第四章多维随机变量及其分布PPT课件

1、第四章第四章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布随机变量及随机变量及分布函数分布函数随机变量的独立性随机变量的独立性第四章第一讲第四章第一讲二维随机变量及分布函数二维随机变量及分布函数 在打靶时在打靶时, ,命中点的位置是由一命中点的位置是由一对对r.vr.v( (两个坐标两个坐标) )来确定的来确定的. . 飞机的重心在空中的位置是由飞机的重心在空中的位置是由三个三个r.vr.v ( (三个坐标）来确定的等三个坐标）来确定的等等等. .o1、定义、定义 若若X, Y是两个定义在是两个定义在同一个样本空间同一个样本空间上的上的随机变量，则称随机变量，则称(X, Y) 是是二维随机变量二维

2、随机变量. o同理可定义同理可定义 n 维随机变量维随机变量 (随机向量随机向量).一、二维随机变量一、二维随机变量二维随机变量（二维随机变量（X,Y）X和和Y的联合分布函数的联合分布函数: X的分布函数的分布函数:一维随机变量一维随机变量X( , )(,)F x yP X xY y, x y ( )()F xP Xxx2 2、联合分布函数、联合分布函数设（设（X,Y）是二维随机变量，对于任意实数）是二维随机变量，对于任意实数 x,y，二元函数二元函数 为二维随机变量（为二维随机变量（X,Y）的分布函数，或随机变量的分布函数，或随机变量X和和Y的联合分布函数。的联合分布函数。( , )(,)F

3、 x yP XxYy边际分布函数边际分布函数已知已知 (X, Y) 的联合分布函数为的联合分布函数为 F(x, y)， Y FY (y) = F(+ , y).则则 X FX (x) = F(x, + ),3 3、 分布函数的分布函数的F（x, y）几何意义几何意义: :F(x, y)为(X, Y)落在点(x, y)的左下区域的概率.xy(x, y)( (1) ) F(x,y)是变量是变量x和和y的不减函数的不减函数, ,即即 对于任意固定的对于任意固定的 y，当，当 x1 x2 时，时， F(x1, y)F(x2, y) 对于任意固定的对于任意固定的 x，当，当 y1 y2 时，时， F(x

4、, y1)F(x, y2)4 4、 分布函数的分布函数的F（x,y）的基本性质：的基本性质：. (2) 对于任意固定的对于任意固定的对于任意固定的对于任意固定的(4) 对于任意的对于任意的(x1, y1), (x2 , y2),(x1x2, y1y2) 有有 F(x2,y2) -F(x1,y2) -F(x2,y1) +F(x1,y1)0.(3) F(x, y)=F(x+0, y), F(x, y)=F(x, y+0)0( , )1F x y(,)lim( , ) 1,xyFF x y (,)lim( , ) 0.xyFF x y ()lim( , )0yx,F x,F x y ,F(, )li

5、m( , )0 xyyF x y求常数求常数A,B,C的值、边际分布及概率的值、边际分布及概率,4arctan3arctan)(yCxBAx,yF3,4P XY例例1 设设(X,Y)的分布函数为的分布函数为.二、二维离散分布的联合分布列二、二维离散分布的联合分布列 定义： (X, Y) 的可能取值为有限对、或可列对，称pij = P(X=xi, Y=yj)， i, j=1, 2, ., 为(X,Y) 的联合分布列，其表格形式如下:Yy1 y2 yj x1x2xi p11 p12 p1j p21 p22 p2j pi1 pi2 pi j 0, ,1,2,1ijijijpi jp确定联合分布列的方

6、法确定联合分布列的方法 (1) 确定随机变量 (X, Y) 的所有取值数对. (2) 计算取每个数值对的概率. (3) 列出表格.二维离散型随机变量二维离散型随机变量（X,Y）的联合概率的联合概率 xxyyijijPyYxXPyxF,),(（X,Y）的分布函数为的分布函数为一维离散型随机变量一维离散型随机变量X X的概率函数的概率函数 xxiiPxXPxF)(X的分布函数为的分布函数为(,),ijijP Xx Yyp0, ,1,2,1ijijijpi jp(),iiP Xxp0,1,2,1iiipip例例2 2把一枚均匀硬币抛掷三次，设把一枚均匀硬币抛掷三次，设X X为三次抛掷中为三次抛掷中正

