现代控制原理-刘豹

第一章控制系统的状态空间表达式状态变量状态向量状态空间状态方程状态：表征系统运动的信息和行为状态变量：能完全表示系统运动状态的最小个数的一组变量由状态变量构成的向量x1(t)x2(t):xn(t)以各状态变量x1(t),x2(t),……xn(t)为坐标轴组成的几维空间。由系统的状态变量与输入变量之间的关系构成的一阶微分方程组。状态空间表达式状态方程和输出方程的总和即称为状态空间表达式。它构成对一个系统动态行为的完整描述。Y:输出向量 u:输入向量A:系数矩阵 B:控制矩阵（输入矩阵）C:输出矩阵 D:直接矩阵例1.2求图示R-L-C网络的状态空间表达式由物理模型建立状态空间表达式状态空间表达式的模拟结构图一阶标量微分方程的结构模拟图

1从状态空间表达式画系统模拟框图三阶微分方程：

将最高阶导数留在等式左边，上式可改成：

其模拟结构图如下：状态空间表达式的模拟结构图一、直接法由微分方程/传递函数求状态方程拉氏反变换由微分方程/传递函数求状态方程选取状态变量由微分方程/传递函数求状态方程一、并联法ci通过留数定理计算令则：对反变换：对反变换：由微分方程/传递函数求状态方程

由状态空间表达式求传递函数阵G(s)一、传递函数（阵）(假设相应变量的初始条件为0)拉氏变换：则意义：建立现代与经典的关系，从现代的状态方程的ABCD可求出传递阵（函数）传递函数

由状态空间表达式求传递函数阵G(s)系统的特征方程和特征根A的特征多项式等于传递函数的分母多项式|sI-A|传递函数的极点就是系统矩阵A的特征值。由差分方程设T=1输入仅有u(k)项，b0=1整个方程可以写为：

离散系统的状态空间表达式向量矩阵形式离散系统的状态空间表达式习题11、已知系统微分方程试将其变换为状态空间表达式,并画出模拟结构图。解：假设初始条件为零，系统微分方程的拉氏变换为：系统的传递函数：因此：习题1习题1习题2已知离散系统的差分方程为试求系统的状态空间表达式，并画出其模拟结构图。脉冲传递函数：解：假设初始条件为零，系统微分方程的Z变换为：因此：习题2习题22.1线性定常齐次状态方程的解(自由解)2.2矩阵指数函数——状态转移矩阵2.3线性定常系统非齐次方程的解2.4线性时变系统的解2.5离散时间系统状态方程的解2.6连续时间状态空间表达式的离散化2.1线性定常齐次状态方程的解(自由解)

所谓系统的自由解，是指系统输入为零时，由初始状态引起的自由运动。此时，状态方程为齐次微分方程：(1)若初始时刻

时的状态给定为则式(1)有唯一确定解：(2)若初始时刻从开始，即则其解为：(3)

证明

和标量微分方程求解类似，先假设式(1)的解为的矢量幂级数形式，即(4)代入式(1)得：(5)

既然式(4)是式(1)的解，则式(5)对任意时刻都成立，故的同次幂项的系数应相等，有：在式(4)中，令，可得：将以上结果代入式(4)，故得：(6)

等式右边括号内的展开式是矩阵，它是一个矩阵指数函数，记为，即(7)于是式(6)可表示为：再用代替即在代替的情况下，同样可以证明式2)的正确性。2.2矩阵指数函数——状态转移矩阵2.2.1状态转移矩阵齐次微分方程(1)的自由解为：或1．性质一这就是组合性质，它意味着从转移到0，再从0转移到的组合。或(1)2.2.2状态转移矩阵(矩阵指数函数)的基本性质即2.性质二或(2)3.性质三或(3)4.性质四或(4)这个性质说明，矩阵与A矩阵是可以交换的。5.性质五

对于方阵A和B，当且仅当AB=BA时，有而当AB≠BA是，则

这个性质说明，除非距阵A与B是可交换的，它们各目的矩阵指数函数之积与其和的矩阵指数函数不等价。这与标量指数函数的性质是不同的。2.2.3几个特殊的矩阵指数函数1．若A为对角线矩阵，即(5)则(6)2.若A能够通过非奇异变换予以对角线化，即则(7)3.若A为约旦矩阵则(8)4.若(9)1.根据的定义直接计算2.变换A为约旦标准型（1）A特征根互异其中T是使A

变换为对角线矩阵的变换阵。由式（7），有：2.2.4

的计算3.利用拉氏反变换法求(10)证明齐次微分方程两边取拉氏变换即故4.应用凯莱—哈密顿定理求对上式两边取拉氏反变换，从而得到齐次微分方程的解：（1）由凯莱—哈密顿定理，方阵A满足其自身的特征方程，即所以有它是的线性组合。同理以此类推，都可用线性表示。(2)在定义中，用上面的方法可以消去A的n及n以上的冥次项，即（11）（3）的计算公式A的特征值互异时，则

证明根据A满足其自身特征方程的定理，可知特征值和A

是可以互换的，因此，也必须满足式（11），从而有：（12）上式对求解，记得式（12）。A的特征值均相同，为时，则证明同上，有：(13)上式对，求异数，有：再对求异数，有：重复以上步骤，最后有：由上面的n个方程，对求解，记得公式（13）。2.3线性定常系统非齐次方程的解

