概率论-多维随机变量及其分布

1、2021/8/61第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布1 二维随机变量二维随机变量1、二维、二维r.v.定义定义: 设设E是一个随机试验是一个随机试验, , 样本空间是样本空间是S=e,设设X=X(e)和和Y=Y(e)是定义在是定义在S上的上的r.v., 由由它们构成的一个向量它们构成的一个向量(X, Y), 叫做叫做二维二维r.v.注注: : 二维二维r.v. (X, Y)的性质不仅与的性质不仅与X和和Y有关有关, , 而且还而且还 依赖于这两个依赖于这两个r.v.的相互关系的相互关系. .2021/8/62如何描述二维如何描述二维r.v.(X, Y)的统计规律的统计规律?

2、 ? ( , )()(), , r.v., r.v(.).XYx yF x yPXxYyP Xx YYyX,对对于于任任意意的的实实数数二二元元函函数数称称为为二二维维的的分分布布函函数数和和 的的联联合合分分或或 为为布布函函数数称称2. 二维二维r.v.( .(联合联合) )分布函数分布函数:2021/8/631212;xXx yYy随随机机点点落落在在矩矩形形域域的的概概率率为为121222122111;(,)-(, )-(,)(, )P xXxyYyF xyF xyF xyF xy图图2若将若将(X, Y)看成平面上随机点的坐标看成平面上随机点的坐标, , 则分布函数则分布函数F(x,

3、y)的值为的值为(X,Y)落在阴影部分的概率落在阴影部分的概率( (如图如图1) 1)图图12021/8/6420( , )1, y F(-)=0 ( -)0 (- -)0 ( + )1.F x yyx F xFF、 对对任任意意固固定定的的 ，；对对任任意意固固定定的的 ， 1 1、F(F(x,y) )是是 x 和和 y 的不减函数的不减函数。3 3、F(F(x,y) )分别关于分别关于x，y右连续右连续。1212222111124,(,)-(,)(,)(,)0.xxyyF xyF xyF xyF xy、对对于于任任意意的的 下下述述不不等等式式成成立立： 2021/8/653. 下面分别讨

4、论二维离散型和连续型下面分别讨论二维离散型和连续型r.v. . .(,),(,). . , , 1, 2,3,0, 1,ijijijijijr v X YX Yr vP Xx Yypi j pp若若二二维维的的所所有有可可能能取取值值是是有有限限对对或或可可列列多多对对 则则称称为为离离散散型型记记 则则有有(一一) 二维离散型二维离散型r.v., , 1,. .(,).2,. ., 3,ijijP Xx Yypi j r v X Yv XrY离离散散型型的的分分布布律律和和 的的联联合合则则为为或或分分布布律律称称2021/8/66例例1. 1. 设设r.v. X在在1, 2, 3, 4四个

5、整数中等可能地取值四个整数中等可能地取值, r.v. Y则在则在1X中等可能地取一整数中等可能地取一整数, , 试求试求(X, Y)的的分布律分布律.(,) , :( , ), , .ijijxxyyijX YF x ypxx yyi j若若已已知知的的分分布布律律则则分分布布函函数数可可表表示示为为即即对对一一切切满满足足的的求求和和12311121312122232 Y Xxxxypppyppp 二维离散随机变二维离散随机变量分布律量分布律2021/8/67(二二) 二维连续型二维连续型r.v.-(1) : (,). . , , ( , )(.( , )( , , ,) yxXF x yf

6、 u v du Y f x yX YdXYr vv定定义义 若若则则称称为为连连续续型型的的二二维维其其中中非非负负称称为为的的概概率率密密度度和和的的联联合合概概率率函函或或为为密密度度数数称称2021/8/68204 ( , )( , ), ();,( , ) F x yf x y f x yxxyy若若在在点点点点连连续续 则则有有01 (, )0;fxy0-2( , )(,)1; f x y dxdyF0(,3 , )( , )( , ): .GPX YGf x y dxdGxoyx yG y设设是是平平面面上上的的一一个个区区域域 点点落落在在 内内的的概概率率为为( , )f x

