2020届河南省天一大联考“顶尖计划”高三第一联考理科数学试题-(带答案解析)

1、2020届河南省天一大联考“顶尖计划”高三第一联考理科数学试题第I卷（选择题）一、单选题1 .已知集合用=x，- 3x<o , N = x|l«xK7,则 Mp|N=（）A. x11 <x<3B. x| 1 <x<3 c. x|0<x<7 D. x|0<x<72-72 .设好数2=;,则|z|=（）A 1b 应c 1d aA, D. C. D. 33223.中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一 个多位数时，像阿拉伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式 需要纵横相间，其中个位

2、、百位、方位用纵式表示，十位、千位、十万位用横 式表示，则56846可用算筹表示为（ ）125456789I IIIIIIlliHillTH ¥ >us=m L-L=L=根式中国古代的算筹数码A. IIIII1JIIIITc. TlllllXb. IIIII1WT-Illll±¥llll±试卷第6页，总5页4.为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重好.若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是)A.该市总有15000户低收入家庭B.在该市从业人员中，低收入家庭共有1800户C.在该市

3、无业人员中，低收入家庭有4350户D.在该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有800户5.运行如图所示的程序框图，若输出的1的值为99,则判断框中可以填（）A. S>1B. S>2C. 5 >lg99D. S>lg98（i_i-,b = lla , c = logM，则e）4a, b, c的大小关系为（）A. c <a <b B. a<c<bC. a <b<c D. c <b <a7 .己知非零向量满足同= %W，若%b夹角的余弦值为差，且（M-25）_L（3a + 5）,则实数的值为（）4 2343A,B. C.一或D.

4、9 32928 .记单调递增的等比数列“的前项和为S”，若生+。4=10, a2a.a4 = 64 ,则A. S“+S”=2皿 B. % =2C. S=21 D. S=2T 1A"一9.函数/*） = 6W-'、的图象大致为（）“十厂10 .设抛物线C：r = 2 px（p > 0）的焦点为F,抛物线C与圆厂：/ + 6, _ JJ）2 = 3交于MW两点，若I MN |= V6，则4MNF的面积为（）3点T11 .关于函数x） = gsX + cos|2x|,有下列三个结论:万是的一个周期； AM在 子,m 上单调递增；"X）的值域为-2,2.则上述结论中，

5、正确的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 312 .已知四棱锥S-ABC。的底面为矩形，SA1底面ABC。，点上在线段上，以AO为直径的圆过点E.若S4 = J?AB = 3,则ASEO的面枳的最小值为（）97A. 9B.7C.-D.-22第口卷（非选择题）请点击修改第n卷的文字说明二、填空题13 .若变量工，> 满足约束条件（2x+y«4,则z = x2的最大值为. J + 2N0,14 .函数/（刈=不"2、的极大值为.15 .已知双曲线C：二一二=1（ 6/ > 0 , >0）,直线/：1二皿与双曲线C的两 a- b条渐近线分别交于A，8两点.若

6、A皿 （点。为坐标原点）的面积为32,且双曲线C 的焦距为2/，则双曲线C的离心率为.s16 .记数列q的前项和为S”，已知2sL = nan +1）,且/ = 5 ,若m>e,乙则实数加的取值范围为.三、解答题17 . AABC的内角A，B, C的对边分别是。，b , c ,已知（"/?）? =。?一出?.（1）求角c；(2)若4ccos A + g k 2)+ /?sinC = 018 .如图所示，三棱柱ABC - A4G中，AA，平面ABC,前D，E分别在线段4人，CG上，且AQ = ：AA，DE/AC,尸是线段A6的中点.（I）求证：石尸平面与G。；（H）若ACAC,

7、AB = AC, M = 3 AB ,求直线6c与平面4。石所成角的正 弦值.19 .已知椭圆C： +r=l,不与坐标轴垂直的直线/与椭圆C交于M，N两点. 4 .（I）若线段的中点坐标为（L；）,求直线/的方程； 乙）（H ）若直线/过点（4,0）,点尸国满足k. +3.=0（，%分别为直线,PN的斜率），求见的值.20 .已知函数= hix+ij.（I）若7 = 1,求曲线y = f（x）在（1JQ）处的切线方程;（II）当7W1时，要使/（x）xlnx恒成立，求实数，"的取值范围.21 .某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏，每次由一个小孩与其一位家长参与，测 试家长对小孩饮食

