第一章函数与极限(张富)

1、(B)x -2x 1(C)2x1x - 1(D)、选择题y =7=1 .函数 x(A) x(B) x -1(C) 1 -x(D) xx -32x -3* 2的间断点是(A )(A) x=1,x=2(C) x=1,x=2,x=3 -1的反函数是y= ( A )x 2x-1(A) 2(C) 4(B) 1(D)不存在2 .下列各对函数中为同一函数的是( B )3.函数(A)lnx2与21nx2xsin-(B)(D)x = 0在点x=0处(D(A)无定义(C)可导f (x )=4.设2 2x1,121nx 与 1e、xx与 arcsin x)(B)不连续(D)连续但不可导1的是(B) 1(D)不存在(

2、A) 2(C) 45.下列极限等于lim(A) x0sin x(B)sin x lim x3 x(C).1.lim xsin limT x (D) Tsin x6.设函数"x -1 ,则当xwl且xW0时,f x 二7.函数/ i-fi = 4x 71 +x2(x =0 ,则f (x )=8.设 xxJ4 _ x2 1(B)(A) x x(C) 4x _ V1 + x(D)4x9.设 Hxjc-x)“k(C)11.设 f (x )=mx n,x _0(A) m=1,n=1(C) m=0,n=1若lim f(x好在，则必有(D )x )0(B) m=2,n=1(D) m为任意实数，n=

3、1x * 0在点x=0处连续，则k= ( C )x = 0(B) e(D) -110.函数y = x + J16-x2的定义域为(B ) ln x(A) (0, 1)(B) (0, 1) U (1,4(C) (0, 4)(D) (0, 1) U ( 1 , 4)x - 213.设 f (x )=/2x a(A) 1(B) -1 (Q 0(D) -212.设f(x)=ln(9-x2),则f(x)的连续区间是( D )A. (-8,-3)B, (3, +8)C. -3, 3D. (-3, 3)x 二 0 ,在x=0连续，则2为(D )x -0(D) 0C )3lim 1 ax x = e314 .

4、 x-=0，则 2为(C )(A) 2(B)无穷大(C) 1y2, x#2一一15 .设 f(x)=。则 lim f (x )=1, x = 2 t2_. 2 1x sin 一16.当XT 0时，x是X的（B ）（A）较低阶的无穷小（B）较高阶的无穷小（C）等价无穷小（D）同阶但非等价无穷小到此！ ！ ！ ！1_x17.+2的间断点的个数为（1 一 x18.(A) 0(C) 21lim (1 -en )sin n=n_j：A. 0C.不存在B.D.19.函数在某点极限存在是函数在该点连续的（ooA（A）必要条件（B）充分条件（C）充要条件20.当xt如时，y = axbx2 x2 1(B) 1

5、(D) 3(D)）以上都不对-2为无穷小量，则（(B) a=0,b=1(D) a=1,b=0(A) a=0,b=0(C) a=0,b=221.函数y =ex -1的反函数是（y = ln x 1B.y = ln( x 1)C.y = In x -1D.y = ln( x -1)22.数列极限lim n Un n -1 - ln nn j二二23.24.25.(B). 一1 ；（D ）.不存在但非00当xt 0时，下列变量中，无穷大量是(C ).A. 2xB. 2TC. cot xD. tanx函数C.y = ex -1的反函数是（y = ln x 1B.D.当xt 0时，下列变量中，无穷大量是

6、y = ln( x 1)y = ln(x -1)(C ).30.下列函数中，函数的图象关于原点对称的是(xxA. 2B. 2-26 .函数f(x)= 11g上x的定义域是( x 1 xA. T<x<1C. T<x<027 .设函数 f(x)=3x,则联x)二 ( CxA.93xC.3328 .极限 lim arctgx= ( A )xT,， xA.0C.+oo29 .当x-0时，下列表达式不正确的是(A. ex -1 x_2C.1n(1+x)xC. cot xd. tanxD )B.0<x<1D.0<|x|<1)2xB.6D. 33xB.1D.不

7、存在C )B.sinxx 1D. . 1 x 1 x2D )A. y=sin |x|C. y=-x3sin x31. “对任意给定的&W (0,1),总存在整数N,B. y=3sin 2x+1D. y=x2sin x当n AN时，恒有xn -a £2腔是数列xn必要条件但非充分条件既非充分也非必要条件收敛于a的 C .A.充分条件但非必要条件B.C.充分必要条件D.一2 -x,32.仅 g(x)=jx 2,x<0x3 f(6-X,x -02 x , x ： 0A.2 -x, x-0B.2-x2,2 x,x ： 0 -C.x-022 - X，X：0 D.2-x, x-02