现在讨论线性定常系统在控制作用作用下的强制运动。此时状态方程为非齐次矩阵微分方程：当初始时刻

初始状态时，其解为：式中，。（1）（2）当初始时刻为初始状态为时，其解为：式中，。（3）证明采用类似标量微分方程求解的方法，将式（1）写成：等式两边同左乘，得：即（4）对式（4）在上间积分，有：整理后可得式（2）：同理，若对式（4）在上积分，即可证明式（3）。式（2）也可从拉氏变换法求得，对式（1）进行拉氏变换，有：即上式左乘，得：（5）注意式（5）等式右边第二项，其中：两个拉氏变换函数的积是一个卷积的拉氏变换，即以此代入式（5），并取拉氏反变换，即得：

在特定控制作用下，如脉冲函数、阶跃函数和斜坡函数的激励下，则系统的解式（2）可以简化为以下公式：1.脉冲响应即当时2.阶跃响应即当时3.斜坡响应即当时（6）（7）（8）2.4线性时变系统的解2.4.1时变系统状态方程解的特点为了讨论时变系统状态方程的求解方法，现在先讨论一个标量时变系统：采用分离变量法，将上式写成：对上式两边积分得：（1）因此（2）或者写成：

仿照定常系统齐次状态方程的求解公式，式(2)中的也可以表示为状态转移矩阵，不过这时状态转移矩阵不仅是时间t的函数，而且也是初始时刻t。的函数。故采用符号来表示这个二元函数：（3）于是式(2)可写成：（4）能否将式(3)这个关系式也推广到矢量方程：遗憾的是，只有当满足乘法可交换条件，上述关系才能成立。现证明如下：使之有（5）如果是齐次方程的解，那么必须满足：（6）把展开成幂级数：上式两边对时间取导数：(7)(8)(9)把式(7)两边左乘有：比较式(8)和式(9)，可以看出，要使成立，其必要和充分条件是：（10）

即是乘法可交换的。但是，这个条件是很苛刻的一般是不成立的。从而时变系统的自由解，通常不能像定常系统那样写成一个封闭形式。2.4.2线性时变齐次矩阵微分方程的解

尽管线性时变系统的自由解不能像定常系统那样写成一个封闭的解析形式，但仍然能表示为状态转移的形式。对于齐次矩阵微方程：（11）其解为：（12）

式中，类似于前述线性定常系统中的，它也是非奇异方阵，并满足如下的矩阵微分方程和初始条件：（13）（14）证明将解式(12)代入式(11)，有即又在解式(12)中令，有：即

这就证明了，满足式(13)、式(14)的,按式(12)所求得的是齐次微分方程(11)的解。2.4.3状态转移矩阵基本性质与线性定常系统的转移矩阵类似，同样有：因为：且故式(15)成立。2），见式（14）。（15）1）3）（16）因为从式(14)和式(15)可得：或那么无论右乘，或左乘，式(16)都成立，故是非奇异阵，其逆存在，且等于。4）见式（13）。在这里，一般是不能交换的。2.4.4线性时变系统非齐次状态方程式的解线性时变系统的非齐次状态方程为：且的元素在时间区间内分段连续，则其解为：（17）（18）证明线性系统满足叠加原理，故可将式(17)的解看成由初始状态的转移和控制作用激励的状态的转移两部分组成。即（19）代入式(17)，有：即可知：在t。～t区间积分，有：于是

在式(19)中令，并注意到中，可知，这样由上式即可得到式(18)。2.4.5状态转移矩阵的计算因为A是常数矩阵，所以上式直接表示为：在定常系统中，齐次状态方程的解是：式中，，只与有关。在时变系统中，齐次状态方程的解，一般的表示为：前已证明，只有当是可交换时，即（20）才有：在一般情况下

对于不满足式(20)的时变系统，的计算，一般采用级数近似法，即（21）

这个关系式的证明是十分简单的，只需验证它满足式(13)的矩阵方程和式(14)的起始条件即可。可知式(21)满足式(13)和式(14)。2.5离散时间系统状态方程的解2.5.1递推法线性定常离散时问控制系统的状态方程为：这个一阵差分方程的解为：或（1）即（2）2.5.2Z变换法对于线性定常离散系统的状态方程，也可以来用Z变换法来求解。

设定常离散系统的状态方程是：对上式两端进行Z变换，有：或所以：对上式两端取Z的反变换，得：(3)对式2)和式(3)比较，有：（4）（5）

如果要获得采样瞬时之问的状态和输出，只需在此采样周期内，即在内，利用连续状态方程解的表达式：

为了突出地表示f的有效期在，可以令(这里0≤△≤1)于是上式变成：（6）

显然，这个公式的形式和离散状态方程是完全一致的，如果使△的值在0和1之间变动，那么便可获得采样瞬时之间全部的状态和输出信息。将式(2)和式(3)比较，有（7）（8）二者形式上虽有不同，但实际上是完全一样的。2.6连续时间状态空间表达式的离散化2.6.1离散化方法对于连续时间的状态空间表达式：将其离散化之后．则得离散时间状态空问表达式为：C和D则仍与式(1)中的一样。（1）（2）式中（4）（3）2.6.2近似离散化

在采样周期T较小时，一般当其为系统最小时间常数的l/10左右时，离散化的状态方程可近似表示为：（5）也就是说：（6）（7）证明根据导数的定义：以此代入中，得现讨论这一段的导数，有：整理后，即得式(5)。2.6.3线性时变系统的离散化1．线性时变系统离散化设原系统状态空间表达式为：离散化之后的状态空间表达式为：