7、y（2 2）的的性性质质2021/8/69(2)2. . .(, ), 0, 0, ( , ) 0, ,: (1); (2)( ,); (3).xyr v XYAexyf x yAF x yP YX例例设设二二维维具具有有概概率率密密度度其其它它求求常常数数分分布布函函数数概概率率-: (1) ( , )1, 2 f x y dxdyA解解由由则则-2-(1)(1), 0, 0,(2) ( , ) 0, .xyeexyF x y其其它它(2)013 2.3 xyyP YX edxdy（ ）2021/8/6102. 边缘分布边缘分布 一、一、边缘分布函数边缘分布函数： . .(,), ,( ,

8、),. ., , ( ), ( ), . .(,). (2( ) , ( , )( )(, ).1 ) XYXYr v X YF x yXYr vFxFyr v X YXYFxP XxP Xx YF xFyFy 对对于于二二维维它它作作为为一一个个整整体体 具具有有分分布布函函数数而而 和和 都都是是分分别别也也有有分分布布函函数数记记为为称称为为二二维维关关于于 和和关关于于的的边边缘缘分分布布函函数数同同理理 (2.2) 2021/8/611二、二、边缘分布律边缘分布律：1 (,). . , (2.1)( )( ,) , . .( ), iiXijxxjXixxX Yr vFxF xpr

9、v XFxP Xx设设为为二二维维离离散散型型由由有有又又的的分分布布函函数数为为1: ,1,2,iijijP XxppiX可可知知 的的分分布布律律为为1, : 1,2,jijjiP YyppYj同同理理的的分分布布律律为为p (1, 2, ), p (j1, 2, )iji(X, Y)XY分分别别称称和和为为关关于于和和关关于于 的的边边缘缘分分布布律律2021/8/612例例1(续续) Y 1 2 3 4 pj 1 1/4 1/8 1/12 1/16 2 0 1/8 1/12 1/16 3 0 0 1/12 1/16 4 0 0 0 1/16 pi X1/41/41/41/425/481

10、3/487/483/4812021/8/613三、边缘概率密度三、边缘概率密度:-. .(,), ( , ), ( )( ,)( , ) xXr vX Yf xyFxF xf xy dy dx 设设二二维维连连续续型型概概率率密密度度为为由由- , ( )( , )( )(, )XYfxf xy dyfyf xy dx则则同同理理(X, Y)XY.分分别别称称为为边边缘缘概概关关于于 和和关关于于率率密密度度的的2021/8/61422.(,)6, ( , )0,X Yxyxf x y例例的的概概率率密密度度为为 求求边边缘缘概概率率密密度度。其其它它1/, ( , ), ( , . .: ,

11、(,) ) 0, , (,). r vGAXAx yGYYx y GXf连连续续型型二二维维的的均均匀匀分分布布设设是是平平面面上上的的有有界界区区域域 其其面面积积为为若若的的概概率率密密度度为为在在 上上服服从从均均匀匀分分称称其其它它则则布布 2021/8/61521221212122211222221223. (,) (,),1( , )21()()()()1exp2,2(1), X YNf x yxxyyx y例例二二维维正正态态分分布布： 221122 X,Y: XN(,), YN(,) 可可以以求求得得的的边边缘缘分分布布注注: : 由二维随机变量由二维随机变量(X,Y)的概率分

12、布的概率分布(X,Y)的联合的联合分布可唯一地确定分布可唯一地确定X X和和Y Y的边缘分布的边缘分布, , 反之反之, , 若已知若已知X,YX,Y的边缘分布的边缘分布, , 并不一定能确定它们的联合分布并不一定能确定它们的联合分布.2021/8/6163. 条件分布条件分布 一、二维离散型一、二维离散型r.v.的情况的情况: :1 1 2 1 2(,),ijijiiijjX Y P XxYypiXYP Xxppi设设具具有有分分布布律律和和的的边边缘缘分分布布律律分分别别为为 1 1 2,jjiji Pypp Yj 2021/8/617 1 2 32,., ,( .)ijijjiiiiP

