2018年高考数学一轮复习专题28数列的概念与简单表示法教学案文

1、专题28数列的概念与简单表示法 1. 了解数列的概念和几种简单的表示方法 （列表、图象、通项公式） 2. 了解数列是自变量为正整数的一类函数. 1.数列的定义 按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. 2 数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按项与项间 的大小关系 分类 递增数列 an + 1 an 其中 n N 递减数列 an +1 V an 常数列 an + 1 = an 按其他 标准分类 有界数列 存在正数 M使| an| w M 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项， 有些 项小于它的前一项的数列

2、3. 数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法. 4 数列的通项公式 如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示， 那么这个公式叫做这个数 列的通项公式. 5.已知数列an的前n项和S,贝U an= S （ “一 1）， Sn一 Sn- 1 （n2） 考情解高频考点一 由数列的前几项求数列的通项公式1 -3 - 例 1、根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式: 一 1, 7, 13, 19,; 2 4 6 8 10 一 一 一 一 一； 3 15 35 63 99 1 9 25 2，2，2，8, ，； 5 , 55, 555, 5 555， 解

3、( (1)偶数项为正，奇数项为员,故通项公式必含有因式(-ITS观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比 它前一项的绝对值大故数列的一个通项公式为=(-1)X6?!-5). 这是一个分数数列茸分子枸成偶数数列，而分母可分解为1旳，3XS. 5X7, 7X9, 9X11, .每一 项都是两个相邻奇数的乘积，分子依次为2, 4,相邻的偶数-故所求数列的一个通项公式为血二 _ (2nl) (2n-Fl) (3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察 9 16 25 、 n 2，2， 2，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为 an=. 5 5 5 n 将原数列改写为

4、 9X 9, 9X 99, 9X 999,，易知数列 9, 99, 999，的通项为 10 1, 5 n 故所求的数列的一个通项公式为 an=9(10n 1). 【方法规律】根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征: (1) 分式中分子、分母的各自特征； 相邻项的联系特征； (3) 拆项后的各部分特征； (4) 符号特征.应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想 2 4 6 【变式探究】(1)数列 0 的一个通项公式为( ) 3 5 7 n 1 A. an = ( n N+) n + 2 / n 1 B.an= 2n+ 1( n N+) 2 (n 1)

5、 C.an = 2n 1 (n N+) 2n D.an= 2n+ 1( n N+) 1 1 1 1 数列1X2,药，3X；，4X，的一个通项公式an= 解析(1)注意到分子 0, 2, 4, 6 都是偶数，对照选项排除即可 . (2)这个数列前 4 项的绝对值都等于序号与序号加 1 的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正, 所以它的一个通项公式为 an = ( 一 1) n (n+ 1) -4 - n 1 答案C（2）（ - 高频考点二 由数列的前n项和求数列的通项公式 2 * 例 2、设数列a的前n项和为S,数列S的前n项和为Tn,满足Tn = 2S n, n N. （1）求ai的值； 求数列

6、an的通项公式. 解令孔=1时，Fi=25i-b 心时，7；j=2SAi-仗一 I， 则 SHTJL 7M-1 2Sa /l2 2S!H-1 （rt If =2（ 2n +1 = 22n+ L 因为当?i二1时/ 2i-Si-l也满足上式， 所以弘二加加+lOL力 当？ 2 时耳“=加一1一2（?11）+1, 两式相屈得11=2 加 2, 所以 an= 2an-1 + 2（ n2），所以 an+ 2= 2（ an-1 + 2）, 因为a1+ 2= 3 工 0, 所以数列an + 2是以 3 为首项，公比为 2 的等比数列. 所以 a卄 2= 3X2n1,所以 an= 3X2 n 1 2, 当n

7、= 1 时也成立， 所以 an= 3X2n 1 2. |S, n= 1, 【方法规律】数列的通项 an与前n项和S的关系是an = 当n= 1 时，a1若 S S1, n2. 适合 S S-1,贝U n= 1 的情况可并入n2时的通项a ;当n = 1 时，a1若不适合 S S-1,则 用分段函数的形式表示. n + 1 【变式探究】（1）已知数列an的前n项和S=，贝y a4等于（ ） 1 A. 30 1 1 B.32 D.20 1 -5 - C.34 已知数列an的前n项和S= 3n2 2n+ 1，则其通项公式为-6 - 2, n= 1, 答案 (1)A an= 6 5 2 |6n 5,