8、x2,2 x,x : 033.卜列各式中正确的是A.limx0B.C.x/lim 11x 0xj二e1 lim 11 - xT°l x)D.i , 1lim . 1 + 一 x)-x-1=e1 x斛：A中lim .1- I =e,式子没有息义lim 1x- 0xx1=e不是重二极限，是：0xlim 1 1x >0 xxlin0ln1lim xln 1 1_ex >0 xeln 1 ttlmT 0_1 e e ilim UxXT 笛 Ix J=lim 1 + x* i x Jrx-x二e1ed 1lim 11 一x一，二(-1)= e-134.设xt0时，etanx_1与x

9、n是等价无穷小，则正整数n= A .A. 1B. 2C. 3D. 4解：（利用等价无穷小）limx > 0etanx 1=limtanx=lim = 1 = n = 1 x > 0xn35.曲线y =1 e,1 -e*A.没有渐近线B.仅有水平渐近线C.仅有铅直渐近线D.既有水平渐近线又有铅直渐近线36.卜列函数在给定区间上无界的是A.C.1- sin x, x1-1 一 sin 一,x (0,1B.37.A.38.A.C.x (0,1D.1.，八、-sin x, x (0,二) x.1-、xsin - , x (0，二) xlim exxF不存在B.C. 0D. 1卜列说法正确的

10、是（有界数列必有极限C )。B.无界函数必是无穷大函数的连续点必是有定义的点D.函数的极限存在的点必是有定义的点39.下列极限中，极限值为 1的是（Dsin x A. lim40.1x卜列函数中,cot xB. lim x0 x不是奇函数的是(C.A.3x -1y =3x 1B.C.y =lg(xx2-1)D.1 - cosx lim x >0xD.y = xarccos x2 11 lim xsinx 二 xy = x x 1 - x - x 1x -11=0 是 f(x)的(A1 -ex -41.已知函数f(x) =f ,则点x1 exA.跳跃间断点B. 可去间断点C. 无穷间断点D

11、. 连续点42.函数f (x)是奇函数，则y =(A)奇函数 (B)偶函数2(C)非奇非偶函数(D)既是奇函数又是偶函数o c1 I ， 一43.当 xt0 时，x sin 正乂的(B )。x(A)低阶无穷小(C)等价无穷小(B)高阶无穷小(D)同阶但非等价无穷小44.下列函数在 x=0处均不连续，其中点x=0是f (x)的可去间断点的是(A )。(A) f (x) =sin x sin 一 x1(C) f(x)=ex,1(B) f(x)=1+ x 1(D) f(x) = |ex, x<0ex,x-0、填空题1 111xim：H2T )1 -2 .3 93nf x = J ；2x 13

12、.函数x -x 的间断点为 x=0,x=14.xim：；5.1 x lim 1 一二： x6.limx_.-'sin x 17.8.9.10.11.2lim -1x1 ln x =2limx-1x -1x -1tan x2x函数f (x )=12.函数13.时，函数不存在2x3-x-1f(x 曰 0f (x)= «x : 0x-0在x = 0连续。的连续区间是 0,2 1x 1x =1x 1 .1的连续区间为-二，-1-1,11,二14.已知 2 f 收计 f(1-x) = x2 ,则 f(x)=1x2 2331x -32ft f 1 -t =t2,1 22上式乘2相减，解出

13、f(x)=1x22f 1 -t ft = 1 -t315.若函数 y=ex和y=lnx的图形关于 直线 y=x 对称.16.ln(1 ex)17.极限limx-1x3 -3x2 2x 二sin x18.设函数 f (x) = « x3.一2x 0-,则f(x)的间断点是x = 0。0x<019.sin x-tan xlim 7x 0 ln 1 2x3解：注意等价无穷小的代换，和三角函数的变形limx_0sin x -tanxz-二 limIn 1 2x3x，0tanx(cosx -1)2x31 2、x(-x ) 二 lim23-x w 2x320.limx 13 二x r：；1