13、Xx YypP Yy XxP XxpjXxr vY在在条条件件下下的的条条分分称称件件布布律律。为为 1 2 0 0 31 ,( . ),. .ijijijjjjijP XxYypYyr pP Xx YyPpiXyp Yv设设称称在在的的条条件件下下的的条条件件分分布布律律为为。 2021/8/618例例1. 1. 设设(X, Y)的分布律为的分布律为: Y 0 1 2 3 0 0.840 0.030 0.020 0.010 1 0.060 0.010 0.008 0.002 2 0.010 0.005 0.004 0.001 求在求在X=1时时Y Y的条件分布律的条件分布律.X用表格形式表示

14、为用表格形式表示为: k 0 1 2 PY=k|X=1 6/9 2/9 1/9 2021/8/619例例2 一射击手进行射击一射击手进行射击, , 击中目标的概率为击中目标的概率为 p(0p1),射击到击中目标两次为止射击到击中目标两次为止, , 设设 以以X X表示首次击中目标进行的射击次数表示首次击中目标进行的射击次数, , 以以Y Y表示总共进行的射击次数表示总共进行的射击次数, ,试求试求X X和和Y Y 的联合分布律和条件分布律的联合分布律和条件分布律. .1122 1 2 31 21-: ( ) (,), |,;, ,- .mn mn X YP Xm YnP Xm P Yn Xmp

15、qpqp qnmn 解解的的分分布布律律为为 122211 2 1 21-( ), ,mnmn mqP Xmp qppqmq边边缘缘分分布布律律为为 2021/8/620122221 12 3-(), ,.nnnmP Ynp qnp qn 22223 2 31 111 21-( ):, ,|,(), ,nnnp qP Xm Ynnnp qmn条条件件分分布布律律当当时时 22111 212, ,|,nn mmmp qP Yn Xmpqpqnmm当当时时 2021/8/621二、二维连续型二、二维连续型r.v.的条件分布的条件分布首先引入条件分布函数首先引入条件分布函数, ,然后得到条件概率密度

16、然后得到条件概率密度. 01 0 0 ( ):,lim|yP yYyP XxyYy条条件件分分布布函函数数的的定定义义给给定定若若 0 |,lim,.(| )|X YP Xx yYyP yYyYyXFx yP Xx Yy存存在在称称此此极极限限为为在在条条件件下下 的的条条件件分分布布函函数数记记作作或或 2021/8/622 |,( ,( , )(|)( )(|)(|)( )Y XY XXX YYf x yFy xfy xfxf x yfx yfyXyY则则为为类类似似地地在在条条件件下下 的的条条件件度度和和率率有有概概密密 |( , )(|)( )xX YYf x yFxydxfy 进一

17、步可以化为进一步可以化为:2021/8/623 222 1 |.,( ,)(|).X YY XX Yxyfx yfyx例例设设在在圆圆域域上上服服从从均均匀匀分分布布 求求条条件件概概率率密密度度和和 2221 1 0 2111 0,:( , ),( )( , )Yxyf x yyyfyf x y dx 解解其其它它其其它它222110 1 2 1 11 0 |,( ),(|),.YX Yyfyyyxyfx y 当当时时有有其其它它222 1 2 1 11 0 |( , ),( | )( ),.Y XXf x yxxyxfy xfx 其其它它2021/8/624 1 01 0 1 1 1 0

18、|,:,( ),(|),.XY XxXfxXxYxyfy xx 解解按按题题意意其其它它又又在在条条件件下下的的条条件件分分布布概概率率密密度度其其它它 11 01 0 |/ (),( , )(|)( ),.Y XXxxyf x yfy x fx 故故其其它它0 11101 0 / ()ln(),.( ),.yYx dxyyfy 其其它它例例3. 3. 设数设数X在区间在区间(0,1)上随机地取值上随机地取值, , 当观察到当观察到 X=x(0 x1)时时, , 数数Y在区间在区间(x, 1)上随机地取值上随机地取值, , 求求Y Y的概率密度的概率密度. .2021/8/6254. 4. 相