8、n2 解析 (1) a4 = S4 Se 5 4 1 6 5 30 2 (2) 当 n= 1 时，ai = S = 3X1 2X 1+ 1 = 2； 当n2时， 2 2 an= Sn Sn-1 = 3n 2n+ 1 3( n 1) 2(n 1) +1 =6n 5，显然当n= 1 时，不满足上式. 2，n= 1, 故数列的通项公式为 an= * 6n 5, n2. 高频考点三、由数列的递推关系求通项公式 例 3、在数列an中， (1)若 a1 = 2, an+1 = an+ n+1，则通项公式 an= _ n 1 在数列a“中，若a1 = 1, an= 齐an-1 (n2)，则通项公式 an=

9、an+1 = 2an+ 3,则通项公式 an = _ . 解析 (1)由题意得，当 n2 时，an= a1 + (a2 a + (a3 a2)+ (an an-1) = 2 + (2 + 3 + + n) = 2 + (n 1)( 2+ n) 2 n (n+ 1) 2 + 1. 1X( 1+ 1) 2 +1，符合上式，因此 an= + 1. 因为 ai = n 1 an1(n2), -7 - 以上仗- 1)个式子的等号两端分别相乘得伽二创| .二 H 斗 _ On da-L On J OJ 0 _?T 1 IXI71 On - - 1 . 1 * 创= - fljt-1 Q-2 2a-3 G

10、n G)设递推公式 皿i=2fln十3可以韩化为血+】十：=2(血十切 即直+1=2偽十&解得尸3. 故血 “ + 3=2(血+3)一 令 &=g+3,则 *1=01+3=4, n為i+i_ 血+i + 3_r 且毎+3亠 所以丘是以4为首项，2为公比的等比数列. n 1 n* i n 丰 i _ . bn = 4 2 = 2 , an= 2 3 宀 n （n+1） 1 n+1 答案（1） 2 + 1 （2）n （3）2 +1 3 【方法规律】(1)形如an+1 = a + f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项, 保留多少项 形如an +1= an f (n

11、)的递推关系式可化为 =f ( n)的形式，可用累乘法，也可用 an= an an an1 a2 ， . a1代入求出通项. an1 an - 2 a1 形如an+1= psh+ q的递推关系式可以化为(an+1 + x) = p( an + x)的形式，构成新的等比数列， 求出通项公式，求变量 x是关键 【变式探究】 已知数列an满足a1= 1, a2= 4, an+2+ 2an= 3a+1(n N+)，则数列an的通 项公式 an = _ 1 (2)在数列an中，a1= 3, an+1 = an + -: ，则通项公式 an= . n (n+ 1)所以 rt2 n 法打 _2 w n 1

12、-8 - 解析由血z +亦一3盘+1=0； 得 d+工一= - An）, :数列皿1-血是以血如=?为首项，2为公比的等比数列，二gi $=3X2旷打 tlM2 时，On-On-l = 3x2n2 , 0302 = 3x2，0 0 = 3 将以上各式累加得 阳一创二 3 *2厂 + _ _ _ + 3 X2+3=3（2h_1-l）, 二直=射2厂一2（当？r=l时也満足）. 原递推公式可化为 an+1 = an + -丄, n n+1 1 1 逐项相加得，an= ai + 1-,故an= 4= n n n , 1 答案 （1）3 X2 -1 - 2 （2）4 - n 高频考点四 数列的性质 n

13、 1 例 4、已知an= n+1，那么数列an是（ ） A.递减数列 B.递增数列 C.常数列 D.摆动数列 答案 B 2 * 解析 an= 1 -，将an看作关于n的函数，nN,易知an是递增数列. 、 1 【变式探究】数列 an满足 a+1= , a8= 2,贝U a1 = _ I an 1 答案 2小 1 1 贝y a2= a1+ 彳一 a3 = 1 a2+2 一 a4= a3 + 3-4, 1 an-1=an-2+ 三 an= an-1 + 1 n- 1 1 n-9 - 解析 an+ 1 = 1 1-an， -10 - 1 OM-1 1 一 *1 一 1 1 On-1 1_血斗 二周期

14、 T=(n+Y)-n-2)=3. 0 或anV 0）与 1 的大小关系进行判断. an 结合相应函数的图象直观判断. 解决数列周期性问题的方法 先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值. （3）数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解. 为 _ . 设金=-3n2+ 15n18,则数列an中的最大项的值是（ A 16 A 亍 C. 4 2 答案(1) (2)D 5 解析 （1）由已知可得，a2= 2x | 1 = 5, 1 2 1伽-1 01-1 Xn-l 【举一反(1)数列an满足 an+ 1= c 1 2an, Ow anW 2, 1 2an- 1, 2

15、3a =2 (2 n 2) X3 n, 所以 S= (n 1)3n + 1. 2. (2014 新课标全国卷I 已知数列an的前n项和为S, a1= 1, an0, anan+1=入 S 1, 其中入为常数. (1) 证明：an + 2 an =入. (2) 是否存在 入，使得an为等差数列？并说明理由. 【解析】(1)证明：由题设，anan+1 =入 S 1, an+1an+2=入S+1 1, 两式相减得 an + 1( an+ 2 an)=入 an + 1. 因为an+ 1工 0,所以 an+2 an=入. 由题设，a1= 1, a2 =入 Si 1,可得a2=入一 1, 由(1)知，a3

