《经济数学——微积分》8-5

1、一、一个方程的情形一、一个方程的情形二、方程组的情形二、方程组的情形三、小结三、小结 思考题思考题第五节第五节 隐函数的求导公式隐函数的求导公式0),(. 1 yxF一、一个方程的情形隐函数存在定理隐函数存在定理 1 1 设函数设函数),(yxF在点在点),(00yxP的的某一邻域内具有连续的偏导数，且某一邻域内具有连续的偏导数，且0),(00 yxF，0),(00 yxFy，则方程，则方程0),( yxF在点在点),(00yxP的的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数导数的函数)(xfy ，它满足条件，它满足条件)(00 xfy

2、，并，并有有 yxFFdxdy . .隐函数的求导公式隐函数的求导公式例例 验验证证方方程程0122 yx在在点点)1 , 0(的的某某邻邻域域内内能能唯唯一一确确定定一一个个单单值值可可导导、且且0 x时时1 y的的隐隐函函数数)(xfy ，并并求求这这函函数数的的一一阶阶和和二二阶阶导导 数数在在0 x的的值值. 解解令令1),(22 yxyxF则则,2xFx ,2yFy , 0)1 , 0( F, 02)1 , 0( yF依依定定理理知知方方程程0122 yx在在点点)1 , 0(的的某某邻邻域域内内能能唯唯一一确确定定一一个个单单值值可可导导、且且0 x时时1 y的的函函数数)(xfy

3、 函函数数的的一一阶阶和和二二阶阶导导数数为为yxFFdxdy ,yx , 00 xdxdy222yyxydxyd 2yyxxy ,13y . 1022 xdxyd例例 2 2 已已知知xyyxarctanln22 ，求求dxdy.解解令令则则,arctanln),(22xyyxyxF ,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyyxFy yxFFdxdy .xyyx 隐函数存在定理隐函数存在定理2 2 设函数设函数),(zyxF在点在点,(0 xP),00zy的某一邻域内有连续的偏导数，且的某一邻域内有连续的偏导数，且,(0 xF0),00 zy，0),(000 zyxFz，则方程，则

4、方程,(yxF0) z在点在点),(000zyxP的某一邻域内恒能唯一确的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数定一个单值连续且具有连续偏导数的函数),(yxfz ，它满足条件，它满足条件),(000yxfz ，并有并有 zxFFxz ， zyFFyz . .0),(. 2 zyxF例例 3 3 设设04222 zzyx，求求22xz .解解令令则则,4),(222zzyxzyxF ,2xFx , 42 zFz,2zxFFxzzx 22xz 2)2()2(zxzxz 2)2(2)2(zzxxz .)2()2(322zxz 例例 4 4 设设),(xyzzyxfz ，求求xz

5、，yx ，zy .思路：思路：把把z看成看成yx,的函数对的函数对x求偏导数得求偏导数得xz ，把把x看看成成yz,的的函函数数对对y求求偏偏导导数数得得yx ，把把y看看成成zx,的的函函数数对对z求求偏偏导导数数得得zy .解解令令, zyxu ,xyzv 则则),(vufz 把把z看看成成yx,的的函函数数对对x求求偏偏导导数数得得xz )1(xzfu ),(xzxyyzfv 整理得整理得xz ,1vuvuxyffyzff 把把x看看成成yz,的的函函数数对对y求求偏偏导导数数得得)1(0 yxfu),(yxyzxzfv 整理得整理得,vuvuyzffxzff yx 把把y看看成成zx,

6、的的函函数数对对z求求偏偏导导数数得得)1(1 zyfu),(zyxzxyfv 整理得整理得zy .1vuvuxzffxyff 0),(0),(vuyxGvuyxF二、方程组的情形隐函数存在定理隐函数存在定理 3 3 设设),(vuyxF、),(vuyxG在在点点),(0000vuyxP的某一邻域内有对各个变量的连续的某一邻域内有对各个变量的连续偏导数，且偏导数，且0),(0000 vuyxF, ,),(0000vuyxG0 ，且偏导数所组成的函数行列式，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比（或称雅可比式）式） vGuGvFuFvuGFJ ),(),(在点在点),(0000vuyxP不等于零