19、互独立的随机变量相互独立的随机变量 由两个事件相互独立的概念可引出两个随机由两个事件相互独立的概念可引出两个随机变量相互独立的概念变量相互独立的概念. 1 ,.( ,)( ),(.)XYP Xx YyP XxX YP YyF x yFxyXYFx y定定义义设设为为二二维维随随机机变变量量 若若对对于于所所有有的的， 有有 即即则则称称随随机机变变量量和和相相互互独独立立 2021/8/6262.等价定义等价定义: a 1 2b , , ,( ,)( )( )ijijXYX YXYP Xx YyP Xx P Yyi jX YXYf x yfxfy（ ）当当为为离离散散型型随随机机变变量量时时和

20、和 独独立立等等价价于于 （ ）当当为为连连续续型型随随机机变变量量时时和和 独独立立等等价价于于例例: : 设设X和和Y都服从参数都服从参数 =1的指数分布且相互独立的指数分布且相互独立, , 试求试求PX+Y1.2021/8/627 0 0 0 0 0 0-:( )( ),( )( ),XYxyXYfxfyXYexeyfxfyxy解解设设和和分分别别为为 和和 的的密密度度函函数数 则则1 1,( ,)( )( ).( , )XYxyXYf x yfx fyP XYf x y dxdy由由于于 与与 相相互互独独立立 故故其其联联合合密密度度函函数数为为故故 110011 20 2642-

21、()- -.xxyedydxe 2021/8/6283.命题：设命题：设(X, Y)服从二维正态分布服从二维正态分布, , 则则X, Y相互独相互独立的充要条件是立的充要条件是 =0.2211222221 212122 1212121()()() ()-( -)( , )-xxyyXYf x ye（ ， ）服服从从二二维维正正态态分分布布，则则其其概概率率密密度度为为 2021/8/6295. 一个重要定理一个重要定理:设设 (X1, X2, , Xm) 和和 (Y1, Y2, Yn) 相互独立相互独立, , 则则 Xi (i=1,2, ,m) 和和 Yj ( j=1,2, ,n)相互独立相互

22、独立, ,又若又若h, g 是连续函数是连续函数, , 则则 h(X1, X2, , Xm) 和和 g (Y1, Y2, Yn) 相互独立相互独立.4. 边缘分布及相互独立性的概念可以推广到边缘分布及相互独立性的概念可以推广到 n维维r.v.的情况的情况.2021/8/6305. 两个两个r.v.的函数的分布的函数的分布(一一) 和和(Z=X+Y)的分布的分布:已知已知 X, Y的联合密度的联合密度f(x, y), 求求Z=X+Y的分布密度的分布密度.-( ) ( , ) ( , ) ( -, )(, )z yZxy zzzFzf x y dxdyf x y dxdyf uy y du dyf

23、 uy y dy du ZXY. 先先求求的的分分布布函函数数2021/8/631-( )( -,)( )( ,-., )ZZfzf zy y dyfzf x zxZx d由由此此得得到到 的的密密度度函函数数类类似似地地 -, ( , )( )( ) ( )( )( -)( -)( ) XYZXYXYXYf x yfxfyfzfxfzx dxfzyfy dy当当 、 相相互互独独立立时时有有 , *.XYff 称称为为记记为为卷卷积积公公式式结论结论: : 若若X, Y是连续型是连续型r.v.且且X与与Y相互独立相互独立, ,则则X+Y 也是连续型也是连续型r.v.且它的密度函数为且它的密度

24、函数为X与与Y的密的密 度函数的卷积度函数的卷积.2021/8/632例例1. (P86)1. (P86)设设X和和Y相互独立相互独立, , 且都服从且都服从N(0, 1),求求:Z=X+Y的分布密度的分布密度.222222240 1112212-:( , )( ),( ), ( )( )( -)xyXYzzxZXYXYNfxe fyex y fzfx fzx dxeedx解解 由由和和 都都服服从从知知由由卷卷积积公公式式有有 22244112220 2-,( ) .( , ).zztZztxfzeedteZN令令得得即即 2021/8/633结论结论: :212222112121 2(,