7、面出现的次数，而正面出现的次数，而Y Y为正面出现次数与反面出现次为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求数之差的绝对值，求( (X,YX,Y) )的概率函数的概率函数 . .解：（解：（ X, Y）可取值）可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)P(X=0, Y=3)=(1/2)3=1/8P(X=1, Y=1)=3(1/2)3=3/8P(X=2, Y=1)=3/8P(X=3, Y=3)=1/8列表如下列表如下边际分布列边际分布列巳知巳知 (X, Y) 的联合分布列为的联合分布列为 pij， 则则 X 的分布列为：的分布列为： Y 的分布列为：的分布列为： 1()ijjiiip

8、pP Xxp1 ()ijijjjppP Yyp联合分布与边缘分布的关系：联合分布与边缘分布的关系：由联合分布可以确定边缘分布由联合分布可以确定边缘分布; ;由边缘分布一般不能唯一确定联合分布由边缘分布一般不能唯一确定联合分布. .设随机变量 Y N(0, 1), 的联合分布列.课堂练习课堂练习120, | 10, | 2, 1,| 11,| 2YYXXYY第四章第二讲第四章第二讲二维连续型随机变量二维连续型随机变量设二维随机变量(X, Y) 的分布函数为 F(x, y)，若存在非负可积函数 f(x, y)，使得一、二维连续分布的联合密度函数一、二维连续分布的联合密度函数则称 (X, Y) 为二

9、维连续型随机变量。称f(x, y) 为联合密度函数。-( , y) = ( , )xyF xf u v dvdu 连续型连续型X X和和Y Y 的联合密的联合密度函数度函数 则则 二维随机变量（二维随机变量（X,Y）( , )f x y( , )0f x y ( , )1f x y dxdy ( , )Gf x y dxdy( , )Px yG若若p(x,y)在点在点( (x,y) )处连续，则处连续，则2( , )( , ).F x yf x yx y ( )baf x dx一维随机变量一维随机变量X X连续型连续型X X 的密度函数的密度函数为为 则则( )1f x dx( )0f x P

10、 aXb)(xf若若f f(x)在点在点x处连续，则处连续，则( )( )f xF x （1）求常数求常数k的值；的值； （2）求分布函数）求分布函数F（x,y）；）； （3）求）求23,0,0( , )0,xykexyf x y其它236P XY例例3 已知二维随机变量（已知二维随机变量（X，Y）的概率密度为）的概率密度为322x+3y=60试求：（试求：（1 1）（X，Y）的概率密度的概率密度f (x , y); （2 2）P(0X3).,4arctan23arctan21),(2yxyxyxF例例4 4 已知二维随机变量（已知二维随机变量（X，Y）的分布函数）的分布函数边际概率密度边际概

11、率密度巳知巳知 (X, Y) 的联合密度函数为的联合密度函数为 f(x, y)，则则 X 的密度函数为的密度函数为 ： Y 的密度函数为的密度函数为 ： ( )( , )dXfxf x y y( )( , )dYf yf x y x例例6 6 设设( (X,Y) )的概率密度是的概率密度是(2), 01,0( , )0 ,cyxxyxf x y 其它求求 (1) (1) c c的值；的值； （2 2）两个边缘密度。）两个边缘密度。=5c/24=1,c =24/5( , )f x y dxdy 解：解：(1)由由( , )1f x y dxdy 确定确定C100(2)xcyx dy dx 120

12、(2)/2cxxdx解解: (2) 024( )(2)5xXfxyx dy注意积分限注意积分限注意取值范围注意取值范围xy01y=x124( )(2)5Yyfyyx dx2243(2),522yyy01y212(2),5xx01x1 1、二维均匀分布、二维均匀分布若二维连续随机变量 (X, Y) 的联合密度为：则称 (X, Y) 服从 D 上的均匀分布，记为 (X, Y) U (D) .其中SD为D的面积.1,( , )( , )0DSx yDf x y，其 它四、常用多维分布四、常用多维分布随机变量（随机变量（X,Y）在）在G G上服从均匀分布，求（上服从均匀分布，求（X,Y）关于关于X X和关于和关于Y Y