仿照时不变系统的证明方法，可以求出上式中的七，这里直接写出其结果如下：（8）（11）（9）（10）

式中，区段内的状态转移矩阵，可以在附近用泰勒级数展开作近似计算：（12）考虑到的下列性质：

将以上诸式代人式(12)，并在T很小时忽略T

的二次幂以上的高阶项，可得的近似计算式：（13）据此，按式(11)不难求得。也可仿本节中介绍的近似离散化的方法，得近似的计算公式如下：（15）（14）2．离散化时变状态方程的解仿离散化定常状态方程解式时变状态方程式(9)的解为：（16）（17）式中，应满足以下条件：本章完3.1能控性的定义3.2线性定常系统的能控性判别3.3线性连续定常系统的能观性3.4离散时间系统的能控性与能观性3.5时变系统的能控性与能观性3.6能控性与能观性的对偶关系3.7状态空间表达式的能控标准型与能观标准型3.8线性系统的结构分解3.9传递函数阵的实现问题3.10传递函数中零极点对消与状态能控性和能观性之间的关系3.1能控性的定义1．线性连续定常系统的能控性定义线性连续定常系统：

如果存在一个分段连续的输入，能在有限时间区间内，使系统由某一初始状态,转移到指定的任一终端状态工，则称此状态是能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称此系统是状态完全能控的，或简称系统是能控的。几点说明：1)在线性定常系统中，为简便计，可以假定初始时刻，初始状态为，而任意终端状态就指定为零状态。即2)也可以假定=0，而工为任意终端状态，换句话说，若存在一个无约束控制作用，在有限时间内，能将由零状态驱动到任意。在这种情况下，称为状态的能达性。3)在讨论能控性问题时，控制作用从理论上说是无约束的，其取值并非唯一的，因为我们关心的只是它能否将驱动到，而不计较的轨迹如何。2．线性连续时变系统的能控性定义线性连续时变系统：3．离散时间系统这里只考虑单输入的n阶线性定常离散系统：3.2线性定常系统的能控性判别3.2.1具有约旦标准型系统的能控性判别1．单输入系统具有约旦标准型系统矩阵的单输入系统，状态方程为：

线性定常系统能控性判别准则有两种形式，一种是先将系统进行状态变换，把状态方程化为约旦标准型，再根据阵，确定系统的能控性；另一种方法是直接根据状态方程的A

阵和B

阵，确定其能控性。或式中(2)(1)

为简明起见，下面列举三个具有上述类型的二阶系统，对其能控性加以剖析。(3)(4)(5)1)对于式(3)的系统，系统矩阵A为对角线型，其标量微分方程形式为：(6)(7)2)对于式(4)的系统，系统矩阵A为约旦型，微分方程组为：3)对于式(5)的系统，系统矩阵虽也为约旦型，但控制矩阵第二行的元素却为0，其微分子方程组为：(8)(9)(10)(11)2．具有一般系统矩阵的多输入系统系统的状态方程为：(12)3.2.2直接从A与B判别系统的能控性1．单输入系统线性连续定常单输入系统：其能控的充分必要条件是由A、b构成的能控性矩阵：满秩，即。否则，当时，系统为不能控的。2．多输入系统对多输入系统，其状态方程为：其能控的充分必要条件是矩阵：式中,B为阶矩阵；为r维列矢量。的秩为。(14)(15)3.3线性连续定常系统的能观性3.3.1能观性定义

能观性所表示的是输出反映状态矢量的能力，与控制作用没有直接关系，所以分析能观性问题时，只需从齐次状态方程和输出方程出发，即如果对任意给定的输入，在有限观测时间,使得根据期间的输出能唯一地确定系统在初始时刻的状态则称状态是能观测的。若系统的每一个状态都是能观测的，则称系统是状态完全能观测的，或简称是能观的。(1)3.3.2定常系统能观性的判别

定常系统能观性的判别也有两种方法，一种是对系统进行坐标变换，将系统的状态空间表达式变换成约旦标准型，然后根据标准型下的C阵，判别其能观性，另一种方法是直接根据A阵和C阵进行判别。1．转换成约旦标准型的判别方法线性时不变系统的状态空问表达式为：现分两种情况叙述如下：(1)A为对角线矩阵(2)这时式(2)用房承租形式表示，可有：(3)(4)从而可得结构图如图所示。将式(3)带入输出方程式(4)，得：(2)A为约旦标准型矩阵以三阶为例：这时，状态方程的解为：从而(5)

由式(5)可知，当且仅当输出．矩阵C中第一列元素不全为零时，y(t)中总包含着系统的全部自由分量而为完全能观。2．直接从A、C阵判断系统的能观性

约旦标准型系统具有串联型的结构，如图所示：

3.4线性离散系统的能控性与能观测性

离散时间系统的能控性和能观测性概念与连续时间系统的能控性和能观测性概念类似,为了使所阐述的概念更具代表性,本节基于线性时变离散系统给出能控性、能观测性的定义,但仅限于对线性定常离散系统的能控性、能观测性进行分析。3.4.1线性离散系统能控性定义3.4.2线性定常离散系统能控性的秩判据3.4.3线性离散系统能观测性定义3.4.4线性定常离散系统能观测性的秩判据3.4.5离散化系统能控性、能观测性与采样周期的关系

3.4.1线性离散系统能控性定义

线性时变离散系统的状态方程为

,(3-193)

为离散时间定义区间。对于离散初始时刻和任意的非零初始状态，如果存在时刻和对应的输入u(k)，使得在输入作用下，系统从h时刻的状态x(h)=x0出发，能在l时刻上到达原点，即x(l)=0，则称系统在时刻h是状态完全能控的,简称系统能控。

3.4.2线性定常离散系统能控性的秩判据

设线性定常离散系统的状态方程为

,,(3-194)式中,x为n维状态向量，u为r维输入向量,G为系统矩阵,H为输入矩阵。则系统状态完全能控的充分必要条件是如下能控性判别矩阵

(3-195)满秩,即

(3-196)