25、) (, ,), , (, ) . , . . kkknnnnXNknXXXXXNr v设设且且相相互互独独立立 则则它它们们的的和和进进一一步步有有限限个个相相互互独独立立的的正正态态的的线线性性组组合合仍仍服服从从正正态态分分布布 2021/8/6342例例在在一一简简单单电电路路中中，两两电电阻阻串串联联联联接接，1210010500,( ),xxf xRRR它它们们相相互互独独立立且且服服从从相相同同的的分分布布，概概率率密密度度为为其其它它求求总总电电阻阻的的概概率率密密度度。 2021/8/635(二二) 商商(Z=X/Y)的分布的分布:0( , )( , ),()XX Yf x

26、yZYY设设的的概概率率密密度度求求的的概概率率密密度度 ( )(,),( , ),ZZXxFzPzPX YGGx yzYy先先求求 的的分分布布函函数数其其中中 00/- ( )( , )( , ) ( , ) Zx y zyzyzFzf x y dxdyf x y dxdyf x y dxdy于于是是 -( )(, ).Z fzf zy y ydy -( )()( ).ZXYfzfzy fyydy 当当X,Y相互独立时相互独立时,则有则有2021/8/636230200000-., , , ( ), ( ), , ,.xyX YX Yexeyf xg yxyXZY例例 设设分分别别表表示示

27、两两只只不不同同型型号号的的灯灯泡泡的的寿寿命命相相互互独独立立 它它们们的的概概率率密密度度依依次次为为试试求求的的概概率率密密度度函函数数 :( )()( )ZXYfzy fyz fy dy解解 由由有有 220200,( ) () , . Zzfzzz 2021/8/637(三三) M=max(X,Y)及及m=min(X, Y)的分布的分布:设设X,Y相互独立相互独立, , 分布函数分别为分布函数分别为FX(x)和和FY(y). 首先求首先求M=max(X,Y)的分布的分布. ( )max(,) , (,)MFzPX YzPXz YzP Xz P Yz X Y相相互互独独立立 ( )(

28、)XYFzFz ( )( )( ).MXYFzFzFz即即2021/8/638 Nmin( X ,Y ).min( X ,Y )zXz,Yz对对的的分分布布注注意意到到 1 NF ( z )P min( X ,Y )zPmin( X ,Y )z故故 11111,-( -( )( -( )XYP Xz YzP XzP YzFzzF 2021/8/639推广推广: : 设设X1,X2,Xn相互独立相互独立, ,分布函数分别为分布函数分别为 F1(x), F2(x),Fn(x), 则则M=max(X1,X2,Xn)的分布函数为的分布函数为 FM(z)=F1(z) F2(z)Fn(z) N=min(X

29、1,X2,Xn)的分布函数为的分布函数为 FN(z)=1-(1-F1(z)(1-F2(z)(1-Fn(z)特别地特别地, , 当当X1,X2,Xni.i.d.时时, , 设分布函数为设分布函数为F(x), 11maxmin( )( ) ,( )( )nnFzF zFzF z 2021/8/640(四四) 用用“分布函数法分布函数法”导出两导出两r.v. 密度函数的密度函数的要点要点:1 ( ). .(,) , ( ) (,)Z r vg X YFzP g X Yz为为求求函函数数的的密密度度函函数数 先先求求它它的的分分布布函函数数 即即 2( , )( ) (,), : (,) ( , )

30、( , )(,).g x yzP g X YzP g X Yzf x y dxY dyf x yX在在求求的的过过程程中中 用用到到下下列列等等式式其其中中为为的的联联合合密密度度函函数数 3( ) (,).zZgY X由由分分布布函函数数对对 求求导导得得的的密密度度函函数数 2021/8/641222 . XY, N(0, ), ZXY. 例例4 4 设设 和和 相相互互独独立立 且且都都服服从从 求求的的分分布布函函数数 22( ),ZFzPXYz解解先先求求22000, ( ), , ( )ZZzFzzFzPXYz当当时时 当当时时 222222222222001212- xyxyzr

