自动控制原理 第四章

1、4-1 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念4-2 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则4-3 广义根轨迹广义根轨迹第四章第四章 根轨迹法根轨迹法 主要内容主要内容1根轨迹基本概念和根轨迹方程根轨迹基本概念和根轨迹方程2绘制常规根轨迹的九大法则绘制常规根轨迹的九大法则3参量根轨迹与零度根轨迹参量根轨迹与零度根轨迹重重 点点1、绘制常规根轨迹的九大法则、绘制常规根轨迹的九大法则2、参量根轨迹与零度根轨迹、参量根轨迹与零度根轨迹3、控制系统根轨迹法分析、控制系统根轨迹法分析难难 点点根轨迹族与闭环极点的确定根轨迹族与闭环极点的确定重点与难点重点与难点第第4章章 根轨迹根轨迹 本章序言本章序言 前已

2、述及，闭环系统的动态性能与闭前已述及，闭环系统的动态性能与闭环极点在环极点在 s 平面上的位置密切相关。所以平面上的位置密切相关。所以 在分析系统的性能时，往往要求确定系统在分析系统的性能时，往往要求确定系统 的闭环极点的位置。另外，在分析或设计的闭环极点的位置。另外，在分析或设计 系统时，经常要研究一个或几个参量在一系统时，经常要研究一个或几个参量在一 定范围内变化时，对闭环极点的位置以及定范围内变化时，对闭环极点的位置以及 系统性能的影响。闭环极点就是特征根，系统性能的影响。闭环极点就是特征根， 为了求解特征根，需将特征多项式进行因为了求解特征根，需将特征多项式进行因第第4章章 根轨迹根轨

3、迹 式分解。但对于高阶系统不太容易，特别当系统某式分解。但对于高阶系统不太容易，特别当系统某一参数变化时，需要反复地进行计算，更是不现实。一参数变化时，需要反复地进行计算，更是不现实。所以伊万斯首先提出了求解特征根的图解方法所以伊万斯首先提出了求解特征根的图解方法根轨迹法。根轨迹法。 根轨迹根轨迹当系统某个参数变化时，闭环特征当系统某个参数变化时，闭环特征根在根在 s 平面上移动的轨迹平面上移动的轨迹。 根轨迹法是在已知系统的开环零、极点条件下，根轨迹法是在已知系统的开环零、极点条件下，绘制出系统闭环特征根在绘制出系统闭环特征根在 s 平面上随参数变化时运平面上随参数变化时运动的轨迹。动的轨迹

4、。 本章序言本章序言(续续)第第4章章 根轨迹根轨迹4 - 1 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念一一.根轨迹的定义：根轨迹的定义：1、定义：（前述）、定义：（前述）2、特点：既不需求解微分方程，也不需求解特征根，、特点：既不需求解微分方程，也不需求解特征根， 简便、直观，只要对根轨迹进行观察，就简便、直观，只要对根轨迹进行观察，就 可看出系统响应的主要特征。可看出系统响应的主要特征。 例例1:已知如图已知如图 系统系统.)15 . 0( ssKR(s)C(s)-第第4章章 根轨迹根轨迹 其中，其中，Kg Gk(s)用零、极点形式表示时的传递系数，用零、极点形式表示时的传递系数， 叫根轨迹增益。

5、叫根轨迹增益。可见可见: 开环传递函数的极点是：开环传递函数的极点是：p1= 0，p2= 2，没有，没有 零点。零点。)2()2(2) 15 . 0()( ssKssKssKsGgk令令1212KssK 0212 KsssDKKs2111112 .1 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念(续续)第第4章章 根轨迹根轨迹j0123-11p1p2 20021ssK15 . 021 ssKjsK 1,121 jsK1,21根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念(续续)21,5 . 221jsK 2-2可见：根轨迹图全面的描可见：根轨迹图全面的描述了述了K对对S1,2分布的影响。分布的影响。第第4章章 根轨迹根