证明

由离散系统状态方程的递推求解公式得

(3-197)

设在第l步能使任意初始状态x0转移到零,于是，式(3-197)写成

即

(3-198)

(3-199)写成向量形式

(3-200)

从式(3-200)解出输入u的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵的秩相等,即(3-201)

因为是非零向量,所以,欲使式(3-201)成立，必须使

(3-202)

根据定义，欲使系统能控，系统的G,H矩阵应满足式（3-202）的条件。

对于单输入系统,H为矩阵,欲使式(3-202)成立的l值必须大于或等于n。可以证明,对于单输入离散系统，若不能使初始状态第n步转移到零，则在第n步以后各步也不能转移到零,于是上式中的l应取为n。于是，对于单输入离散系统状态完全能控的充分必要条件是

（3-203）

对于多输入系统，矩阵是维矩阵，其秩等于n时，l的取值取决于H阵的秩。若

,这时多输入系统和单输入系统一样l=n，若，则l取值可以小于n。

考虑到上述两种情况,统一规定l=n。于是,多输入离散系统状态完全能控的充分必要条件是

(3-204)

证毕。

【例3-26】设单输入线性定常离散系统状态方程为

试判断系统的能控性；若初始状态，确定使的控制序列；研究使的可能性。

解

由题意知

,

系统能控性判别矩阵的秩为

故系统能控。

令,可得状态序列

令,有下列方程组

因能控判别阵非奇异,故上式系数矩阵也是非奇异的,则有如下解

若令x(2)=0,解下列方程组

可见,其系数矩阵的秩为2，但增广矩阵

的秩为3，两个秩不等，方程组无解，故不能在第二个采样周期内使给定初始状态转移至原点。3.4.3线性离散系统能观测性定义

线性时变离散系统

,(3-205)式中,x为n维状态向量，u为r维输入向量，y为m维输出,为离散时间定义区间。对于指定的离散初始时刻和任意的非零初始状态，如果存在一个离散时刻，l>h，若能根据测量的惟一地确定出，则称系统在时刻h是状态完全能观测的，简称系统能观测。

3.4.4线性定常离散系统能观测性的秩判据

设线性定常离散系统在输入u=0时的齐次状态方程和输出方程分别

,,（3-206）（3-207）式中,x为n维状态向量，y为m维输出,G为系统矩阵,C为输出矩阵。则系统状态完全能观测的充要条件是能观测性判别矩阵(3-208)

满秩，

即

(3-209)

证明

根据状态方程(3-206)的递推求解式，有

将上述个方程写成向量形式有

(3-210)

(3-211)式(3-211)是由mn个关于n个未知变量的方程所组成的线性方程组,x0有惟一解的充分必要条件是其系数矩阵的秩等于n

,即3.4.5离散化系统能控性、能观测性与采样周期的关系

设线性定常连续系统

为

,（3-212）系统的特征值为

,,,

其中,可为单特征值或重特征值。

采用时域中采样保持的离散化方法(采样周期为T,保持器为零阶保持器)将连续系统离散化为离散系统,即

(3-213)式中,,(3-214)

结论1若线性定常连续系统完全能控，则对应的离散化系统保持能控的充分条件为对满足,（3-215）的一切特征值，使采样周期T满足如下关系式

,(3-216)

结论2若线性定常连续系统完全能观测，则对应的离散化系统保持能观测的充分条件为对于满足(3-217)

,的一切特征值，使采样周期T满足如下关系式

,(3-218)【例3-28】设连续系统的状态空间表达式为

分析系统离散化前后的能控、能观测性。

解

连续系统的能控、能观测性判别矩阵及秩分别为

,,

可见该连续系统能控且能观测。

连续系统的特征值为:

将连续系统离散化,据式(3-214)得

离散化系统的状态空间表达式为

根据上述结论1、2,若选择采样周期T的值满足下式

即时离散化系统能控且能观测。

实际上，也可对离散化系统直接应用秩判据,即

可见，只要选择采样周期使其满足,则满秩,离散化系统能控且能观测。

3.6能控性与能观性的对偶关系

能控性与能观性有其内在关系，这种关系是由卡尔曼提出的对偶原理确定的，利用对偶关系可以把对系统能控性分析转化为对其对偶系统能观性的分析。从而也沟通了最优控制问题和最优估计问题之间的关系。3.6.1线性系统的对偶关系有两个系统，一个系统为：另一个系统：为：若满足下述条件，则称与是互为对偶的。式中，为维状态矢量；各为r与m维控制矢量；各为与维输出矢量；为系统矩阵；各为，与，维控制矩阵；各为与维输出矩阵。3.6.2对偶原理3.6.3时变系统的对偶原理

时变系统的对偶关系和定常系统稍有不同，且其对偶原理的证明也复杂得多。

对偶原理是现代控制理论中一个十分重要的概念，利用对偶原理可以把系统能控性分析方面所得到的结论用于其对偶系统，从而很容易地得到其对偶系统能观性方面的结论。

系统和是互为对偶的两个系统，则的能控性等价于的能观性，的能观性等价于的能控性。或者说，若是状态完全能控的(完全能观的)，则是状态完全能观的(完全能控的)。3.6.1单输入系统的能控标准型

在第1章曾得出n阶严格有理真分式传递函数

(3-100)的能控标准型实现为

(3-101)

式(3-101)中,系统矩阵和输入矩阵对(A,B)具有标准结构(列向量B中最后一个元素为1,而其余元素为零;A为友矩阵。),易证与其对应的能控性判别矩阵是一个主对角元素均为1的右下三角阵,故,,即系统一定能控。因此,若单输入系统状态空间表达式中的系统矩阵和输入矩阵对(A,B)具有形如式(3-101)中的标准形式,则称其为能控标准型,且该系统一定是状态完全能控的。

