经典：无理根式的不定积分

1、2021/8/618.3 8.3 有理函数和可化为有理函数的不定积分有理函数和可化为有理函数的不定积分一、有理函数的不定积分一、有理函数的不定积分二、三角函数有理式的不定积分二、三角函数有理式的不定积分三、某些无理根式的不定积分三、某些无理根式的不定积分2021/8/62有理函数的定义：有理函数的定义： 两个多项式的商表示的函数称之为两个多项式的商表示的函数称之为有理有理函数函数. .其一般形式为其一般形式为mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP 11101110)()(一、有理函数的积分一、有理函数的积分（1）2021/8/63假定分子与分母之间没有公因式假定分子与分母之间没有

2、公因式,)1(mn 这有理函数是这有理函数是真分式真分式；,)2(mn 这有理函数是这有理函数是假分式假分式； 利用多项式除法利用多项式除法, 假分式可以化成一个多假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和项式和一个真分式之和.例例1123 xxx.112 xx有理真分式必定可以表示成若干个部分分有理真分式必定可以表示成若干个部分分式之和式之和(称为称为部分分式分解部分分式分解) 2021/8/64有理函数化为部分分式之和的一般步骤：有理函数化为部分分式之和的一般步骤：第一步第一步 对分母对分母在实系数内作标准分解：在实系数内作标准分解： xQ 1121112ststtxaxaxp xqxp x

3、q 第二步第二步 根据分母的各个因式分别写出与之根据分母的各个因式分别写出与之相应的部分分式：相应的部分分式： xQ., 2 , 1, 04;2211tjqpmjjsitjji 2021/8/65（1）分母中若有因式）分母中若有因式 ，则分解后为，则分解后为kax)( ,)()(121axAaxAaxAkkk 其其中中kAAA,21都都是是常常数数.特殊地：特殊地：, 1 k分解后为分解后为;axA （2）分母中若有因式）分母中若有因式 ，其中，其中kqpxx)(2 则分解后为则分解后为042 qpqpxxNxMqpxxNxMqpxxNxMkkkk 21222211)()(2021/8/66特

4、殊地：特殊地：, 1 k分解后为分解后为;2qpxxNMx 2021/8/67真分式化为部分分式之和的真分式化为部分分式之和的待定系数法待定系数法6532 xxx)3)(2(3 xxx,32 xBxA),2()3(3 xBxAx),23()(3BAxBAx , 3)23(, 1BABA,65 BA6532 xxx.3625 xx例例1 12021/8/682)1(1 xx,1)1(2 xCxBxA)1()1()1(12 xCxBxxA代入特殊值来确定系数代入特殊值来确定系数CBA,取取, 0 x1 A取取, 1 x1 B取取, 2 xBA,并将并将 值代入值代入)1(1 C.11)1(112

5、xxx2)1(1 xx例例2 22021/8/69例例3 3.1515221542xxx )1)(21(12xx ),21)()1(12xCBxxA ,)2()2(12ACxCBxBA , 1, 02, 02CACBBA,51,52,54 CBA,1212xCBxxA )1)(21(12xx 整理得整理得2021/8/610例例4 4 求积分求积分 .)1(12dxxx dxxx 2)1(1dxxxx 11)1(112dxxdxxdxx 11)1(112111lnln.xxCx解解2021/8/611例例5 5 求积分求积分 解解.)1)(21(12 dxxxdxxxdxx 215152215

6、4 dxxx)1)(21(1222212111255 15 1lnxxdxdxxx22111 21555lnln()arctan.xxx C2021/8/612例例6 6 求积分求积分解解.11632dxeeexxx 令令6xet ,ln6tx ,6dttdx dxeeexxx 63211dttttt61123 dtttt )1)(1(162dttttt 21331362021/8/61323631132lnlnln()arctanttttCdttttt 2133136.)arctan(3)1ln(23)1ln(3636Ceeexxxx 36312lnlnttdttttd 2221131)1(

7、2021/8/614说明说明 将有理函数化为部分分式之和后，只将有理函数化为部分分式之和后，只出现两类情况：出现两类情况：1( );()kAdxxa22（ ）;()kMxNdxxpxq11111ln,.()kkxaCkdxCkxakxa对于对于1( )2021/8/615224,prq,2MpNb 则则2()kMxNdxxpxq22()kMtdttr22()kbdttr222,xpxqtr, bMtNMx 记记,42222pqpxqpxx 令令tpx 222();()kMxNdxxpxq2021/8/616021,k 2()kMxNdxxpxq011,k dxqpxxNMx2)ln(22qpx

8、xM ;2arctanCapxab 22()kMtdttr22()kbdttr2021/8/617222211()2(1)()kktdtctrk tr令令222222221()()()kkkdttrtIdttrrtr21222211()kktIdtrrtr122221111()2(1)()kkItdrrktr2021/8/618有理函数的原函数都是初等函数有理函数的原函数都是初等函数. .结论结论1122221112(1) ()kkktIIrrktr所以所以122212232(1)()2(1)kkktkIIrktrrk注注用求有理真分式的最简分式分解式的方用求有理真分式的最简分式分解式的方法求

9、其积分往往很麻烦。所以，当我们求有法求其积分往往很麻烦。所以，当我们求有理函数的积分时，应尽可能地考虑是否有其理函数的积分时，应尽可能地考虑是否有其它更简便的解法。它更简便的解法。2021/8/61910(1)dxxx 例例791010(1)xdxxx 10101ln101xCx 101010111() ()101d xxx 10(1)dxx x 解解2021/8/620由三角函数和常数经过有限次四则由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之为运算构成的函数称之为三角有理式三角有理式三角有理式的定义三角有理式的定义二、三角函数有理式的不定积分二、三角函数有理式的不定积分)cos,(sin