6、轨迹 （1）K从从根轨迹均在根轨迹均在 s 左半平面，所以系统对左半平面，所以系统对 所有的所有的K值都稳定。值都稳定。（2）0K0.5，特征根为实数，过阻尼，无超调。，特征根为实数，过阻尼，无超调。（3）K=0.5，临界阻尼，也无超调。，临界阻尼，也无超调。（4）K0.5，共轭复数根，欠阻尼，衰减振荡。，共轭复数根，欠阻尼，衰减振荡。（5）在）在Gk中，有一个零值极点，系统为中，有一个零值极点，系统为1 型，阶跃型，阶跃 下下ess0。根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念(续续)这种方法虽直观，但高阶系统先求特征根再画根轨这种方法虽直观，但高阶系统先求特征根再画根轨迹不太现实，应通过闭环特征方程

7、找特征根。迹不太现实，应通过闭环特征方程找特征根。第第4章章 根轨迹根轨迹 绘制根轨迹的实质还是寻找特征方程绘制根轨迹的实质还是寻找特征方程1+GH =0的的 根，所以满足根，所以满足G(s)H(s)=-1的的s值，都必定在根轨值，都必定在根轨 迹上，则根轨迹方程为：迹上，则根轨迹方程为：GH =-1，即，即GK(s)= -1.1)()(11 niimjjgpszsKGH由于由于GH是复数是复数s的函数，故上式为一矢量的函数，故上式为一矢量 方程。方程。二、根轨迹方程：二、根轨迹方程：第第4章章 根轨迹根轨迹 幅（模幅（模 ）值方程）值方程。111 niimjjgpszsK mjjniigzs

8、psK11或或 ) 12()()(11 Kpszsmjniij而而相角方程相角方程根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念(续续)第第4章章 根轨迹根轨迹 若若s平面上的点是闭环极点，则它与平面上的点是闭环极点，则它与zj 、pi所组成所组成的相量必定满足上述两方程，而且模值方程与的相量必定满足上述两方程，而且模值方程与Kg有有关，而相角方程与关，而相角方程与Kg无关。所以满足相角方程的无关。所以满足相角方程的s值值代入模值方程中，总能求得一个对应的代入模值方程中，总能求得一个对应的Kg，即即s若满若满足相角方程，必定就满足模值方程。足相角方程，必定就满足模值方程。 绘制根轨迹只要依据相角方程足以，而

9、模值方程绘制根轨迹只要依据相角方程足以，而模值方程 用来确定根轨迹上各点对应的用来确定根轨迹上各点对应的Kg值。值。根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念(续续)相角方程是决定闭环根轨迹的充要条件。相角方程是决定闭环根轨迹的充要条件。第第4章章 根轨迹根轨迹4-2 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则 由于实际控制系统闭环特征方程的系数或为已知由于实际控制系统闭环特征方程的系数或为已知实数，或为根轨迹增益实数，或为根轨迹增益Kg 的函数，所以当的函数，所以当Kg 由由0连续变化时，闭环特征根的变化必然也是连续的，所连续变化时，闭环特征根的变化必然也是连续的，所以根轨迹具有连续性。以根轨迹具有连续

10、性。 系统闭环特征方程的系数仅与系统的参数有关。系统闭环特征方程的系数仅与系统的参数有关。对于实际控制系统而言，这些参数都是实数。具有实对于实际控制系统而言，这些参数都是实数。具有实系数的闭环特征方程的根为共轭复数的形式，必然对系数的闭环特征方程的根为共轭复数的形式，必然对称于实轴。因而，根轨迹也必然关于实轴对称。称于实轴。因而，根轨迹也必然关于实轴对称。一、根轨迹的连续性、分支数与对称性：一、根轨迹的连续性、分支数与对称性：绘制根轨迹的基本法则（续）绘制根轨迹的基本法则（续）二、根轨迹的起点和终点：二、根轨迹的起点和终点： 根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。根轨迹起始于开环极点，终止于开

11、环零点。 若若nm，则有，则有(n-m)条终止于无穷远处。条终止于无穷远处。 若若mn，则有，则有(m-n)条起始于无穷远处。条起始于无穷远处。 根轨迹在根轨迹在s平面上的分支数平面上的分支数=闭环特征方程的阶闭环特征方程的阶数。即数。即:分支数分支数=闭环极点数闭环极点数=开环极点数开环极点数n(nm)或或=开环零点数开环零点数m(mn)。42 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则证明：根轨迹的起点是指证明：根轨迹的起点是指Kg=0的根轨迹点，而终点的根轨迹点，而终点 是指是指Kg的根轨迹点。的根轨迹点。 01111 mjjgniiniimjjgkzsKpssDpszsKG42 绘制根轨