8、习惯的了解程度.在每一轮游戏中，主持人给出A, B, C, O四种食 物，要求小孩根据自己的喜爱程度对其排序，然后由家长猜测小孩的排序结果.设小孩 对四种食物排除的序号依次为小般切，家长猜测的序号依次为），冷到。）必其中和以必比处都是1, 2, 3, 4四个数字的一种排列.定义随机变量X= Cva-Va） 2+（% -M）斗（xc-yc） 2+ （功）用X来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度.（1）若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解.（i）求他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率；（ii）求X的分布列（简要说明方法，不用写出详细计算过程）；（2）若有一组小孩和家长进行来三轮

9、游戏，三轮的结果都满足XV4,请判断这位家长 对小孩饮食习惯是否了解，说明理由.x = 2m +（加为参数），以22 .在平面直角坐标系工0.V中，曲线C的参数方程为坐标点。为极点,X轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为pcos（出（1）求直线/的直角坐标方程和曲线。的普通方程;（2）已知点M （2, 0）,若直线/与曲线C相交于P、。两点，求西+ 丽"的值 I I I I23 .已知X, y, Z均为正数.(1)若 xy< 1,证明：k+z|,卜+z| >4町Z；若二=葭求”5 2心的最小值本卷由系统H动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。参考答案1.

10、 A【解析】【分析】求解一元二次不等式解得集合M ,根据集合的交运算即可求得结果.【详解】M = x | / - 3x < 0 = x | x(x-3) < 0 = x 10 < x < 3,故 MCN = xl<x<3.故选：A.【点睛】本题考查集合的运算、一元二次不等式的解法，考查运算求解能力以及化归与转化思想，属 基础题.2. D【解析】【分析】先用里数的除法运算将更数Z化简，然后用模长公式求Z模长.【详解】M 2-/(2-0(1-3/)一 1 一万 17 .解 7 = = = = - - I1 + 3/ (1 + 30(1-3/)1010 10 &#

11、39;则0=故选：D.【点睛】 本题考查复数的基本概念和基本运算,属于基础题.3.B【解析】【分析】 根据题意表示出各位上的数字所对应的算筹即可得答案.【详解】 解：根据题意可得，各个数码的等式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示；十位, 千位，十万位用横式表示，二56846用算筹表示应为：纵5横6纵8横4纵6,从题目中所给出的信息找出对应算筹表示为6中的.故选：B .【点睛】本题主要考查学生的合情推理与演绎推理，属于基础题.4. D【解析】【分析】根据给出的统计图表，对选项进行逐一判断，即可得到正确答案.【详解】解:由题意知，该市老年低收入家庭共有900户，所占比例为6%,则该市总有低收

12、入家庭900-6%=15000 （户），A正确，该市从业人员中，低收入家庭共有15000x12%= 1800 （户），B正确，该市无业人员中，低收入家庭有15000x29%=4350 （户），C正确，该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有15000x4%=600 （户），D错误.故选：D.【点睛】本题主要考查对统计图表的认识和分析，这类题要认真分析图表的内容，读懂图表反映出的 信息是解题的关键,属于基础题.5. C【解析】【分析】模拟执行程序框图，即可容易求得结果.【详解】运行该程序：第一次，i = l, s = lg2；第二次，i = 2, S = lg2 + lg| = lg3：4 第三次

13、，i = 3, S = lg3 + lg- = lg4, 99 第九十八次，i = 98, S = lg98+lg = lg99；100第九十九次，i = 99, 5 = lg99 + lg= lgl00 = 2,此时要输出1的值为99.此时 S = 2>/g99.故选：C.【点睛】本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及化归转化思想，涉及判断条件的选择，属 基础题.6. A【解析】【分析】根据题意求得参数。，根据对数的运算性质，以及对数函数的单调性即可判断.【详解】依题意，得3a =5,故a = log35£（l,2）,/ 1、1密5呜 Ogi =1故0<。= 一

14、<1, b = .logs 5 > 1, Ve7则c < a < b故选：A.【点睛】 本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，考查推理论证能力，属基础题.7. D【解析】【分析】 根据向量垂直则数量积为零，结合同=4忖以及夹角的余弦值，即可求得参数值.【详解】依题意，得小_25）-（34+ 8） = 0,即3同2 5万6_2忖2 = 0.将同=4可代入可得，18万194 12 = 0，34解得几=（%=?舍去）. 29故选：D.【点睛】本题考查向量数量积的应用，涉及由向量垂直求参数值，属基础题.8. C【解析】从而得到数列【分析】 先利用等比数列的性质得到生的