14、 x2Tx x-2解：一般有根式，要进行有理化lim V=lim 3-x-(1 x) x 1 xx-2x 1 (x -1)(x 2)(、. 3-x . 1 x)=lim2(1 二x)(x-1)(x 2)(.= .Vx)=limX 1-2(x 2)( <3x .Vx)21.已知limx j12x2 ax b=3 ,其中为a,b常数，则a =解：由于lim (x+1) =0，而极限为3,就意味着分子的极限只能为零 x >1lim (2x2 +ax + b) =0,即有2-a+b=0(1x >1limx >12x2+ax+b罗必?法则x 14x alim = 3,即有 - 4

15、 a = 3x -11(2)sin2x e2ax -1x2cos2x 2ae2ax1=2 2a = f (0) = a所以解出a =7,b = 5sin 2x e2ax 122 .若f(x)= x , X00在(巴"止连续，则a=a,x = 0lim f(x)= f(%) x >x0解：此题主要考虑函数在分界点处的连续性，连续的定义a - -2，八x -123 .曲线f (x) = ,x 1一 的水平渐近线是，铅直渐近线是x2 -4x 3解：定义：lim f (x) = a,则y = a为水平渐进线(x 二;)(x-二)lim f (x) = g，则x = x0为铅直渐进线x

16、P0(xx0 ') 一(x_xo)lim f(x) = k, lim ( f (x) -kx) = b, y = kx b为斜渐进线 x ； Yx_.(x-： .') x(x 二)(x- ： )(x )-：)铅直渐进线一般从分母为零的点出发，此题中分母为零的点为x = 1,x = 3x -1x -111lim 二 lim 二 lim =-x 1 x -4x 3 x 1 (x -3)(x -1) x >1 (x -3)2x 1x -11lim 二 lim 二 lim 二二x)3x2-4x 3 x 3 (x -3)(x -1) x >3 (x -3)1 _ 1x -1X

17、X2lim 二 lim xx 二 0x-' x2 -4x 3 x L 431x x所以有水平渐进线y = 0,铅直渐进线x = 3124.曲线y = (2x 1 £x的斜渐近线方程为1初 2x-1 ex1；斛：lim = lim 12 - ex = 2x 二 xx一小 x11lim 2x -1 ex -2x =Jm2 x(ex -1) -1 lim2 x(ex -1) -11= lim(2 x -) -1=2-1 =1 x x所以有斜渐进线y=2x-125.设函数f(x)的定义域是(0, 1),则f (14 x2)的定义域是(-2, -J3)U(J3,2)。26.已知k &g

18、t;0且当xt 0时，arcsin(xk) ln(1+2x2)是x的5阶无穷小，则k =工x - 0 .,，在(_qo,f 让连续，则常数 a = 1x = 00。sin x eax -127 .若 f(x)=j x 2a,28 . lim 3x 5 sin(7x3 9);5x2 329 . lim( J1+2+n_J+2+(n 1) = J2/2。 n_ ； ：-2 -x, x < 030.设 g(x)=x 2, x 0，f(x) = <x,x :二 0x _ 022 x , x ： 0则 g . f (x )= i。-2 x, x_ 0 一2.2x ax b 八31.已知 li

19、m =3 ,J 1 x 1其中为a,b常数，则a = 74rsin 2x e2ax 1032 .若f(x)= x , xh0在(叫依 比连续，则 a=2 a,x = 033 .设xt0时，etan4x1与xn是等价无穷小，则正整数n=。三、解答题1.5 -x - J x 1x2-4(5-x - x 1) ,5-x 、x 1 lim2limx 2 (x -4) , 5 - x . x 1= x p-2 x-2(x2 -4) 5 - x , x 1lim-21=x 2 (x 2) 一 5 - x，.； x 1 = 4、32.lim 5出n : = 3n -4 81n8 115 -9= lim n3

20、n '1 3ni81=33.lim 24x- 5ex - cosx2limx工：5-sin xxecosx4.lim sin xln x = x F0lnx一 cscxcotx=limx 1" 0snx=0# xcosxsin x5.2x 1. x lim xt： x 12x 1lim x= lim 1 -x : x 1 x :.2x 1Tx 1)x+1>2二e6.limtan2xtan x1 2 lim 母 1原式=lim 1T -0:tanx_1 tanx 1c0t2x =乂 启Ncsc22x 二 一x2x 1 lim 7. T2x1_x2x 1lim lim 12