12、迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则1）当）当Kg=0时，有时，有s=pi，Kg=0时的闭环极点就是时的闭环极点就是绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则(续续) 开环极点。则根轨迹必起始于开环极点。开环极点。则根轨迹必起始于开环极点。2）变一个方程：）变一个方程： 当当Kg时，时，s=zj，即终止于开环零点。，即终止于开环零点。 0111 mjjniigzspsK42 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则 mnszspsKmnsmjjniisg limlim113）又）又绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则(续续) 所以有所以有(n-m)条终止于无穷远处。条终止于无穷远处。 nmsps

13、zsKnmsniimjjsg limlim11142 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则4）又）又 所以有所以有(m-n)条起始于无穷远处。条起始于无穷远处。绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则(续续) 三、实轴上的根轨迹：三、实轴上的根轨迹：实轴上根轨迹区段的右侧，实轴上的开环零、极实轴上根轨迹区段的右侧，实轴上的开环零、极 点数目之和应为奇数。点数目之和应为奇数。因为共轭复数零、极点向因为共轭复数零、极点向 根轨迹上的根轨迹上的s点所引的相角相互抵消，而点所引的相角相互抵消，而s左边的左边的 实数开环零、极点向实数开环零、极点向s引的相角为引的相角为0，只有，只有s右右 边的实数

14、开环零、极点向边的实数开环零、极点向s引的相角为引的相角为180， 当个数为奇数时才能为当个数为奇数时才能为。 k21800 42 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则(续续)四、根轨迹的渐近线：四、根轨迹的渐近线： 若若nm，当，当Kg时，有（时，有（n-m）条趋于无穷远）条趋于无穷远 处，它们趋向的方位由渐近线决定：处，它们趋向的方位由渐近线决定： mnka 1242 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则 渐近线与实轴正方向夹角：渐近线与实轴正方向夹角：依次取依次取k=0, 1, 2直到取（直到取（n-m）个）个 倾角倾角； 渐近线与实轴交点

15、的坐标：渐近线与实轴交点的坐标：mnzpmjjniia 11 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则(续续)有有3条趋于无穷远处条趋于无穷远处; ,511 sssKGk5, 1,0,331 ppmn解解：2351 a 00060,1180,160,0312aaaakkkk 42 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则例例 1：已知：已知 求渐近线求渐近线.绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则(续续)五、根轨迹的分离点五、根轨迹的分离点(汇合点汇合点)及分离角：及分离角： 几条根轨迹在几条根轨迹在s平面上相遇又分开平面上相遇又分开-汇合点或汇合点或 分离点。分离点。 若根轨迹位于实轴上两

16、相邻开环极点间则至少有一若根轨迹位于实轴上两相邻开环极点间则至少有一 个分离点（包括无穷远的极点）；个分离点（包括无穷远的极点）；若根轨迹位于实轴上两相邻开环零点间则至少有一个若根轨迹位于实轴上两相邻开环零点间则至少有一个汇合点（包括无穷远的点）；汇合点（包括无穷远的点）；由于根轨迹的对称性，分离点多位于实轴上，也可能由于根轨迹的对称性，分离点多位于实轴上，也可能是一些共轭点（此情况少）。是一些共轭点（此情况少）。42 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则(续续)分离点的计算：分离点的计算： ，、重重根根法法：sNsMKGgk 1 0 sMKsNsD

17、g则 0: sMKsNsDg重重根根时时有有42 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则)()(sMsNKg 联联立立以以上上方方程程： .sMsNsMsNsMsMsNsNds可可解解得得则则：00 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则(续续)1111nmijdidjspsz42 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则0180dk2、分离角的计算K相分离的根轨迹数目 求求其其分分离离点点。，：已已知知例例 32465422 sssKsssKGHgg01484131212 dddddsssss解解：42 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则 414. 5586. 221ddss解解得

18、得,090 d取取。而而在在根根轨轨迹迹上上，都都要要此此时时两两个个分分离离点点都都2ds-4-3-21ds0j绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则(续续) 531gkKsGs s例 ：051111则 dddsss051232 ddss42 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则 舍舍解解得得527. 3473. 021ddss2ds1ds-5-10j绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则(续续) 根轨迹与虚轴相交，表示闭环极点中有一部分根轨迹与虚轴相交，表示闭环极点中有一部分位于虚轴上，即闭环特征方程有纯虚根位于虚轴上，即闭环特征方程有纯虚根j, 系统系统处于临界稳定。处于临界稳定