15、值，再根据2，%的方程组可得外，%的值, 的公比，进而得到数列的通项和前项和，根据后两个公式可得正确的选项.【详解】因为4为等比数列，所以生牝，故。；=64即为=4,(a2 + a4 = l0a2a4 = 16a=8a, = 8a4 = 2因为应为递增数列，故a2= 24 = 8符合.此时/=4,所以q=2或q=一2 （舍，因为2为递增数列）.故=4x2"-3 = 2"-1 5 =k02)= 2“-1. 1-2故选C.【点睛】一般地，如果q为等比数列，S”为其前项和，则有性质:(1)若m,，p,£N*,m + = + 9，则%。 =与/；(2)公比qwl时，则有S

16、” = A + Sq”，其中为常数且4 + 6 = 0；(3) 5,S2n-S,S3-S2n9.为等比数列(S”w0 )且公比为q".9. A【解析】因为 /() = 6皿一 (f = 6曲M -= /(X),正(-4 Vl + x7所以函数/ W为偶函数，图象关于）'轴对称，故可以排除C;f （乃）=d山川一因为八, E1，故排除3,因为吗）=6巴答案第20页，总19页46_/ = 6_2 = 4由图象知,排除0.故选:A【点睛】本题考查了根据函数的性质，辨析函数的图像，排除法,属于中档题.10. B【解析】【分析】由圆C'过原点，知M,N中有一点M与原点重合，作出

17、图形，由|C'W 二 |C'N| 二 J3, |MN| ="，得C'M_LC'N,从而直线MN倾斜角为:，写出N点坐标，代入抛物线方程求出参数，可得尸点坐标，从而得三角形面积.【详解】由题意圆C'过原点，所以原点是圆与抛物线的一个交点，不妨设为M，如图，由于|C'M| = |CR| = 6，MN = y/6,:,CM 1CN, ：,4CMN = g NNQi=?,点n坐标为代入抛物线方程得（gy=2px0, p=B,2【点睛】本题考查抛物线与圆相交问题，解题关键是发现原点。是其中一个交点，从而AMNC'是等 腰直角三角形，于是可

18、得N点坐标，问题可解，如果仅从方程组角度研究两曲线交点，恐 怕难度会大大增加，甚至没法求解.11. B【解析】【分析】利用三角函数的性质，逐个判断即可求出.【详解】因为f(X)= /(X+犯，所以乃是/(X)的一个周期，正确:因为/(乃) = 2,曰)=孝3 5<2,所以小)在T，T上不单调递增,错误;因为/(x) = /(x),所以/(M是偶函数，又乃是/(M的一个周期，所以可以只考虑/(用的值域.当X6f = cosxe0,l,/(x) = |cos M + cos 12x| = cos x+cos 2x = 2 cos2 x+cos x-l = 2t2 +y = 2F+f l在0上

19、单调递增，所以f(x)eT2, /的值域为,错误;综上，正确的个数只有一个，故选B.【点睛】本题主要考查三角函数的性质应用.12. C【解析】【分析】根据线面垂直的性质以及线面垂直的判定，根据勾股定理，得到8瓦石C之间的等量关系,再用BE,EC表示出SED的面积，利用均值不等式即可容易求得.【详解】设 5石=x , EC = y,则 BC = AD = x+y.因为S41平面45cO，EOu平面468,所以S4_LE£>.又 AE 上 ED, SAr>AE = A,所以七O_L 平面 SAE,则E3_LSE.易知 4石=4胃 + 3，ED = yjy2 + 3-在 RtA

20、AEO 中，AE + ED2 = AD2»x2 + 3+y2 + 3 = (x+y)2,化简得外=3.在RtzXSE。中，SE = GTH，ED = Jy2 + 3 = W + 3.所以 外ed = ；SE-ED = ；八 +譬+ 45 .22 V r因为3丁 +萼 2 2=36，当且仅当工=遍，),=乎时等号成立，所以5士。之305异石=|.故选：C.【点睛】本题考查空间几何体的线面位置关系及基本不等式的应用，考查空间想象能力以及数形结合 思想，涉及线面垂直的判定和性质，属中档题.13. 7【解析】【分析】画出不等式组表示的平面区域，数形结合，即可容易求得目标函数的最大值.【详解】

21、作出不等式组所表示的平面区域，如下图阴影部分所示.观察可知，当直线Z = x2)，过点。(3,-2)时，z有最大值，4 = 7.故答案为：7.【点睛】本题考查二次不等式组与平面区域、线性规划，主要考杳推理论证能力以及数形结合思想, 属基础题.114. 2e【解析】【分析】时函数求导，根据函数单调性，即可容易求得函数的极大值.【详解】依题意，得 fx) = e-2x-2xq2x = e_2jr(l- 2x).1所以当xe -oo,- z)时，fXx)<0.1时，ff(x) > 0 ；当xe 弓,+oo乙所以当x = J时，函数有极大值22e 故答案为：之.2e【点睛】本题考查利用导数