21、x 2x22x1 "2x '二 2x -1 =* x <2x-11 cos 二 xlimX 11-、.x 1-3x=lim1 cos 二 x x 11 - x 1 -x 1 - cos二 x(1-cos2nx 乂1+或乂1 +取十次)= limx 121-x j |1-cosxsin2二 1 -x 1. x 1 3 x 3 x23二29.x sin x.e -elim x0 x - sin xx sin x e -e limJ0 x - sin二 x四队 xsin xx _sin xe e -1.=limx -sin x x0es1nx x-sinx二1x - sinx

22、10.:xe 一1x-0 sin ' x=2 2 + 1 = 5#11.xim：x2limx 二2 ,1x !1 -cos- x=xim：2x2sin22x.21s1n2x二 lim2xx1_224x12.,sin 2x、lim ( cosx)解：lim(-sin 2x、.(.x 1 1) sin 2xcos x) = limx(. x 1 -1)(、x 1 1)x 1 1)lim sin 2x +1x 0 xcos02、ln(1 x )13. lim 2- x- sin x2原式=lim r =1 x0x214. lim ：2*2x 2 4x 1 -3(x-2)(x 1)( . 4x

23、 13)4x 1 -9解：分母有理化/或罗必达法则x x 2 lim - limx)2 4x 1 -3 lim x e2xx = lim 1 (x e2xd)x e2xdx >0x >0 心21x sinx2x2-1=limX )2(x 1)( . 4x 13) 3 6 9或：limx242x -142,4x 1一215. lim x e2x x, 02x1(x e%") x解：复习重要极限二，注意重要极限的形式2x1lim(xe2x"x)lim-x >0x >0=ee116. lim 12n 3n nn_L :1 2(2xlim 一 二ex'

24、;01-3二e，因为13<3'1+(2)n+(1)n n,331所以 “m_ 1 2n 3n n1<3 3n,二31而 lim3 n =1, n9个等价无穷小,2 1x: lim xx > := 2x2 -1112解：注意复习2 1 x sin lim xx二 '2x2 -118.设函数 f 伊)=小>0且#1),求!imln-f (1 )f (2 广 f (n )当 a=2时，f(x )可导，且 f'(0 )=2(1 分)n=nim一 1解:!im jln 口 f 1 f 2 fIn f(1) In f (2) . In f (n)=limn_

25、二1 2 . n19. limx > 01-n(n 1)ln a = limn ?二12 exsin xlx1In a 二一 In a211解：此题注意特殊性，lim ex =-,而lim ex =0x >0x > 0-limx >012 ex sin x+41 ex'12 +ex sin x lim , -7 +。+4 x1 +ex12 exsin xlim - lim x >04 x >0 x1 ex1=lim -o x； 034ex1=0 1=1lim -x >04 14ex (-)'xlimx >012 ex2 +ex4&

26、lt;1 +ex41 exsin x+= lim +xx-*0sin x2=-1 =1112 +ex x sin xlim 二+1 =1xt 04 x【1 +ex )1一cosx20. limx 0 1 - cos . x解：0型，可用罗必达法则，注意，(cosx)'= -sin x,( Jx)'=1= 02, xsin xlim jcOsx=lim 2、co=0x j0 1 - cos x x)0 sin、. x2 .x21.1 x J1 - x3 X-1 1解:(1 + x1 +x)(3/( x-1)2 -371+1)x -1 1 | 1 x J - x(3分)22.解:2

27、 做 x_1 j _§x1 +1)x 0/1 x . 1 - x= 3(1 分)-1) x e -1./1网(下-limex -1 x Qx2e 一 1 一 x2x2x e -1=limx )0x2e -1(2分)=吗x22x ex -1334x2v313卜四47W(色)23.设函数f (x)(2xe +b,sin ax,f-0 3m.e2x . b -1 -b=2 1分x - 0,问a,b为何值时，f (x)在(-叱y 内可导并求x 0f '(x) olimfx= lime2x b= 1b = f 0解： ff得b = "(3 分)limfx= limsinax=

28、0sin ax -0 f 0 jTim . 八 x 30x -02e x < 0f(x)=«。分)2cos2x x 0四、综合题1.用极限的w-6定义证明极限：x -axx +Va xx +Va 4a所以 lim x x = a x_a2.设 f (x )= < ba +arccosx取6 = Ja%则当0 < xa <6时，有人一百|<名x = -1处连x - -1x = -1，试确定a、b之值，使得函数f (x心点x > -1解：f(-1)=b,fi-oAjfGkjimqJx2 -1=0，f(1+0)= lim f(x)= lim (a+arc