一个能控系统,当其系统矩阵和输入矩阵对(A,B)不具有能控标准型时,一定可以通过适当的线性非奇异变换化为能控标准型。

设单输入线性定常系统

（3-102）

能控,式中A,B分别为矩阵,且系统的特征多项式为

(3-103)

则存在

（3-104）

(3-105)

将式（3-102）变换为能控标准型

(3-106)

式中

,(3-107)

（3-108）

而将式(3-105)代入式(3-108)可得中的，即

（3-109）

证明

因为系统能控，故n个n维列向量B

,AB,线性独立,则按下列组合方式构成的n个新向量也是线性独立的,即

(3-110)式中,由矩阵A的特征多项式

所确定。

引入非奇异变换,且以为列向量构造变换阵,即

(3-111)

因变换后的系统矩阵为

(3-112)

则有(3-113)由式(3-110)得

根据凯莱–哈密顿定理有

故

将以上代人式(3-113)得

因为

所以证得

又因为变换后的输入阵

则

将式(3-110)中代人上式得

所以证得

且将式(3-110)代入式(3-111)证得

证毕。

实现能控标准型变换的核心在于构造非奇异变换阵。可以证明,引入非奇异变换,将状态完全能控的单输入系统式(3-102)变换为能控标准型式(3-106)的变换矩阵的逆矩阵可表达为

(3-114)式中，行向量为式(3-102)的能控判别阵的逆矩阵的最后一行，即

（3-115）

采用式(3-106)的单输入单输出系统,容易求出其传递函数,即

(3-116)

从式(3-116)可以看出，传递函数分母多项式的各项系数是能控标准型系统阵的最后一行对应元素的负值，分子多项式的各项系数是输出阵的对应元素。另一方面,根据传递函数的分母、分子多项式的系数，也可直接写出如式(3-106)所示的能控标准型的实现。

【例3-17】试将下列状态空间表达式变换成能控标准型,并求系统的传递函数

解

变换前系统能控判别矩阵

因为

,故系统是能控的，可化为能控标准型。

又因为系统的特征多项式为

故

,,

引入,其中非奇异变换阵由式(3-105)得

则

也可根据式(3-114)先求变换阵的逆矩阵。由式(3-115)得

由式(3-114)得的逆矩阵为

则

变换后所得能控标准型为

其中

,

由能控标准型,据式(3-116)可直接写出系统的传递函数

3.6.2单输出系统的能观测标准型

在第1章曾得出n阶严格有理真分式传递函数(3-117)的能观测标准型实现为

(3-118)

能观测标准型系统一定是状态完全能观测的。

一个能观测系统,当其系统矩阵和输出矩阵对(A,C)不具有能观测标准型时,一定可以通过适当的非奇异变换化为能观测标准型。

设单输出线性定常系统

（3-119）

能观测,式中A,C分别为矩阵,且系统的特征多项式为

(3-120)则存在线性非奇异变换

（3-121）

变换矩阵的逆矩阵

(3-122)

将式（3-119）变换为能观测标准型

(3-123)其中

（3-124）

（3-125）

（3-126）

与能控的单输入系统能控标准型变换对应,可以证明,引入非奇异变换,将状态完全能观测的单输出系统(3-119)变换为能观测标准型式(3-123)的变换矩阵可表达为

(3-132)式中，列向量为式(3-119)的能观测判别阵的逆矩阵的第n列，即

(3-133)

对采用式(3-123)所示能观测标准型的单输入单输出系统,可直接写出其传递函数为

(3-134)

从式(3-134)可以看出，传递函数分母多项式的各项系数是能观测标准型系统矩阵的最后一列对应元素的负值，分子多项式的各项系数是输入阵的对应元素。另一方面,根据传递函数的分母、分子多项式的系数，也可直接写出如式(3-123)所示的能观测标准型的实现

。

【例3-18】试将例3-17中的状态空间表达式变换为能观测标准型

解

因为,故系统是能观测的，可化为能观测标准型。

引入,其中非奇异变换阵的逆矩阵由式(3-122)得

则

也可根据式(3-132)先确定变换阵,再由矩阵求逆得。由式(3-133)得

据式(3-132)得

则

变换后所得能观测标准型为

其中,,

3.7系统能控性和能观测性的对偶原理3.7.1线性系统的对偶关系

有两个系统，设系统的状态空间表达式为

(3-135)

(3-136)若满足下述条件则称与是互为对偶系统。

3.7状态空间表达式的能控标准型与能观标准型3.7.1单输入系统的能控标准型如果系统是状态完全能控的，即满足：

对于一般的维定常系统：1．能控标准型(1)若线性定常单输入系统：是能控的，则存在线性非奇异变换：(2)(3)使其状态空间表达式(1)化成：(4)其中(5)

如式(4)的状态空间表达式为能控标准型。其中，为特征多项式：的各项系数。若线性定常单输入系统：2.能控标准型(6)相应的状态空间表达式(6)转换成：(7)是能控的，则存在线性非奇异变换：(8)其中(9)(10)(11)并称形如式(8)的状态空间表达式为能控标准型。式(9)中的是系统特征多项式：的各项系数，亦即系统的不变量。

式(11)中的是相乘的结果，即：(12)3.7.2单输出系统的能观标准型

与变换为能控标准型的条件相似，只有当系统是状态完全能观时，即有：系统的状态空间表达式才可能导出能观标准型。若线性定常系统：是能观的，则存在非奇异变换：(13)(14)1．能观标准型