19、。42 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则六、根轨迹与虚轴的交点：六、根轨迹与虚轴的交点：011 )()(jHjGjs，代代入入、将将 011 jHjGIjHjGRme则则有有 0101 jHjGIjHjGRme令令.cK及及对对应应的的解解出出 2.214gcgkKKKsssKsG，求求：例例 0230232323 ggKjjjjDKssssD 解解： 3, 6032, 00223 . 213cggKKK 42 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则(续续)2、用劳斯判据：、用劳斯判据： gggKsKsKss0123036321 42 绘制根轨

20、迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则60601 ggKKs，出出现现共共轭轭虚虚根根，令令时时，可可能能行行等等于于当当22, 06332, 122 ，即即辅辅助助方方程程：jssKsg 1、起始角：起始于开起始角：起始于开 环极点的根轨迹在环极点的根轨迹在 起点处的切线与水起点处的切线与水 平正方向的夹角称平正方向的夹角称 为起始角。如右图为起始角。如右图 所示系统：在靠近所示系统：在靠近 p2处取一点处取一点s1，则有，则有 )()()()()(1231211111kpspspssZ42 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则2j1p2p3p0z1s1七、根轨迹的起始角与终止角（出射角与入射

21、角）七、根轨迹的起始角与终止角（出射角与入射角） 42 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则。就就是是而而的的向向量量，向向量量变变为为引引向向的的开开环环零零、极极点点引引向向时时，则则各各无无限限靠靠近近当当p2212121 )-p(spsps 321212212ppppzpkp 即即2j1p2p3p0z1s1 nkiiikmjjkpkppzpk1112 故故有有绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则(续续)2 、终止角：终止、终止角：终止 于开环零点的根轨迹在终点处的切于开环零点的根轨迹在终点处的切 线与水平线正方向的夹角称为终止角。线与水平线正方向的夹角称为终止角。 mkjjjk

22、niikzzzpzkk1112: 同同理理可可得得42 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则(续续) 223252 sssssKsGgk：例例2,1, 3, 014 . 321 zjppp解解： 26.66.266.269013545180p40000003 p42 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则j3p0-14p-2-3013506 .2604506 .26090绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则(续续)八、根轨迹走向：根之和与根之积八、根轨迹走向：根之和与根之积 mnasasasbsbsbsKpszsKGnnnnmmmmgniimj

23、jgk 11111111设设 mjjmmmjjmzzzzbzzzzb1211211)()()(其其中中42 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则 niinnniimppppappppa1211211 nnnnnnnnnmmmmgnnnnssssssssssssssAsAsAsbsbsbsKasasassD 2112121111111111则则闭闭环环系系统统的的特特征征方方程程42 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则(续续) niinnniinssssAssssA1211211即即 111 g11,2apsKaAmnniinii 为为常常数数：

24、等等于于闭闭环环极极点点之之和和，且且无无关关，则则开开环环极极点点之之和和与与时时，当当42 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则(续续)因此，因此，Kg时（或时（或Kg时），若一部分闭环极点在时），若一部分闭环极点在 s平面上向右平面上向右 移，则另一部分闭环极点必向左移；移，则另一部分闭环极点必向左移； 对于任一对于任一Kg，闭环极点之和保持不变。（用以判断，闭环极点之和保持不变。（用以判断 根轨迹在根轨迹在s平面上的走向）。平面上的走向）。 。和和求求。现现用用根根之之和和及及根根之之积积，已已求求得得中中，：例例例例gg.gkKsKjsss

25、sKG3212, 16,2,21247 42 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则 302332123-sssKssssDg 解解：31233,sss 即31 2 3( 1)(2)(2)( 3)6gnKAs s sjj 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则(续续) (1)三条趋于无穷远处。三条趋于无穷远处。 (2)实轴上实轴上-2，0和和-，-3。 ，绘绘制制根根轨轨迹迹。：例例)22)(3()2(82 sssssKGgk1, 4, 2,1, 3, 0,314 . 321 mnzjpppKKg解解：42 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则11421133a jj ）（ 6 .26