29、cosx )= a +五， x d 0x 0所以，由 f(10)= f(-1 ),得 b=0;由 f (_1+0)=f(1),彳# a = T .因此，当a = n, b=0时，函数f(x庵点x = 1处连续.Jx T,x : 03.讨论函数y =122 在点x=0处的连续性tv1 -x ,x >0lim.P= 1 xx -1,x <0l i my不存在，所以 y = 在点x=0处不连续。T也-x2 ,x 之04确定下列极限中含有的参数(每小题 5分，共10分)ax2 - 2x blim 2二-2x '1 x2 x - 2解：lim (x2 +x-2) =0,又因为函数极限

30、为-2,所以分子的极限必定为零 x >1lim (ax2 2x+b) =0,即：a-2+b=0;(1)x >1ax2 .2x+b罗必达法则2ax -2 2a -2lim x-； 1 2x 1=-2,(2) 3由(1)、(2)解出，a = q,b =42). lim (x +Vax2 +bx -2 )=1x一* 二二解：此题有根式，考虑分子有理化lim lx - ax2x)一 二+bx2 = limx2 (ax2 bx 2)分子分母同除以x,注意xi:=limx；一七x -、ax2 bx -22(1 -a)x -b 一 x(1 - a)x2 - bx 2lim .xx - ax2 b

31、x -21+ Ja+b1-2 .二1 1又因为 lim (1 , a b -2 1) =1 、ax，-二 二 xx2-b 所以有 1-a =0,1=-a=1,b = -21 .a5、讨论函数f (x)=ax-bxxL 0,x : 0(a >0,b >0,a = 1,b# 1)在x = 0处的连续性，右x = 0不连续，指出该间断点的类型 .(本题6分)解：分段函数主要考虑分界点处的连续性，复习连续性，间断点的定义注意(ax)'=axlnax hx罗必达法则x.hx , ,a -b, a ln a - b ln b , alim 二 lim 二 ln ,x 0 xx 01b而

32、f(0) =0,讨论(1肖a =b,则f (x)在x =0处连续 (2)当a #b,则f(x)在x =0处不连续，为可去间断点6、设f(x)=l四壹xin t sin x，求f (x)的间断点并判定类型.(本题7分)解：x =0, x =k：(k =0)sin tx 一lim =1, lim 二：t x sin x t x sin t -sin xxsin t 'sin t-sin x lim tT x (sin x ,为产型xsin t sint -sinxf (x) limlim 11t >x sin xt >xxsin t sin t -sin x-1sin xsin

33、 xsin t -sin x sin t一sin x sin xsin xx二 esin xxlim esin x =e, f (x)有一个可去间断点 x0x = 0.xlim esin x不存在，f(x)有无穷间断点 x k 二x 二 k 二.7、设f(x)在0,1上连续，且f(0)=f(1).证明：一定存在一点1f)=f 11 +1 .(本题6分)I 2)1证明：构造函数g(x)=f(x)-f(x+)21 -一 _1g(x)在0, 连续，又 g(0)=f(0)-f(-)2 211.g(尸f()-f(1),又 f(0)=f(1), 所以221 1g(0)g( -) <0,由零点定理，隹

34、目0,使得2 21g(-尸 0,即 f(-尸f( - + )2设 X=4, xn+ = J2xn +3 , (n =1,2，),求证 lim xn 存在并求之。n )二二证明：先用归纳法证明xn的单调性：Xi =4, Xz =JG <Xi ,设(本题6分)Xn < Xn” ( 1 分)则 Xn, = J2xn +3 < J2xn J3 =xn ,(2分)即：VnWZ:X。递减。又易知Xn >0,(3分)所以，lim Xn存在，设lim Xn =anF：n 二(4分)(6分)于是：a = 2a + 3 ,解得：a = 3, a = 1(舍去),5 5 分)即 lim xn = 3。 n :8、设f (x)在x=0处连续，若l呼12=e ,求 limx P早。(本题6分) x解：由题知:2e = lim e x_0lnq)xsinx=ex 0ln(1 马 limxsinx(1分)从而limx )0f(x)、ln(1 )xsin x(3分)于是有吗ln(1f(x)x=0 ,即有!im0f(x)(4分)由等价无穷小代换知:limx >0f (x)、 ln(1 ) x sin xf