第一至第六届全国大学生高等数学竞赛真题(非数学类)

1、2009-2015年全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学)2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题(每小题5分，共20分)(x y) ln(1 )1 .计算j j .dxdy =,其中区域 D由直线x + y = 1与两D v 1 - x - y坐标轴所围成三角形区域.22 .设 f(x)是连续函数，且湎足 f(x) =3x2 - J。f(x)dx-2,则 f(x)=.23 .曲面z =巳+ y2 -2平行平面2x+2y-z = 0的切平面方程是.24 .设函数y = y(x)由方程xef(y) =eyln29确定，其中f具有二阶导数， 且f01,则吧=.dx2x 2xnx e二、(

2、5分)求极限四(e e J)x,其中n是给定的正整数.三、(15分)设函数f(x)连续，g(x)=f(xt)dt ,且4 =庆，A为 常数，求g(x)弁讨论g7x)在x=0处的连续性.四、(15分)已知平面区域 D =(x,y)10MxMn,0My-, L为D的 正向边界，试证：(1) 匚xesin ydy - ye-5 xdx =cxe-siny dy - yesin xdx ; LL(2) : xesinydy -yesinydx 二 5二2.L2五、(10 分)已知 y1=xex+e2x, y2=xex+eT, y3 = xex+e2x - e j是某 二阶常系数线性非齐次微分方程的三个

3、解，试求此微分方程.六、(10分)设抛物线y =ax2+bx+2ln c过原点.当0E x 1时，y圭0,又已知该抛物线与x轴及直线x=1所围图形的面积为 L试确定3a,b,c,使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、(15 分)已知 Un(X)满足 un(x) =Un(X)+XneX(n=1,2,)，且 / =一, n求函数项级数Jun(X)之和. n 1八、(10分)求XT1田1 与J Xn2等价的无穷大量.n O2010年第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷、(25分，每小题5分)(1)设 Xn =(1+a)(1 + a2)|(1 + a2 )，其中 |a1,求 lim Xn.求

4、lim eon_ :二(2)(4)设函数f(t)有二阶连续导数,(3) 设 SA0,求 I = RXXndX(n=1,2,|D。r =Jx2 + y2,g(x, y)= f 求r-2-2二 g . i g-2 .X-2-y6 / 9(5)求直线1i：X：0.与直线l2=4*的距离 二、(15分)设函数f(x)在(,)上具有二阶导数，弁且f (x)0,Jim/(x) =a A0,JjmJ x) = P M0,且存在一点 X0,使得 f (Xo) -1)所确定，其 y =一 中W(t)具有二阶导数，曲线求函数中(t)。e”小在出相切，n四、(15 分)设 an 0,Sn =H ak,证明: kd（

5、1）当1时，级数能收敛;（2）当1 M1且SnT 8（nT时级数一吃发散。 nS五、（15分）设l是过原点、方向为伍民丁），（其中1+日2+2=1）的直线，均匀椭球222a10cb b c 0, c12 :z2 = x2 + y2,为工1与工2的交线，求椭球面工1在上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值。，一， 一、一， x2 3y2 = 1 八,五.(本题16分)已知S是空间曲线/ 3y 1绕y轴旋转形 z = 0成的椭球面的上半部分(z之0)取上侧，n是S在P(x,y,z)点 处的切平面，P(x,y,z)是原点到切平面n的距离，九尸,v表示S 的正法向的方向余弦。计算：(1) IIzdS

6、; (2)仃 z(人 x +3卜 y+ 期 z)dSs、x, y,zs六.(本题12分)设f(x)是在(-咒+叼内的可微函数，且 f、(x)mf(x),其中0m(2)求通过直线l :12xy-3Z2=0的两个互相垂直的平面和5x 十5y 4z+ 3 = 0%,使其中一个平面过点(4,-3,1) o2已知函数z = u(x,y)eax9,且上- = 0。确JE常数a和b,使函x.: y数z = z(x,y)满足方程上二一电一学+ z = 0 :x；yx 2y设函数u=u(x)连续可微，u(2) = 1，且J(右半平面与路径无关，求u(x,y)ox+2y)X +(x + u3)y 在x 1 sin