态空间表达式的能观标准型也有两种形式，能观标准型和能观标准，它们分别与能控标准型和能控标准型相对偶。使其状态空间表达式(13)化成：(15)其中(16)(17)(18)

称形如式(15)的状态空间表达式为能观标准型。其中是矩阵A的特征多项式的各项系数。取变换阵：直接验证，或者用对偶原理来证明。证明过程如下：首先构造的对偶系统然后写出对偶系统的能控标准型，∑的状态空间表达式的能观标准型即是的能控标准型，即(19)

的能控标准I型对应的系数阵；2．能观标准型(20)若线性定常单输出系统：是能观的，则存在非奇异变换

式中，为系统的能控标准II型对应的系数阵；(21)

的对偶系统的能控标准型对应的系数阵。为系统为系统使其状态空问表达式(20)变换为：(22)其中(23)(24)(25)称形如式(22)的状态空间表达式为能观标准型。3.8线性系统的结构分解3.8.1按能控性分解设线性定常系统(1)是状态不完全能控，其能控性判别矩阵：的秩则存在非奇异变换：(2)将状态空间表达式(1)变换为：(3)其中(4)(5)(6)

可以看出，系统状态空间表达式变换为式(3)后，系统的状态空间就被分解成能控的和不能控的两部分，其中维子空问：是能控的，而维子系统：

是不能控的。对于这种状态结构的分解情况如图所示，因为对不起作用，仅作无控的自由运动。显然，若不考虑维子系统，便可得到一个低维的能控系统。至于非奇异变换阵：(7)

其中个列矢量可以按如下方法构成，前个列矢量是能控性矩阵M中的个线性无关的列，另外的个列在确保为非奇异的条件下，完全是任意的。3.8.2按能观性分解设线性定常系统：其状态不完全能观的，其能观性判别矩阵的秩(8)则存在非奇异变换：(9)将状态空间表达式(8)变换为：(10)其中(11)(12)(13)可见，经上述变换后系统分解为能观的，维子系统：结构图如下。显然，若不考虑维不能观测的子系统，便得到一个。维的能观系统。和不能观的，维子系统：非奇异变换阵是这样构成的，取(14)3.8.3按能控性和能观性进行分解1)如果线性系统是不完全能控和不完全能观的，若对该系统同时按能控性和能观性进行分解，则可以把系统分解成能控且能观、能控不能观、不能控能观、不能控不能观四部分。当然，并非所有系统都能分解成有这四个部分的。2)变换矩阵R确定之后．只需经讨一次变换便可对系统同时按能控性和能观性进行结构分解．但是R阵的构造需要涉及较多的线性空间概念。3)结构分解的另一种方法：先把待分解的系统化约旦标准型，然后按能控判别法则和能观判别状态变量的能控型和能观性，最后按能控能观、能控不能观、不能控能观、不能控不能观四种类型分类排列，即可组成相应的子系统。3.9传递函数阵的实现问题3.9.1实现问题的基本概念对于给定传递函数阵

W(s)，若有一状态空间表达式∑：则称该状态空间表达式∑为传递函数阵W(s)的一个实现。使之成立3.9.2能控标准型实现和能观标准型实现(1)3.7节已经介绍，对于一个单输入单输出系统，一旦给出系统的传递函数，便可以直接写出其能控标准型实现和能观标准型实现。本节介绍如何将这些标准型实现推广到多输入多输出系统。为此，必须把维的传递函数阵写成和单输入单输出系统的传递函数相类似的形式，即式中，为维常数阵；分母多项式为该传递函数阵的特征多项式。

显然W(s)是一个严格真有理分式的矩阵，且当时，W(s)对应的就是单输入单输出系统的传递函数。(2)对于式形式的传递函数阵的能控标准型实现为：(3)(4)(5)与此类推，其能观标准型实现为：(6)(7)(8)式中，和。为阶零矩阵和单位矩阵；为输入矢量的维数。3.9.3最小实现1.最小实现的定义传递函数W(s)的一个实现：如果W(s)不存在其它实现：(9)(10)使的维数小于的维数，则称式(9)的实现为最小实现。2.寻求最小实现的步骤传递函数阵W(s)的一个实现∑：为最小实现的充分必要条件是∑(A，B，C)既是能控的又是能观的：

这个定理的证明从略。根据这个定理可以方便的确定任何一一个具有严格的真有理分式的传递函数阵W(s)的最小实现。一般可以按照如下步骤来进行。1)对给定传递函数阵W(s)，先初选出一种实现∑(A，B，C)：通常最方便的是选取能控标准型实现或能观标准型实现。2)对上面初选的实现∑(A，B，C)，找出其完全能控且完全能观部分，于是这个能控能观部分就是W(s)的最小实现。3.10传递函数中零极点对消与状态能控性和能观性之间的关系

既然系统的能控且能观性与其传递函数阵的最小实现是同义的，那么能否通过系统传递函数阵的特征来判别其状态的能控性和能观性呢?可以证明，对于单输入系统、单输出系统或者单输人单输出系统．要使系统是能控并能观的充分必要条件是其传递函数的分子分母间没有零极点对消。可是对于多输人多输出系统来说，传递函数阵没有零极点对消，只是系统最小实现的充分条件，也就是说，即使出现零极点对消，这种系统仍有可能是能控和能观的。对于一个单输入单输出系统∑(A，b，c)欲使其是能控并能观的充分必要条件是传递函数的分子分母问没有零极点对消。(1)(2)本章完4.2李雅普诺夫第一法4.1李雅普诺夫关于稳定性的定义4.3李雅普诺夫第二法4.4李雅普诺夫方法在线性系统中的应用4.5李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用第四章稳定性和李雅普诺夫方法4.1李雅普诺夫关于稳定性的定义4.1.1系统状态的运动及平衡状态设所研究系统的齐次状态方程为（1）