16、 =入 +1. 若an为等差数列，则 2a2 = a1 + a3,解得 入=4,故an+2 an = 4. 由此可得 a2n- 1是首项为 1,公差为 4 的等差数列, 真题感悟 n= 2 或 3 时，an最大，最大值为 0. -13 - a2n 1 =4n 3; a2n是首项为 3，公差为 4 的等差数列，a2n= 4n 1. 所以 an= 2n 1, an+1 an= 2. 因此存在 入=4，使得数列 an为等差数列. 3. (2014 新课标全国卷n 已知数列an满足a1= 1, an+1= 3an+ 1. 1 (1) 证明 仙+ 2 是等比数列，并求an的通项公式; 1 1 1 3 (

17、2) 证明+ + -. a1 a2 an 2 【解析】(1)由 &+1= 3an+1 得 an+1 +1 = 3 an + 2 . r .1 n 1 3 1 3 亠 1 3 又a1+ =2，所以a + 2 是首项为 2，公比为 3 的等比数列，所以 an+- =2，因此数列an的 3n 一 1 通项公式为an = 1 ? 证明：由知討茫？ 因为当Ifel时，贊一 S 尸打 所以 于是舟+占+十扫+ ”+令二熱_*)弓 所以丄 + + ai 02 血2 4. (2014 重庆卷)设 a1= 1, an+1 = ./an 2a + 2+ b( nN ). (1)若b= 1,求a2, as及

18、数列&的通项公式. 若b= 1,问：是否存在实数 c使得a2nca2n+1对所有nN成立？证明你的结论. 【解析】(1)方法一:a2 = 2, a3=“2 + 1. 再由题设条件知 2 2 (an+1 1) = (an 1) + 1. 从而( an 1)2是首项为 0，公差为 1 的等差数列， 故(an 1)2= n 1, 即 an=：n 1 + 1(nN). 方法二：a2= 2, a3= 2 + 1. -14 - 可与为 ai =习 1 1 + 1, a2= i 2 1 +1, a3= j 3 1 + 1.因此猜想 an=n 1 + 1. 下面用数学归纳法证明上式. 当n= 1 时，

19、结论显然成立. 假设n = k时结论成立，即 ak= k 1+ 1,贝 U 1 2 . r ak+1 = (ak 1) + 1 + 1= (k 1)+ 1 + 1= ( k+ 1) 1 + 1, 这戒是说，当直=盅+1时结论成立. 所以 On二、5匚1+ 方法一：设用)=* U1-1,则亦】訴1). 令 CJc),即 c (c-1) a + l-1、解得 c 下面用数学归纳法证明命題 当？:=1时，血二夬1)二0,他=夬0)=迈1，所決 qw 孑爼5f(a2k+1)f (1) = a2,即卩 1ca2k + 2a2. 再由 f (x)在(m, 1上为减函数，得 c = f (c)f (a2k+

20、 2)f (a2)= a31, 故ca2k+31，因此a2(k+1)ca?(k+ n +11,这就是说，当 n= k + 1 时结论成立. 1 * 综上，存在 c = 4 使a2nCa2a+1对所有nN成立. 方法二：设 f(x) = (x 1) 2+ 1 1,则 an+1= f (an). 先证：Ow an w 1(nN). 当n= 1 时，结论明显成立. 假设n = k时结论成立，即 0 w ak w 1. 易知f (x)在(g, 1上为减函数，从而 -15 - o= f(i)W f(ak) W f(0) = 2 11. 即 ow a+1W1.这就是说，当n= k+ 1 时结论成立.故成立

21、. 再证：a2nai( nN*). 当 n= 1 时，a2= f (1) = 0, a3= f) = f (0) = 2 1,所以 a2a3,即卩 n= 1 时成立. 假设n = k时，结论成立，即 a2ka2k+1. 由及f (x)在(一g, 1上为减函数，得 G 十+1 =7(盘 2习(齢 1)二乞齢厂 G(Jt+1)二人血齢 1)勺(齢 2) Oi(jt+1)+1 - 这就是说,当力=氏+1时成立.所以对一切成立. 由得 血-+ 2-1, 即减+1严岛-2+2, 因此 乂由及加)在1上为减函数，得曲列 g 心 即血斗】沁也 所叹血現+17心十1一202時1 + 2-1,解得如 1 ” 综

