2020届湖南师大附中高三摸底考试(高二上学期期末考试)理数试卷word版有答案-(数学)(加精)

1、/-/炎德 英才大联考 湖南师大附中2018年春季高二期末考试暨 2019届高三摸底考试数学（理科）命题：贺仁亮 朱修龙周艳军刘伟才审题：高二数学备课组时量：120分钟 满分：150分得分：第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足（2+i）z = 2i（i为虚数单位），则z等于A. 3+ 4i B. 34iC3 . 4iD3_ 4iC.5+5iD.55i2,已知 P=x|x2-5x + 4< 0Q = x|y=W2x,则 PCQ等于A. (1, 4) B. 2, 4)C. (1, 2 D. (-00

2、 , 23.已知两组样本数据xi, x2, 成一组以后，这组样本的平均数为A h+ k b nh+ mk.2. m+ nC mh+ nk 口 h+ k.m+ n.m+ n，xn、y1，y2,，ym的平均数分别为h和k,则把两组数据合并4.已知an为等比数列，a1>0,a4+a7=2, a5a6=-8, 则 a1+a4+a7+a1。等于A. -7 B. - 5 C. 5 D. 7/-/-/5.如图是一几何体的平面展开图,其中四边形 ABCD为正方形，E, F分别为PA, PD的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：直线BE与直线CF异面;直线BE与直线AF异面;直线EF/平面PBC;平面

3、BCE，平面 PAD.其中正确的有A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个6,已知双曲线X2 b2=1（a>。，b>0）以及双曲线，一b2=1（a>0, b>0）的渐近线将第一象限三等分曲线 b= 1（a>0，b>0）的离心率为2 ,32 ,3A. 2或 3B.46或 3C. 2或43 D.W或花y轴对称，则（）的值是汽人乂，、L、/7 .函数f（x） =sin（2x+ <f）（0< 屿 式）图像向右平移 石个单位后关于式汽A. 0 B.7 C8 .在正三角形ABC内任取一点P,则点P到A, B, C的距离都大于该三角形边长一半的概率为A.

4、 1等 B. 1-器 C. 1-辱 D. 1 特9 .底面是边长为1的正方形：424 叵25A. 3 B. 3 C. 310 .在平面直角坐标系中，A4= 0相切，则圆C面积的最小值为侧面是等边三角形的四棱锥的外接球的体积为D.3分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y A 4jtB.3411.已知函数C. (6 2洞式ex, x<0, f(x) =9' x2+ ax+ 1D.54F(x) = f(x) -x-1,且函数F(x)有2个零点，则实数a的取值范 x 0 ,围为A.C.12.(00 , 01, +°°)B. ( 8, 1)D. (

5、0, +OO)已知x)表不大于x的最小整数，例如3)= 4, 1.3) = 1,下列命题中正确的是函数f(x) = X)-X的值域是(0,1;若an是等差数列 若an是等比数列若 xC (1, 2 018)A.B.则an)也是等差数列；则an)也是等比数列；一.、一、1 .，一则万程X)x = 1有2 017个根.C. D.选择题答题卡题号123456789101112得分答案第n卷二、填空题：本大题共 5小题，每小题4分，共20分.13 .从3名男同学和2名女同学中任选 2名参加体能测试，则恰有1名男同学参加体能测试的概率为 .(结果用最简分数表示)14 .九章算术是我国古代内容较为丰富的数

6、学名著，书中有如下问题：“今有圆堡墉 ，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？答曰：二千一百一十二.术曰：周自相乘 ，以高乘之，十二而一”.这里所说的圆1堡墉就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一.”就是说：圆堡墉 (圆柱体)的体积V=12X (底面的圆周长的平方X高),则该问题中圆周率 式的取值为.(注：一丈=10尺)115 . 1 + x2 (1 + x)6展开式中x2的系数为 .(结果用数字表示)16 .如图2, “六芒星”由两个全等的正三角形组成，中心重合于点 O且三组对边分别平行.点A, B是“六芒星”(如图1)的两个顶点，动点P在“六芒星”上(内部以及边界)，若OP=xO

7、A + yOB,则x+y的 最大值是.图大呼星忸2三、解答题：本大题共 6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分11分）如图， ABC是等边三角形，D是BC边上的动点（含端点），记/ BAD =求2cos a COS 3的最大值；1（2）若 BD=1, cos 3 = 7,求4ABD 的面积.18 .(本小题满分11分)已知正项等比数列an的公比为q,且a3+a4+a5=i6，3a5是a3, a4的等差中项.数列bn满足bi=1, 数列 (bn+ 1 bn) - an 的前n项和为2n2+ n.(1)求数列an的通项公式；(2)求数列bn的通项公式.19 .