22、研究函数的性质，考查运算求解能力以及化归转化思想，属基础题.15. 小或专【解析】【分析】用。力表示出046的面积，求得。力等量关系，联立焦距的大小，以及即 可容易求得。力，则离心率得解.【详解】h = 4。，联立, b解得)'=劭.)' = x a所以AOAB的面积5 =、448% = 166? = 32,所以。6 = 2.2而由双曲线C的焦距为26知，c = J亍，所以。2+=5.储=1, fci = 2,联立解得IL c或11 /b = 2 1b = l,故双曲线C的离心率为或岑.故答案为：小或专【点睛】本题考查双曲线的方程与性质，考查运算求解能力以及函数与方程思想，属中

23、档题.16. (2,xo)【解析】【分析】S根据递推公式，以及4”,S“之间的关系，即可容易求得凡,S”，再根据数列寸的单调性,求得其最大值，则参数的范围可求.【详解】当 =2时，2s2生+1 = 2(% + 1)，解得S? = 8.所以4 = 3.因为 2s“ - a” +1 = n+1),则 2s/1 -4+i +1 = ( + 1)(q+1 +1)»两式相减，可得2。什=( + 2)氏+ -( + l)an+1,即 4+( +1)/ +1 = 0，则( + l)an+, - (7? + 2)% +1 = 0.两式相减,可得+2-26+ +4=0.所以数列q是首项为3,公差为2的

24、等差数列，所以勺 =2 + 1,则1=一 + 2. 2"2令"%则如”=安当之2时，bn+l-bn <0,数列也单调递减,-3 z 、115而仇=5，4 = 2，/?3 = »故相>2,即实数7的取值范围为(2,+8).故答案为：(2,+oo).【点睛】本题考查由递推公式求数列的通项公式，涉及数列单调性的判断，属综合困难题.17. (1)- 3(2) &【解析】【分析】(1)利用余弦定理可求cosC,从而得到C的值.(2)利用诱导公式和正弦定理化简题设中的边角关系可得 =4，得到分值后利用面积公【详解】（1）（a-b）2 =c2-ab , a2

25、 +b2-c2 =ab.L2 _ 21所以由余弦定理，得COSC= ' T =上 2ab 2jr又因为。£（0,4），所以c = §.（2）由4ccos（4 + g + sinC = 0,得一4csinA+sinC = O.由正弦定理，得4ca = bc,因为cwO,所以Z? = 4a.又因a = l,所以 =4.所以 MBC 的面积 S = lR?sinC = Lxlx4xYm = JT.222【点睛】在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如 果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简

26、该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系 式或边的关系式.18. （ I ）证明见详解：（II） 眄.5【解析】【分析】（I）取4。中点为G,根据几何关系，求证四边形/GC;E为平行四边形，即可由线线平行推证线面平行；（H）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量和平面的法向量，即 可求得线面角的正弦值.【详解】（I）取4。的中点G,连接QG,尸G.如下图所示：因为尸，G分别是线段48和4。的中点，所以尸G是梯形的中位线，所以/GA0.X AD/CC,所以 FGCC因为 AOCC;, DE/AC,所以四边形AOEC为平行四边形，所以A3 =

27、 CE.所以qe = |cg，FG=ADBBi =|c£ = qE.所以四边形尸GG石为平行四边形，所以EF7/QG.又EFZ平面8。1。，。0匚平面46；。，所以七尸平面耳G。.(II)因为A6J_AC,且平面ABC,故可以人为原点，AB的方向为x轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系,如下图所示：不妨设A6 = AC = 1,则4=3,所以 C(0,0/), 5(1,0,0),4(1,3,0), 0(OJO), E(0,l,l).所以阮=(一1,0,1)，4。=(一1,一2,0),瓦=(0,0,1).设平面4。石的法向量为” = (x,y,z),万取)=0iiDE = Ox+2y

28、= 0, Z = 0.设直线BC与平面BQE所成的角为0,则sm”华印=巫.V5xV2 5故可得直线BC与平面BfiE所成的角的正弦值为巫.5【点睛】本题考查由线线平行推证线面平行，以及用向量法求解线面角，属综合中档题.19. （ I ） x+2y-2 = 0 （II） x0 = 1【解析】【分析】（I）根据点差法，即可求得直线的斜率，则方程即可求得；（II）设出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理，根据女.+女小,= 0,即可求得参数 的值.【详解】A,'； j（1）设 （8,y），"（七/2），则V 、丁+方=14两式相减，可得七二手E1 +（见一为）（）+%）=0.（*