式中，为维状态矢量；为与同维的矢量函数，它是工的各元素和时间的函数。一般地，为时变的非线性函数。如果不显含，则为定常的非线性系统。设方程式(1)在给定初始条件下，有唯一解：（2）式中，为表示在初始时刻时的状态；是从开始观察的时间变量。

式(2)实际上描述了系统式(1)在n维状态空间中从初始条件出发的一条状态运动的轨迹，简称系统的运动或状态轨线。

若系统式(1)存在状态矢量

，对所有，都使：成立，则称为系统的平衡状态。（3）

对于一个任意系统，不一定都存在平衡状态，有时即使存在也未必是唯一的，例如对线性定常系统：

当A为非奇异矩阵时，满足的解是系统唯一存在的一个平衡状态。而当A为奇异矩阵时，则系统将有无穷多个平衡状态。（4）（2）（1）

对非线性系统，通常可有一个或多个平衡状态。它们是由方程式(3)所确定的常值解．例加系系统：就有三个平衡状态：

由于任意一个已知的平衡状态，都可以通过坐标变换将其移到坐标原点处。所以今后将只讨论系统在坐标原点处的稳定性就可以了。4.1.2稳定性的几个定义

若用表示状态矢量与平衡状态的距离，用点集示以为中心为半径的超球体，那么，则表示：（5）式中，为欧几里德范数。在n维状态空间中，有：（6）

当很小时，则称为的邻域。因此，若有，则意味着同理，若方程式(1)的解位于球域内，便有：（7）

式(7)表明齐次方程式(1)内初态或短暂扰动所引起的自由响应是有界的。李雅普诺夫根据系统自由响应是否有界把系统的稳定性定义为四种情况。1．李雅普诺夫意义下稳定2．渐近稳定3．大范围渐近稳定4．不稳定4.2.2范数

n维状态空间中，向量x的长度(即x到坐标原点的距离)称为向量x的范数，并用表示，即

(4-6)

而向量的长度(即x到的距离)称为的范数,并用表示，即

(4-7)

在n维状态空间中,若用点集表示以为中心、为半径的超球域,那么,,则表示

(4-8)

4.2.3李亚普诺夫稳定性定义

1．李亚普诺夫意义下稳定

设为动力学系统式(4-1)的平衡状态,若对任意实数,都对应存在另一实数,使当

(4-11)

时,系统式（4-1）从任意初始状态出发的解都满足

(4-12)

则称平衡状态为李亚普诺夫意义下稳定,其中,

与和有关;若与无关,则称这种平衡状态是一致稳定的。对定常系统而言,

与无关,稳定的平衡状态一定为一致稳定。

在二维状态空间中,

李亚普诺夫意义下稳定的几何解释如图4-1所示。

图4-1李亚普诺夫意义下稳定

2．渐近稳定（经典控制理论稳定性定义）

设为动力学系统式(4-1)的平衡状态,若对任意实数,对应存在另一实数，使当时，从任意初始状态出发的解都满足

且对于任意小量总有

(4-13)

则称平衡状态是渐近稳定的。若与无关,则称这种平衡状态是一致渐近稳定的。

渐近稳定的几何意义可理解为,如果平衡状态为李亚普诺夫意义稳定，且从球域内发出的状态轨迹（即式(4-1)的解），当时，不仅不超出球域之外，而且最终收敛于，则平衡状态为渐近稳定。在二维状态空间中,渐近稳定的几何解释如图4-2所示。

图4-2渐近稳定

3．大范围渐近稳定性

若初始条件扩展至整个状态空间,即

,且平衡状态均具有渐近稳定性时,则称此平衡状态是大范围内渐近稳定的。

4．不稳定性

设为动力学系统式(4-1)的平衡状态,若对某个实数和另一实数，当时，总存在一个初始状态,使

(4-14)则称平衡状态是不稳定的。

不稳定的几何意义可理解为，对于某个给定的球域，无论球域取得多么小，内部总存在一个初始状态，使得从这一状态出发的轨迹最终会超出球域。在二维状态空间中,不稳定的几何解释如图4-3所示。

图4-3不稳定

4.2李雅普诺夫第一法4.2.1线性系统的稳定判据线性定常系统（1）

平衡状态渐近稳定的充要条件是矩阵A的所有特征值均具有负实部。

以上讨论的都是指系统的状态稳定性，或称内部稳定性。但从工程意义上看，往往更重视系统的输出稳定性。

如果系统对于有界输入所引起的输出

是有界的，则称系统为输出稳定。

线性定常系统输出稳定的充要条件是其传递函数：的极点全部位于s的左半平面。（2）4.2.2非线性系统的稳定性设系统的状态方程为：（3）

为其平衡状态；为与同维的矢量函数，且对x具有连续的偏导数。

为讨论系统在处的稳定性，可将非线性矢量函数在邻域内展成泰勒级数，得：（4）式中，为级数展开式中的高阶导数项。而（5）称为雅可比(Jacohian)矩阵。

若令，并取式(4)的一次近似式，可得系统的线性化方程：

（6）

在一次近似的基础上，李雅普诺夫给出下述结论：1)如果方程式(6)中系数矩阵A的所有特征值都具有负实部，则原非线性系统式(3)在平衡状态，是渐近稳定的，而且系统的稳定性与无关。2)如果

A的特征值，至少有一个具有正实部，则原非线性系统的平衡状态是不稳定的。3)如果A的特征值，至少有一个的实部为零。系统处于临界情况，那么原非线性系统的平衡状态的稳定性将取决于高阶导数项，而不能由A的特征值符号来确定。