8、(本小题满分12分)已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其中正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形为直角梯形.、1，111 7，、一一设M为AB中点，若BP=.PC.求证：MP/平面CN B ;3(2)设二面角 B-CB1N大小为0,求sin。的值.20 .(本小题满分12分)某卫生监督检查部门对5家餐饮店进行卫生检查，若检查不合格，则必须整改.若整改后经复查仍不合格，则强制关闭.设每家餐饮店检查是否合格是相互独立的，且每家餐饮店整改前合格的概率是0.5,整改后复查合格的概率是0.8.计算：(1)恰好有两家餐饮店必须整改的概率；(2)平均有多少家餐饮店必须整改；(3)至少关闭一家餐饮店的概率

9、.(精确到0.01)21 .(本小题满分12分)已知椭圆C： x2 + y2=1(a>b>0),其焦点为Fi, F2,离心率为幸,若点pg 更满足|PFi|+|PF2|=2a. a b222(1)求椭圆C的方程；，一，一 ，一 一 、 ， 一， .，.，.，.一， ,，一 、 一，. (2)若直线l：y= kx + m(k,mC R)与椭圆C交于 人田两点，0为坐标原点 /AOB的重心G满足：F iG F 2G5=5,求实数m的取值范围.922 .(本小题满分12分) 设函数 f(x) = ln( x+ a) + x2若f(x)为定义域上的单调函数，求实数a的取值范围;(2)若 g

10、(x) = ex+x2f(x),当 aW2 时，证明：g(x)>0.炎德英才大联考湖南师大附中2018年春季高二期末考试暨2019届高三摸底考试数学(理科)参考答案、选择题2. C的定义域3. B2 i (2i) (2i)3 4【解析】由(2+i)z=2i,得 z = 2q- =(2+i)(2_i)=石W，故选 D.【解析】 解 x2 5x+4<0,即(x 1)(x-4)<0,得 1vx<4,故 P=(1, 4). Q 表示函数 y=42x所以4-2x>0,所以xC (【解析】因为样本数据XI8, 2,即 Q=(8, 2.故 PAQ = (1, 2,故选 C.x2

11、,，xn的平均数为h, y1，y2,，ym的平均数为k,所以第一组数据和为nh,第二组数据和为mk,因此把两组数据合并成一组以后,这组样本的平均数为nm誉，故选B.4. B 【解析】由等比数列的性质可得2, a4=4,因为 a7=a1q6>0,所以 a4=2= a7q3 = 8,所以 a1+a4+a7+a10= 5,a5a6 = a4a7 = 8,又 a4+ a7 = 2 > 解得 a4= - 2 > a7= 4 或 a7 =一a7=4 a7= a4q3= - 2q3=4,所以 q3=2,所以 a1=-a4= 1, a10 q故选B.5. B【解析】将展开图还原为几何体(如图

12、)，因为E, F分别为PA, PD的中点，所以EF/AD/BC,即直线BE与CF共面，错；因为B?平面PAD, EC平面PAD, E?AF,所以BE与AF是异面直线，正 确；因为EF/AD/BC, EF斌平面PBC , BC就平面PBC,所以EF/平面PBC,正确；平面 PAD与平面 BCE不一定垂直，错.故选B.6. A【解析】由题意可知，双曲线/d= 1(a>°, b>s的渐近线的倾斜角为30°或600 ,则k=a，淄或来 则-a， -、/|=寸手2=V1+!=2 或乎.兀 A 、/,、一，r 一 r 一“ I兀7. D【解析】f(x) = sin(2x+

13、<f)(0<产兀)图像向右平移"6个单位后得到的函数是g(x) = sin 2x-y+ 4 ,又 g(0) = sin "3- +()= 土，得()-3- = ku +兀5兀,(kC Z),故选 D.其中正三角形 ABC的面积 字abc =431的平面区域如图中阴影部分所示8. A【解析】满足条件的正三角形 ABC如图所示：设边长为2X 4= <3.满足到正三角形 ABC的顶点A, B, C的距离至少有一个小于，一， 一 ，一 一 1 _“一，一3JL =1- 6 ,9. D接球的半径为故选A.【解析】设四棱锥为P-ABCD,底面ABCD是边长为1的正方形

14、，PA= PB= PC= PD = 1的外R,过P作PO底面ABCD,垂足Oi为正方形ABCD的对角线AC, BD的交点，设球心为O,连接AO 解得R邛由于 AO=PO=R, A0i=P0i=¥，。1 =*一R,在 RtAOO1中， 咚R +V球=4兀R3 = 4兀33底R2,其加起来是一个半径为1的半圆，则S阴影=2兀，则使取到的点到三个顶点A, B, C的距离大于1的概率P一一、一，八一，110. A【解析】设直线l: 2x+y 4=0.因为|OC|=2|AB|=d1,其中d1为点C到直线l的距离，所以圆,其中d2为点O到直线心C的轨迹为以O为焦点，l为准线的抛物线.圆C半径最小