29、）因为线段MN的中点坐标为0,g）,所以用+&=2, > +） = 1.代入（*）式，得（$一；）2+（弘_%）= 0.y y 1所以直线/的斜率一二二 一 ：；.一 .X、 Zx = my + 4,X2 ,十)广=1.14 .所以直线/的方程为y 1 = ；（xl）,即x + 2y 2 = 0. 乙乙（H）设直线/： x = my + 4 （团00）,联立 整理得+ 4)y2 + Smy + 12 = 0.所以 = 6W-4x12x(77?2 +4)>0,解得/>12.8/7712nr + 4"+4所以 k pm + kpN =K 一 X（公 -%）+乃（

30、玉一） 十（石一/）（三 一 %）WK + 须 义 一 (M + K K ( + 4)弘 + (，叫 + 4) % (% + y2)xQ（为一%）（工一小）（王一%）（占一%）2冲通+（4-/）（乂 +乃）_0（%一%）（公一%） 所以2阳m +（4% ）（凹+ %）=。 所以 2 s/ + (47。)()”制=2*岛 + (%-4)-忌=*12 =。.因为znWO，所以% =。【点睛】本题考查中点弦问题的点差法求解，以及利用代数与几何关系求直线方程，涉及韦达定理的 应用，属中档题.【解析】【分析】（I）求函数的导函数，即可求得切线的斜率，则切线方程得解；（II）构造函数y = /（x）对参数

31、分类讨论，求得函数的单调性，以及最值，即可 容易求得参数范围.【详解】li1(I )当7 = 1 时，f(x) = x2 111X + -,则/'(x) = 2x 111X + - +X.2)i2 )z)所以/3 = 2.113又/(1)=,，故所求切线方程为)-5=2(文一1),即)，=21一5."1(II)依题意，得加/ 111X + - >X111X, 乙)即 mx2 Inx + xlnx > 0恒成立. <2 >(1 A令g(x) = mV h】x+ -xliix ,<2)则 g'(x) = (2吠- l)(lnx +1).当 7

32、<0时，因为g(l) = J7<0,不合题意.2当0<加工1时，令g'(x) = O,得 为 = ,= 一 ,显然- -2/h- e zm e令g'(x)>0,得0cx或x>J_；令g'(x)<0,得L<x<_L e 2/«e 2m所以函数g(x)的单调递增区间是0, V”<2w) (1 1 产，单调递减区间是匕茄当0,J)时，tnx2 - X < 0 » 111X <0 , 1所以 g(x) = k hij + - xlnx=(mx1 - x) In x + i mx1 > 0

33、,只需gP < 2/774/n 2m Sm所以实数机的取值范围为【点睛】 本题考查利用导数的几何意义求切线方程，以及利用导数研究恒成立问题，属综合中档题.21. (1) ( i ) | (ii)分布表见解析；(2)理由见解析【解析】【分析】(1) (1)若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解，则家长对小孩的排序是随意猜测的，家 长的排序有A： = 24种等可能结果，利用列举法求出其中满足“家长的排序与对应位置的数 字完全不同”的情况有9种，由此能求出他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不 同的概率.(11)根据(1)的分析，同样只考虑小孩排序为1234的情况，家长的排序一共有24种情况

34、， 由此能求出X的分布列.(2)假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解，在一轮游戏中，P(XV4)=P(X=0) + P(X=2)=；,三轮游戏结果都满足“XV4”的概率为一二上，这个结果发生的可能性很小，从6216 1000而这位家长对小孩饮食习惯比较了解.【详解】(1)(/)若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解，则家长对小孩的排序是随意猜测的，先考虑小孩的排序为必，加玄，切为1234的情况，家长的排序有4： =24种等可能结果, 其中满足“家长的排序与对应位置的数字完全不同”的情况有9种，分别为：2143, 2341, 2413, 3142, 3412, 3421, 4123, 4312, 43

35、21,93工家长的排序与对应位置的数字完全不同的概率P=- = -.24 8基小孩对四种食物的排序是其他情况，只需将角标A, B, C, O按照小孩的顺序调整即可，假设小孩的排序加，加，xc,切为1423的情况，四种食物按1234的排列为ACO8, 再研究)河冲°加的情况即可，其实这样处理后与第一种情况的计算结果是一致的， ,他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率为g .根据(/)的分析，同样只考虑小孩排序为1234的情况，家长的排序一共有24种情况， 列出所有情况，分别计算每种情况下的的值，X的分布列如下表：X02468101214161820P1241 81241 61121121121.61241 8124(