设为由维矢量所定义的标量函数，，且在处恒有。4.3李雅普诺夫第二法

李雅普诺夫第二法又称直接法。它的基本思路不是通过求解系统的运动方程，而是借助于一个李雅普诺夫函数来直接对系统平衡状态的稳定性做出判断。它是从能量观点进行稳定性分析的。4.3.1预备知识1.标量函数的符号性质所有在域中的任何非零矢量，如果：2．二次型标量函数

二次型函数在李雅普诺夫第二方法分析系统的稳定性中起着很重要的作用。设为n个变量，定义二次型标量函数为：（8）矩阵P的符号性质定义如下：设P为实对称方阵，为由P所决定的二次型函数。3．希尔维斯特判据设实对阵矩阵：

由此可见，矩阵P的符号性质与由其所决定的二次型函数的符号性质完全一致。因此，要判别的符号只要判别P的符号即可。而后者可由希尔维斯特(Sylvester)判据进行判定。（9）为其各阶顺序主子行列式：（10）矩阵定号性的充要条件是：4.3.2几个稳定性判据用李雅普诺夫第二法分析系统的稳定性，可概括为以下几个稳定性判据。平衡状态为。

设系统的状态方程为：（11）如果存在一个标量函数，它满足：2)是正定的，即当。3)沿状态轨迹方向计算的时间导数分别满足下列条件：①若为半负定，那么平衡状态为在李雅普诺夫意义下稳定。此称稳定判据。②若为负定；或者虽然为半负定．但对任意初始状态来说，除去外，对不恒为零。那么原点平衡状态是渐近稳定的。如果进一步还，则系统是大范围渐近稳定的。此称渐近稳定判据。1)对所有z都具有连续的一阶偏导数。4.3.3对李雅普诺夫函数的讨论1)是满足稳定性判据条件的一个正定的标量函数，且对x应具有连续的一阶偏导数。2)对于一个给定系统，如果是可找到的，那么通常是非唯一的，但这并不影响结论的一致性。3)的最简单形式是二次型函数：4)如果为二次型，且可表示为：③若为正定，那么平衡状态是不稳定的。此称不稳定判据。6)由于构造函数需要较多技巧，因此，李雅普诺夫第二法主要用于确定那些使用别的方法无效或难以判别其稳定性的问题。例如高阶的非线性系统或时变系统。5)函数只表示系统在平衡状态附近某邻域内局部运动的稳定情况，丝毫不能提供域外运动的任何信息。（12）4.4李雅普诺夫方法在线性系统中的应用4.4.1线性定常连续系统渐近稳定判据（1）设线性定常连续系统为：

则平衡状态为大范围渐近稳定的充要条件是：A的特征根均具有负实部。（1）（2）设线性定常连续系统为(4-26)式中,x为n维状态向量,系统矩阵A为n阶非奇异常数阵。

则系统平衡状态为大范围渐近稳定的充要条件是:对任意给定的正定实对称矩阵Q，存在另一个正定实对称矩阵P，满足式(4-27)表示的李亚普诺夫方程

（4-27）

而标量函数

（4-28）

是系统的一个二次型形式的李亚普诺夫函数。

证明

充分性

。因为P、Q均为正定实对称矩阵且满足李亚普诺夫方程式(4-27)，故取正定二次型为一个可能的李亚普诺夫函数,则V(x)沿任意状态轨迹对时间的导数Q正定，则-Q负定，负定,故是大范围渐近稳定的平衡状态。

必要性。如果系统在渐近稳定，那么在时间t趋于无穷大时，系统的状态转移矩阵必趋于零。

任选一个正定实对称矩阵Q,构造时变对称矩阵

(4-29)其满足和而且是矩阵微分方程

(4-30)

的唯一解。对式(4-30)中的第一式两端从t=0到积分，得

将和代入上式,得

(4-31)

取

（4-32）

即可满足

且

表明按式(4-32)选取的P为实对称矩阵。为考察P的正定性,取任意n维非零常数向量,考察由P构成的二次型函数

(4-33)

式中，为式(4-26)的非零解向量。又Q为正定实对称矩阵，故式(4-33)中的被积函数为正定二次型函数，所以式（4-33）的积分大于零，由此可知实对称矩阵P正定。

综上所述,若系统式(4-26)在渐近稳定,则任取一个正定实对称矩阵Q,必存在另一个正定实对称矩阵P，满足李亚普诺夫方程式(4-27)。必要性得证。

分析线性定常连续系统的稳定性时应注意如下几点：

(1)

先选取一个正定的实对称矩阵Q,从李亚普诺夫方程式(4-27)求解出对应的实对称矩阵P,然后利用Sylvester准则确定矩阵P的定号性,进而判断系统的渐近稳定性。

(2)

正定实对称矩阵Q的形式可任意选取通常选Q为单位矩阵I,(4-34)

式中,I为n阶单位矩阵。

(3)

为了简化求解实对称矩阵P的运算,矩阵Q也可取为半正定的。这时若由李亚普诺夫方程式(4-27)求解出的实对称矩阵P是正定的,则李亚普诺夫函数

是正定的,而V(x)沿任意状态轨迹对时间的导数半负定,根据定理4-3可判断系统在李亚普诺夫意义下是稳定的。进一步,只要在系统非零解运动轨线上不恒为零,可判断系统是渐近稳定的。（4-27）

【例4-7】设系统的状态方程为

其平衡状态为坐标原点，试判断这一状态的稳定性。

解

设可能的李亚普诺夫函数为

其中,P为实对称矩阵,即

,且有

又P满足李亚普诺夫方程式(4-27),选取正定实对称矩阵Q