15、值为d2 = 1xl的距离，圆C面积的最小值为兀泉 =45.故选A.11. B以当xW0时, -1)x= 0,即 故选B.12. D【解析】因为F(x)=f(x)-x-1,且函数F(x)有2个零点，即f(x) x1 = 0有2个实数根，所 令ex x1=0,解得x=0,此时只有一个实数根，当x>0时，令f(x)-x- 1 = 0,即x2+(a xx-(1-a)=0,此时解得x=1-a,要使得函数F(x)有2个零点，则1 a>0,所以av1,【解析】 当 xCZ 时，x) = x+1, f(x)= x)-x = x+ 1 -x= 1;当 xZ 时，令 x= n+aaC(0, 1),则

16、x)=n+1, f(x)=x)x= 1-a(0, 1),因此 f(x)= x) x 的值域是(0, 1; 0.9, 1,，nCZ,-1 -1旦笺l.l ZE 守差数列，但0.9) = 1, 1)=2, 1.1)=2 不成等差数列；0.5, 1, 2 是等比数列，但0.5)=1, 1) = 2, 2)=3不成等比数列；由前分析可得当xCZ时，f(x)=1;当x包Z, x=n + a, nCZ, a (0,(xn)= n+1 x,所以 f(x+1) = f(x),即 f(x)= x) x是周期为 1 的函数，由于 xC (11)时,f(x)=1 2)时 f(x)=2 a= 11x=2,3 .，一

17、一 ,，一,、一一1 . .一x= |,即一个周期内有一个根，所以若xC(1, 2 018),则方程x) * =彳有2 017个根.二、填空题正确，故选D.313.5的概率为【解析】从3名男同学和2名女同学中任选2名参加体能测试，则恰有1名男同学参加体能测试C3c2 3C25-14.1【解析】圆柱体体积公式 V=Ttr2h,而由题意有VfX (2兀r)2xh,所以兀=3.15.30【解析】 因为1+3 (1+x)6=1 (1 + x)6+3(1+x)6,则(1+x)6展开式中含 x2的项为1 C6x2 xx=15x2,11(1+x)6展开式中含x2的项为C4x4=15x2,故x2的系数为15+

18、15=30.OA =16.5【解析】令正三角形边长为 3,则OB=(1, 0)号,设直线AB与OC的交点为点D,若OD=xOA+yOB,则x+y= 1.又由线性规划知识知当 故x + y的最大值是5.三、解答题P在C点时x+y有最大值，此时OP=5OD,17 【解析】(1)由 ABC是等边三角形，得3=cos 3 = 2cos a cos兀“十W 3兀a+ 3=.3sin故当=3，即D为BC中点时，原式取最大值V3.5 分,一 1 m一(2)由 cos 3=7，佝 sin 3 =故 sin a714.37，兀71=sin 3 sin B cos "3" cos B sin

19、-=由正弦定理 一AB-=-BD一, sin/ADB sin Z BAD/-/故AB =sin 34,37-BD = f； sin a 3M3 彳T故 Saabd= 1AB BD sin B = Jx 9 1 X 曰= 23.11 分 22 3237118.【斛析】(1)依题忌，a3+a4+a5=16,6a5=a3+a4,则a5 = y6即 6q2q1=0,解得 q=1 或 q=以舍)，所以 q = ；, a1=1,2321 nT.数列an的通项公式为an= 2.5分a3+a4T8a51a53得H8，(2)设 Cn= (bn+1 bn) an,数歹Ucn的前n项和为Sn,贝USn=2n2+n所

20、以Cn =Si(n = 1)Sn-Sn 1(n>2)解得cn=4n1.7分所以 bn + 1- bn = (4n - 1) 2n 1,故 bnbn 1 = (4n5) 2n 2, n>2,bn bl= (bn bn 1)+ (bn 1 bn 2)+ + (b3 b2)+ (b2 bl)= (4n5) 2n 2+(4n9) 2n 3+ + 7 21 +3 设 Tn=3+7 21+ + (4n 9) 2n 3+(4n5) 2Tn=3 2+ 7 22+ +(4n9) 2n 2+(4n 5)所以，一Tn=3 + 4 21+ +4 23 + 4 2广29分2n-2, 2n 1 J ,(4n-

21、 5) 2n 1,因此 Tn=(4n9) 2n 1 + 5, n>2,又 b1 = 1,所以 bn=(4n- 9) 2n 1 + 6.11 分19 【解析】(1)证明：二该几何体的正视图为矩形 ，侧视图为等腰直角三角形 俯视图为直角梯形，BA, BC, BBi两两垂直.且 BC=4, BA= 4, BBi = 8,AN= 4,以BA,bbi , BC分别为x, y, z轴建立空间直角坐标系，如图4), C(0, 0, 4), /.M(2, 0, 0).则N(4.BP,PC =4, 0), Bi(0, 8, 0), Ci(0, 8,13,，P(0, 30,1),贝 UMlP = ( 20,

