数学家波利亚在 怎样解题中的方法进行操作：

51、 先在AB上任取一点 P ,画正方形PQM N ,使点Q , M 在BC边上，点N在 ABC内， 然后连结BN ,并延长交 AC于点N ,画NM BC于点M , NP NM交AB于点P , PQ BC于点Q ,得到四边形 PQMN .（3）推理：证明图 2中的四边形PQMN是正方形.（4）拓展：小波把图2中的线段BN称为“波利亚线”，在该线上截取NE NM ,连ZEQ , EM （如图3）,当 QEM 90时，求“波利亚线” BN的长（用a , h表示）.请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题.学霸数学第43页(共53页)【考点】LO :四边形综合题43【专题】55D :图形的相似；5