22、上，由知存在 c=;使a2nc0),因为所有 AnBn相互平行且 a1= 1, a2 = 2，所以 S 梯形 ABB2A-16 - A. pi, p2 B . p3, p4 C . p2, p3 D . pi , p4 【答案】D 【解析】因为数列an中 d0，所以a n是递增数列，则 pi为真命题.而数列an+ 3nd也是递 增数列，所以 P4为真命题，故选 D. 7. （2013 -全国卷）等差数列an前 n项和为 S.已知$= a2,且 S, S2, S 成等比数列，求an 的通项公式.an OA =3m当n2时，不=OA1= m+( n 1)x 3m f3n 2 m+( n 2)x 3

23、m , 3n 5, 故2 3n 2 2 an an 3n 5 2 3n- 5 2 Cln 1小 3-8an2, 2 3n- 8-2 cm2 3n- “ “ an 3, -11 2 4 2 a2= 1-a1 以上各式累乘可得 2 2 an(3n 2)a 1, 所以an 3n 2. 6. (2013 -辽宁卷） 下面是天于公P1：数列 an是递增数列； P2 : 数列 nan是递增数列； P3：数列* a瀑递增数列； P4：数列 an + 3nd是递增数列. 其中的真命题为（ ) 因为 ai= 1, d0 的等差数列 an的四个命题: -17 - 【解析】设麺的公差为d. 由S： = 3*,得3忑

24、=卫，故辺=0或42 = 3. 由儿S打乩成等比数列得S；?=S1弭 又 51=3；d, S;=2a;d., S44a；- 2dj 故卩 a； - dF二仙一d)(4az 4- 2d). 若 =0,贝Jd2=-2d 所叹 40， 此时Sn=Dj不合题意； 若 32=3,则(6-d)2=G-d)(L2+2d), 解得d=O或d=2. 因此吐的通项公，式为3t=3或3n=2n 1. n n B. cos 解析 令n= 1, 2, 3,，逐一验证四个选项，易得 D 正确. 答案 D 2 4 6 8 2. 数列一？，-，的第 10 项是( ) 3 5 7 9 解析所给数列呈现分数形式且正员相间，求通项

25、公式P寸，我们可次把每一部分进行分解：符号、分乐 分子”很容剔玉内出数列昭的通项公式血=(- 1严器亍故闵尸-养 答案 C 3. 在数列an中，已知a1= 1, an+1 = 2an+ 1，则其通项公式 an=( ) n n 1 A.2 1 B.2 1+ 1 C.2 n-1 D.2 (n 1) 解析 法一一 由 an+1= 2ai+ 1,可求 32= 3, a3 = 7, a4= 15，验证可知 an= 2 1. 法二 由题意知3n+ 1 + 1 = 2(3n+ 1) ,数列3n+ 1是以 2 为首项，2 为公比的等比数列,A. 一 n+1 C. cos 2 n n+ 2 D.cos 2 n

26、16 18 20 22 D. 23 1.数列 0, 1, 0, - 1, 0, 1, 0, - 1,的一个通项公式是 an等于(-18 - an + 1 = 2 ,. an = 2 1. 答案 A 4.数列an的前 n项积为n2,那么当n2时，an等于（ ） A.2 n 1 B. n2 厂(n+ 1) 2 C. 2 n 2 n D. 2 (n 1) 解析 设数列an的前n项积为Tn,则Tn= n2, 答案 D 5.数列an满足 an+1 + an = 2n 3，若 a1 = 2,贝U a8 a4=( ) A.7 B.6 C.5 D.4 依题意得(an+ 2+ an+1) (an+1 + an)

27、 = 2( n+ 1) 3 (2 n 3)，即 an+2 an = 2,所以 a8 a4 = (a8 a6)+ (a6 a4)= 2 + 2 = 4. 答案 D 1 34 6.若数列an满足关系an+1 = 1 + , a8=订，贝U a5 =_ , an 21 21 13 8 解析 借助递推关系，则 a8递推依次得到a7 = , a6= , a5=. 13 8 5 答案8 5 2 7.已知数列an的前n项和S = n + 2n+1（n N+），贝U an= _ 解析 当 虺2时）血=Si Sk_i=2?r+1， 当丘=1 时01=51=4#2 1+1, 4, n-1, 如+1,心2 8.已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 an*0( n N+)，又 anan+1= S,贝U as a1 = 解析 因为 an an + 1= S, 所以令 n= 1 得 aa2= S= a1，即卩 a?= 1, 令 n = 2,得 a2a3= 82= a1+ a2,即卩 a3= 1 + a1,所以 a3 a1= 1. 答案 1 9. 数列an的通项公式是an = n2 7n+ 6.当n2时, an = T. Tn 1 (n 1) 解析 答案 4, n= 1, 2n+ 1, n2 -19 - (1) 这个数列的第 4 项是多少？ (2) 150 是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几