22、 1),设 n2=(x, y, z)为平面 NCBi的一个法向量，n2则n2- CN=0 泳 - 八, nBi = 0(x, y(x, yz) (4, 44)z) .(4, 4, 0)=0=0x+ y z= 0,-x+ y= 0,取 n2= (1, 1, 2)MP n2=(-2, 0, 1) (1,1 , 2) = 0,又 PM源平面 CNB1,MP /平面 CNB16 分(2)由可知平面B C1的一个法向量为BA = (4, 0, 0),平面CB1N的法向量为n2=(1, 1, 2),BA n2贝U cos 9 =二 =|BA|n2|【注】本题只给出向量法(4, 0, 0)(1, 1, 2)

23、764x76,30sin 0 =*.12分,其他方法请参照标准酌情给分.20.【解析】(1)每家餐饮店必须整改的概率是10.5=0.5,且每家餐饮店是否整改是相互独立的.所以恰好有两家餐饮店必须整改的概率是Pi = c2x (1 0.5)2X 0.53 =156.4分(2)由题知，必须整改的餐饮店数E服从二项分布B(5, 0.5).从而E的数学期望是E E =5X 0.5 = 2.5,即平均有2.5家餐饮店必须整改.8分(3)某餐饮店被关闭，即该餐饮店第一次检查不合格,整改后经复查仍不合格，所以该餐饮店被关闭的概率是P2= (1 - 0.5) X (1-0.8) =0.1,从而该餐饮店不被关闭

24、的概率是0.9.由题意，每家餐饮店是否被关闭是相互独立的，所以至少关闭一家餐饮店的概率是P3= 1 0.950.41.12分21 .【解析】(1)由e=¥，可设椭圆C的方程为争+22= 1,点、P零,坐满足|PF“+|PF2|= 2a,等价于点P在椭圆上+ 2= 1, a2= 2，222 a 2ax2所以椭圆C的方程为+y2=1.5分y= kx + m,(2)设 A(x1, y1)，B(x2, y)联立得方程组2> 2 o nx22y2 2 0,消去 y并整理得(1+2k2)x2+4kmx+ 2m22=0, z>0 1 + 2k2>m2 4km则x1 + x2=1

25、+ 2k2 .7 分x1x2 =2m2-21 + 2k2/-/-/设AOB的重心为 G(x, y),由1G-QG= 5,可得x2+y2= 4. 99由重心公式可得G 嗜，售匕代入式，整理可得(xi +x2)2+ (y1+ y2)2 = 4冰(xi + x2)2 + k(x + x2) + 2m2 = 4,将式代入式并整理得m2=(1 + 2k2) 21 + 4k210分.t2+4t>0,皿 2(1+ 2k2) 24k441则 m 1 + 4k2= 1 + 丁&2=1+下7.又由 一0 可知 kw0，令 t = k2>0k2+k4(x) =2x2 + 2ax+ 1x+ am2

26、>1 ,m (-00 , 1)U(1, +8).12 分22【解析】(1)解法1: f(x)的定义域为(a, +8),，方程 2x2 + 2ax+1 = 0 的判别式 A= 4a2-8.。)若左0,即V2<a啦，在f(x)的定义域内f'(x)>0,故f(x)单调递增.(ii )若 A= 0,则 a = M2或 a= 一 V2.厂,(V2x+1) 2右2=也，xC (- 72, +0°), f(x) = +*.当x=当时，f' (x) = 0,当xe 业乎U 乎，+OO时，r (x)>0,所以f(x)单调递增.LL(V2x- 1) 2右 a=-也

27、 xe (击，+8), r (x) = 我>0, f(x)单调递增.(iii)若 A>0,即 a>V2 a< V2,_ a_a2 2_ a + /a2 2则2x2+2ax+ 1=0有两个不同的实根 xi=2, x2=2.当a< 一<2时，xi< - a, x2<- a,从而f'(x)在f(x)的定义域内没有零点，故f(x)单调递增.当a>*72时，xi> - a, x2>a, f' (x)在f(x)的定义域内有两个不同的零点，即f(x)在定义域上不单调.综上：实数a的取值范围为awJ2.6分解法2：很显然f'(x)不可能有连续零点，若f(x)为定义域上的单调函数，1一.则 f'(x)W0 或 f(x)>0 恒成立，又 f'(x)=+2x,因为 x+ a>0, x+ a所以f'(x)<0不可能恒成立，所以f(x)为定义域上的单调函数时，只可能f'(x)>0恒成立，即 + 2x>0 恒成立,即+ 2(x+