31、zedxdyderdr 2021/8/6422222222200112- ( ) rzzZFzderdre于于是是 2222000-,( ) , .zZzezfzz 参数为参数为 的的瑞利分布瑞利分布 2021/8/643( (五五) ) 对于离散型对于离散型r.v. 的函数的分布的函数的分布:设设X,YX,Y是离散型是离散型r.v.且相互独立且相互独立, , 其分布律分别为其分布律分别为:PX=i=pi,i=0,1,2,3, PY=j=qj,j=0,1,2,3,求求Z=X+Y的分布律的分布律.解解: PZ=i=PX+Y=i0ikP XkP Yik 于是有于是有: 0012, , ,.iki

32、kkP XYip qi 这就是这就是Z=X+Y的分布律的分布律.2021/8/644例例5 5 设设X,Y是相互独立的是相互独立的r.v., 分别服从参数为分别服从参数为 1, 2的泊松分布的泊松分布, , 试证明试证明Z=X+Y也服从泊松分布也服从泊松分布.证明证明: 已知已知1212,!ijP XieP Yjeij PZ=i00 1 2, , ,.iki kkP XYip qi 12120()!()!ki kikP Ziekik 12120 1 2()() , , ,!ieii，12ZXY (). 因因此此2021/8/645120 30 7.( )( ).XYXXYf yZXYg z例例

33、6 6设设随随机机变变量量 和和 独独立立， 的的分分布布律律为为而而 的的概概率率密密度度为为，求求的的概概率率密密度度分分析析：这这是是求求离离散散型型与与连连续续型型随随机机变变量量的的和和的的问问题题。2021/8/6460 310 720 3110 722.|.|.|.|P XYu XP XYu XP YuXP YuX 0 310 720 310 72.().()P YuP YuF uF u 0 310 72( )( ).().()g uG uf uf u则则 ( )UXYG uP XYu由由全全概概率率公公式式知知，的的分分布布函函数数为为 2021/8/647第三章第三章 习题课

34、习题课一一. . 主要内容：主要内容：(1) (1) 二维二维r.v.的分布函数的分布函数, , 离散型离散型r.v.的联合的联合 分布分布, , 连续型连续型r.v.的联合概率密度的联合概率密度. .(2) (2) 边缘分布函数边缘分布函数; ;边缘分布律边缘分布律; ;边缘概率密度边缘概率密度. .(3) (3) 条件分布律条件分布律; ; 条件概率密度条件概率密度. .(4) (4) 随机变量的相互独立随机变量的相互独立. .(5) (5) 两个两个r.v.r.v.函数的分布函数的分布. .2021/8/648i,jP XY二二. 练习题练习题: :1.设某人从设某人从1, 2, 3,

35、41, 2, 3, 4四个数中依次取出两个数四个数中依次取出两个数, ,记记X为第一次所取出的数为第一次所取出的数, , Y为第二次所取出为第二次所取出的数的数, , 若第一次取后不放回若第一次取后不放回, , 求求X X和和Y Y的联合分的联合分布律布律. .=PX=iPY=j|X=i01 4 1 31 121 2 3 4 , ,/, , , , , .ijiji j， 2021/8/649(0),p(0p1),Y,:(1)n,m;(2)(X,Y). 2 2设设某某班班车车起起点点站站上上客客人人数数服服从从参参数数为为的的泊泊松松分分布布 每每位位乘乘客客在在中中途途下下车车的的概概率率为为且且中中途途下下车车与与否否相相互互独独立立以以 表表示示中中途途下下车车的的人人数数 求求在在发发车车时时有有 个个人人的的条条件件下下中中途途有有 人人下下车车的的概概率率二二维维随随机机变变量量的的概概率率分分布布1100 1 22100 1 2( )|() , , ,( ),| ()!, , ,mmn mnnmmn mnP Ym XnCppmn nP Xn YmP Ym XnP XnCppenmn n解解 2021/8/650301 00123415|. .(,),( ,)