26、6 .26906 .26135451804p40000003 p）起起始始角角：（绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则(续续) 026502685234234 ggggKsKjsjjjDKsKssssD 065028324 ggKK 34.2028.7614.1,03 .21KKg 解解得得：-10J-21.6-1.6-31-142 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则（5）无分离点。）无分离点。（6）与虚轴的交点：）与虚轴的交点：绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则(续续)1152314)7(aAmn 50287614.1432114.3 ssss.Kjs时时，现现已已知知42

27、绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则KAbnmn12, 2, 0a1 而而型型，又又因因为为系系统统为为 056.1415614. 1614. 14321421ssssAjjssn即即绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则(续续) 4 . 56 . 2056.14614. 1614. 1056.14056.145432121jjssssss即即有有例例9：已知开：已知开 环传递函数为环传递函数为 ， 且且 ，证明，证明K1从从0的根轨的根轨 迹在复平面上是个圆，并求圆心与半径。迹在复平面上是个圆，并求圆心与半径。 2111pspszsKGk 121ppz 42 绘制根轨迹的基本法则绘制根

28、轨迹的基本法则 422. 3578. 121ss解解得得绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则(续续)证明：由相角方程知：根轨迹上的点满足证明：由相角方程知：根轨迹上的点满足 0211180 pspszs闭环极点在复平面上时取闭环极点在复平面上时取 js 0211180 pjpjzj 0211111180 ptgptgztg 即即42 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则ABBAtgBtgAtg 1111利利用用公公式式绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则(续续) 2101121111801ptgpzpztg 则则有有两边取正切，并利用公式：两边取正切，并利用公式： tgAtgBtg

29、BtgABAtg 142 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则 222020221110101801180ppptgptgzzzp 21111221221122112112zpzzpppzzppzpz 整理有整理有 2211111211112221pzpzpzpzzpzpz 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则(续续) 0,1jz故故圆圆心心为为 2111pzpzR 半半径径为为42 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则例例10：已知：已知 ,5 . 01 . 011 sssKGk画根轨迹。画根轨迹。解：圆心在解：圆心在 （-1，j0）点，）点， 67. 01 . 015 . 01

30、 R33.067.011 ds故故67. 167. 012 ds-121-0.10j43 广义根轨迹广义根轨迹 在控制系统中，除根轨迹增益在控制系统中，除根轨迹增益K1以以外，其它情形外，其它情形 下的根轨迹统称为广义根轨迹。如参量根轨迹、零度下的根轨迹统称为广义根轨迹。如参量根轨迹、零度 根轨迹等。根轨迹等。 一、参量根轨迹：一、参量根轨迹： 理论上讲，可变参数可以选择系统的任何参数。理论上讲，可变参数可以选择系统的任何参数。 如开环零点、极点、时间常数和反馈系数等等。如开环零点、极点、时间常数和反馈系数等等。 1、基本概念：、基本概念： 1）当选）当选K1为可变参量时，特征方程为为可变参量

31、时，特征方程为 而且绘制根轨迹的相角、幅值条件和基本法则均而且绘制根轨迹的相角、幅值条件和基本法则均 是根据特征方程得到的。是根据特征方程得到的。 sNsMKpszsKGniimjjk1111111 43 广义根轨迹广义根轨迹广义根轨迹广义根轨迹(续续)2）若选其它参量为可变参数，可以利用等效传递函数）若选其它参量为可变参数，可以利用等效传递函数 （构造一个新系统，使其特征方程与原系统的特征（构造一个新系统，使其特征方程与原系统的特征 方程相同）的概念，将系统特征方程也转化为上式方程相同）的概念，将系统特征方程也转化为上式 的形式，以所选可变参量的形式，以所选可变参量a代替代替K1位置：位置：

32、则上面介绍的相角、幅值条件和绘制法则都依然有效。则上面介绍的相角、幅值条件和绘制法则都依然有效。 01 sQsaP43 广义根轨迹广义根轨迹例例1：单位反馈系统：单位反馈系统： ，当，当K1=4时，绘制时，绘制 开环极点开环极点p变化时的参量根轨迹。变化时的参量根轨迹。 pssKGk 1 04,4422 psssDpsss解解：0410422 ssppss142 ssp或或广义根轨迹广义根轨迹(续续) 42 spssGk2, 2, 0211jljlz 则则（用用极极值值法法）044222 ssssdsddsdp24042 . 122 sss则则j022243 广义根轨迹广义根轨迹 其中，其中，