7、t lxdtx t cost(本题10分)计算广exsinxdx三、1求万程x2sin= 2x501的近似解，精确到 0.001. x四、(本题12分)设函数y= f(x)二阶可导，且f(x)0, f(0) = 0,x3f (u)f (0) =0 ,求mx 0 f(x)n，其中u是曲线y = f (x)上点P(x , f (x)处的切线在x轴上的截距。五、(本题12分)求最小实数C,使得满足1|f(x)dx=1的连续 函数 f(x)者B 有f ()dx0o区域。是由抛物面z = x2 y2和球面x2+y2+z2=t2(zA0)所围起来的部分。定义三重积分F(t) =f(x2 y2 z2)dv求

8、F(t)的导数F ”(t)七、(本题14分)设J an与J bn为正项级数，证明：n z1n 1(1)若 lim(- )0,则级数 an 收敛；n i an 1bn b 1nJ(2)若im (一 一工)0,且级数J如发散，则级数J %发 n； ： an ibn bn injn散。2013第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷解答下列各题(每小题 6分共24分，要求写出重要步骤)_ n1 .求极限 lim (1 +sin n Ji + 4n2 ).n_l 二2 .证明广义积分;虫dx不是绝对收敛的 0 x3 .设函数y = y(x )由x3+3x2y-2y3 =2确定，求y(x)的极值。4 .过曲线y

9、=(x之0)上的点A作切线，使该切线与曲线及x轴 所围成的平面图形的面积为3,求点A的坐标。4X二、(满分 12)计算定积分 i = JxSinxarCtane dx二1 cos x三、(满分12分)设 “乂)在乂=0处存在二阶导数f”，且li mf 二 0。证明级数n 1f r 收敛。5/四、(满分12分)设 f (x)Mn,f0(aMxMb),证明, 一2Js i n( x d x五、(满分14分)设工是一个光滑封闭曲面，方向朝外。给定第二型的曲面积分 I = J(x3-x )dydz+(2y3 - y )dzdx+(3z3-z)dxdy。试确定曲面工，使积分I的值最小，弁求该最小值。六、

10、(满分14分)设ia()=号/，其中a为常数，曲线C为 C x2 y2椭圆x2+xy+y2 =r2,取正向。求极限limla(r) r- r：1 - in -七(满分14分)判断级数工，n的敛散性，若收敛，求其n4 n 1 n 2和。2014年全国大学生数学竞赛预赛试题非数学类一、 填空题(共有5小题，每题6分，共30分)1 .已知yi=ex和yi=xex是齐次二阶常系数线性微分方程的解，则该方程是2 .设有曲面S: z = x2+2y2和平面L:2x+2y + z = 0。则与L平行的S 的切平面方程是3 .设函数y = y(x)由方程x=fisin213dt所确定。求5=114；dx4.o

11、(k 1)!则 lim xn =ni 二：9 / 915.已知 lim 11 + x + f(x) f = e3。贝U lim f2x) = x qxx 山 x(本题12分)设n为正整数，计算I = f3T8$1浓e dx xj三、(本题14分)设函数f(x)在0,1上有二阶导数，且有正常数 A,B 使得 | f(x)|B o 证明：对任意 xW0,1,有 | f(x) |:六、(本题15分)设人=2+ 22 + 22 n 1 n 2 n n求 m n - - Anf ：，,. 42015第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题(每小题6分，共5小题，满分30分)ji二ms n n2 1(2

12、)设函数z =z(x, y )由方程F x + -, y +- =0所决定，其中F(u,v)具【y xJ有连续偏导 数， 且xFu + yFv # 0 o 则:z:zx 一 y 一 二.:x：:y(3)曲面z = x2+y2+1在点M (1,-1,3)的切平面与曲面所围区域的体积是.(4)函数fix30)在(-5,5】的傅立叶级数在x = 0收敛的值 0.x 10,5是.(3)设区间(0, f )上的函数u(x )定义域为的u(x户厂edt ,则u(x)的 初 等 函 数 表 达 式是.二、(12分)设M是以三个正半轴为母线的半圆锥面，求其方程。三、(12分)设f (x)在(a, b)内二次可导，且存在常数 a,B ,使得对于 7xa,b),有 f(x)=cc f(x)*Bf (x 卜 则 f (x)在(a,b)内无穷次可导。四、(14分)求窑级数(x.1)n的收敛域，及其和函数。五、(16 分)设函数 f(x