7、，则方程组不等于零，则方程组 0),( vuyxF、 0),( vuyxG在点在点),(0000vuyxP的某一邻域内恒能唯一确定一的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数组单值连续且具有连续偏导数的函数),(yxuu ，),(yxvv ，它们满足条件，它们满足条件),(000yxuu , ,vv 0),(00yx，并有，并有,),(),(1vuvuvxvxGGFFGGFFvxGFJxu vuvuxuxuGGFFGGFFxuGFJxv ),(),(1,),(),(1vuvuvyvyGGFFGGFFvyGFJyu .),(),(1vuvuyuyuGGFFGGFFyuGFJyv

8、例例5 5 设设0 yvxu，1 xvyu， 求求 xu ，yu ，xv 和和yv .解解1直接代入公式；直接代入公式；解解2运用公式推导的方法，运用公式推导的方法，将所给方程的两边对将所给方程的两边对 求导并移项求导并移项x, vxvxxuyuxvyxuxxyyxJ ,22yx 在在0 J的的条条件件下下，xyyxxvyuxu ,22yxyvxu xyyxvyuxxv ,22yxxvyu 将所给方程的两边对将所给方程的两边对 求导，用同样方法得求导，用同样方法得y,22yxyuxvyu .22yxyvxuyv （分以下几种情况）（分以下几种情况）隐函数的求导法则隐函数的求导法则0),()1(

9、 yxF0),()2( zyxF 0),(0),()3(vuyxGvuyxF三、小结已已知知)(zyzx ，其其中中 为为可可微微函函数数，求求? yzyxzx思考题思考题思考题解答思考题解答记记)(),(zyzxzyxF , 则则zFx1 ，,1)(zzyFy ,)()(22zyzyzxFz ,)(zyyxzFFxzzx ,)()(zyyxzyzFFyzzy 于于是是zyzyxzx .一一、 填填空空题题: : 1 1、 设设xyyxarctanln22 , ,则则 dxdy_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .

10、2 2、设设zxyz , ,则则 xz_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _, , yz_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 二二、 设设,32)32sin(2zyxzyx 证证明明：. 1 yzxz 练练 习习 题题三三、 如如 果果 函函 数数),(zyxf对对 任任 何何t恒恒 满满 足足 关关 系系 式式),(),(zyxfttztytxfk , ,则则称称函函数数),(zyxf为为 k次次齐齐次次函函数数, ,试试证证: :k次次齐齐

11、次次函函数数满满足足方方程程 ),(zyxkfzfzyfyxfx . .四四、设设.,3233yxzaxyzz 求求五五、求求由由下下列列方方程程组组所所确确定定的的函函数数的的导导数数或或偏偏导导数数: :1 1、 设设 203222222zyxyxz , ,求求.,dxdzdxdy2 2、 设设 ),(),(2yvxugvyvuxfu，求求.,xvxu （其其中中gf ,具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数）六、六、 设函数设函数)(xu由方程组由方程组 0),(0),(),(zxhzyxgyxfu所确定所确定, , 且且., 0, 0dxduzhyg求求 ( (hgf,均可微均可微) )七、七、 设设),(txfy 而而t是由方程是由方程0),( tyxF所确定的所确定的yx,的函数的函数, ,求求.dxdy八、八、 设设),(yxzz 由方程由方程),(xzyyxxF =0=0 所确定所确定, , 证明证明: :xyzyzyxzx . .一、一、1 1、yxyx ； 2 2、yyxzzzzxxlnln1 ； 3 3、yyxzzyzxzln11 . .四、四、3222242)()2(xyzyxxyzzzyxz . .五、五、1 1、13,)13(2)1