33、 相当于某一开环传递函数，称为等效相当于某一开环传递函数，称为等效开环传递函数，参数开环传递函数，参数p称为等效根轨迹增益。称为等效根轨迹增益。 42 ssp广义根轨迹广义根轨迹(续续) 舍舍即即2221ddss时时，0 p 01K02121 .psKGk，故从原点分别向轴两端故从原点分别向轴两端延伸。此时，当延伸。此时，当 K1=4时时,s1,2=j2，正好是参量根轨迹的起点。，正好是参量根轨迹的起点。 43 广义根轨迹广义根轨迹广义根轨迹广义根轨迹(续续)0220p 01K41K41K2、绘制步骤：、绘制步骤：(1)列出原系统的特征方程。列出原系统的特征方程。(2)以特征方程中不含参量的项

34、去除特征方程，得到等以特征方程中不含参量的项去除特征方程，得到等效系统的根轨迹方程，该方程中原系统的参量为等效系统的根轨迹方程，该方程中原系统的参量为等效系统的根轨迹增益。效系统的根轨迹增益。(3)绘制等效系统的根轨迹，即为原系统的参量根轨迹。绘制等效系统的根轨迹，即为原系统的参量根轨迹。43 广义根轨迹广义根轨迹广义根轨迹广义根轨迹(续续) 3、根轨迹族：、根轨迹族： 系统有两个变化的参数，绘出的根轨迹叫根轨迹族。系统有两个变化的参数，绘出的根轨迹叫根轨迹族。 例：上述例子，绘制例：上述例子，绘制K1和和p从从0的参量根轨迹。的参量根轨迹。 取取K1为不同值，绘制参量为不同值，绘制参量p从从

35、0的参量根轨迹。的参量根轨迹。 对应于任一对应于任一K1值，都有两支参量值，都有两支参量 根轨迹根轨迹 ，起点在等效开环传递函数的极点，起点在等效开环传递函数的极点j ， 圆心在原点，半径为圆心在原点，半径为112 Kssp1K11,KsKRd 43 广义根轨迹广义根轨迹广义根轨迹广义根轨迹(续续) 当当p=0时，时， 所以虚轴都是所以虚轴都是 p=0时的起点。时的起点。j)0(p)0(p)0(p)0(ppp3412j443322110012 Ks有有121 sK则则43 广义根轨迹广义根轨迹广义根轨迹广义根轨迹(续续)取取p为不同值，绘制为不同值，绘制K1=0的根轨迹的根轨迹 : 对于任一对

36、于任一p值都有两支根轨迹，起值都有两支根轨迹，起 点分别在点分别在0和和-p。实轴上区段为。实轴上区段为 分离角为分离角为90 111 pssK ， p 043 广义根轨迹广义根轨迹，2psd 广义根轨迹广义根轨迹(续续)当当 K1=0时时, 有有 故所有负实数故所有负实数 都是都是K1=0时的起点。时的起点。1 sp02 pssj6432106p4p2p43 广义根轨迹广义根轨迹4、注意：、注意：用等效传递函数画参量根轨迹，只是为了用等效传递函数画参量根轨迹，只是为了 找到闭环极点，而闭环零点仍然要用原系统闭环找到闭环极点，而闭环零点仍然要用原系统闭环 零点，分析系统性能时一定要注意这一点。零点，分析系统性能时一定要注意这一点。广义根轨迹广义根轨迹(续续) 虽然控制系统均采用负反馈以使系统正常工虽然控制系统均采用负反馈以使系统正常工 作，但对于复杂系统可能会出现局部正反馈，有作，但对于复杂系统可能会出现局部正反馈，有 时是控制对象本身的特性，有时是为满足某种性时是控制对象本身的特性，有时是为满足某种性 能而附加的。能而附加的。43 广义根轨迹广义根轨迹 这时有这时有 所以根轨迹方程变为所以根轨迹方程变为 ，幅（模）值条件，幅（模）值条件 及相角方程及相角方程 与负反馈