10、xxR一般记为一般记为三角有理函数的积分，一般有如下规律三角有理函数的积分，一般有如下规律 (sinx)cosxdxsinRX令t (cosx)sinxdxcosRX令t 2(tanx)sec xdxtanRX令t（一）（一）2021/8/6212cos2sin2sinxxx 2sec2tan22xx ,2tan12tan22xx ,2sin2coscos22xxx （二）万能代换（二）万能代换2sec2tan122xx ,2tan12tan122xx 令令2tanxu uxarctan2 （万能置换公式）（万能置换公式）2021/8/622,12sin2uux ,11cos22uux duu

11、dx212 (sin ,cos )Rxx dx 2222212,.111uuRduuuu 例例8 xdxcos1解法一：解法一： cxtgctdt2 dtttt222111122xtgtI 2021/8/623cxxdxxdxI 2tan)2(2sec2cos2122 xxdxdxdxxxI222sinsincsccos1cos1解法二：解法二： ( ( 用初等化简用初等化简 ) ) 解法三：解法三： ( ( 用初等化简用初等化简, , 并凑微并凑微 ) )cxx sin1cot.2tancx cxx cotcsc2021/8/624例例9 9 求积分求积分.cossin1sin dxxxx解

12、解,12sin2uux 2211cosuux ,122duudx 由万能置换公式由万能置换公式 dxxxxcossin1sinduuuu )1)(1(22222211(1)(1)uuuduuu 2021/8/625duuuuu )1)(1()1()1(222duuu 211duu 11uarctan )1ln(212u Cu |1|lntan2xu 2x |2sec|lnx .|2tan1|lnCx 2021/8/626例例1010 求积分求积分.sin14 dxx解解（一）（一）,2tanxu ,12sin2uux ,122duudx dxx4sin1duuuuu 46428331Cuuuu

13、 333318133.2tan2412tan832tan832tan24133Cxxxx 2021/8/627解解（二）（二）修改万能置换公式修改万能置换公式,xutan 令令,1sin2uux ,112duudx dxx4sin1duuuu 2421111duuu 421Cuu 1313.cotcot313Cxx 2021/8/628解解（三）（三）可以不用万能置换公式可以不用万能置换公式. dxx4sin1dxxx)cot1(csc22 xdxxxdx222csccotcsc ( cot )dx .cot31cot3Cxx 结论结论 比较以上三种解法比较以上三种解法, 便知万能置换不便知万

14、能置换不一定是最佳方法一定是最佳方法, 故三角有理式的计算中故三角有理式的计算中先考虑其它手段先考虑其它手段, 不得已才用万能置换不得已才用万能置换.2021/8/629例例1111 求积分求积分.sin3sinsin1 dxxxx解解sinsin2sincos22ABABAB dxxxxsin3sinsin1 dxxxxcos2sin2sin1 dxxxx2cossin4sin1 dxxx2cossin141 dxx2cos1412021/8/6302221sincos4sincosxxdxxx dxx2cos141 dxxdxxxsin141cossin412 dxx2cos141 dxx

15、xdxsin141)(coscos1412 dxx2cos141xcos41 2tanln41x .tan41Cx 2021/8/6311、讨论类型、讨论类型),(nbaxxR ),(necxbaxxR 解决方法解决方法作代换去掉根号作代换去掉根号. .例例1212 求积分求积分 dxxxx11解解 令令txx 1,12txx )0( bcad nndcxbaxtbaxt或或令令三、简单无理函数的积分三、简单无理函数的积分2021/8/632,112 tx ,1222 ttdtdx dxxxx11 dttttt 222121 1222tdttdtt 11122Cttt 11ln2.11ln12

16、2Cxxxxx 2021/8/633例例1313 求积分求积分.1113 dxxx解解 令令16 xt,65dxdtt dxxx3111dtttt52361 dttt 163Ctttt |1|ln663223.)11ln(6131312663Cxxxx 说明说明 无理函数去根号时无理函数去根号时, 取根指数的取根指数的最小公倍数最小公倍数.2021/8/634例例1414 求积分求积分.1213 dxxxx解解先对分母进行有理化先对分母进行有理化原式原式 dxxxxxxxx)1213)(1213()1213( dxxx)1213()13(1331 xdx)12(1221 xdx.)12(31)

17、13(922323Cxx 2021/8/635由于由于 2222442abacabxacbxax22244,2abackabxu 222222,ukakuakua 若记若记则此二次三项式必属于以下三种情形之一：则此二次三项式必属于以下三种情形之一：因此上述无理根式的不定积分也就转化为因此上述无理根式的不定积分也就转化为: .,2222duukuRdukuuR2021/8/6362021/8/637例例15 求求 322xxxdx 4)1(4)1(22uuduxxdx)1( ux解解解法一按上述一般步骤，求得解法一按上述一般步骤，求得 dtan2)1sec2(tansec2)sec2( u)2t

18、an( t dttttd22211212cos2 Ctdtt 3arctan323222021/8/638.2tan31arctan32C 1sectancos1sin2tan ,132121222 xxxuuCxxx )1(332arctan32由于由于因此因此2021/8/639txxx 322,)1(232,)1(23222dttttdxttx 解法二解法二 若令若令则可解出则可解出.)1(2)32()1(2332222 ttttttxx dttttttttt2222)1(232)32()1(23)1(2Ctdtt 3arctan323222223arctan.33xxxC 于是所求不定积分化为有理函数的不定积分于是所求不定积分化为有理函数的不定积分2021/8/6403)1(332arctan332arctan22 xxxxxx注注1 可以证明可以证明 所以两种解法所得结果是一致的此外，所以两种解法所得结果是一致的此外，上述结果对上述结果对同样成立同样成立0 x 2021/8/641这类变换称为这类变换称为欧拉变