矩阵的初等变换PPT课件

1、矩阵的初等变换矩阵的初等变换矩阵的初等变换是线性代数中一个重要的工具矩阵的初等变换是线性代数中一个重要的工具. 以下三种变换分别称为矩阵的第一、第二、以下三种变换分别称为矩阵的第一、第二、第三种初等变换：第三种初等变换：)()()(,)(jijiijijccrrcrjii或的位置，记作列两行对换矩阵中第).(,()(iikckrikii记作列）行乘第用非零常数).(,)()(jijikcckrrikjiii记作（列）对应元素上去行后加到第乘以常数列行将矩阵的第41311221222832A2832122122413131rr669044604131131222rrrr2230223041310

2、00022304131连接。或之间用记号与，化为利用初等变换将BABA利用初等变换可以将矩阵化为梯形阵。利用初等变换可以将矩阵化为梯形阵。作用作用矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换。矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换。例如：例如：301020201A5000202019113123343221B07700111103221000001103221100010001000000100001矩阵的等价矩阵的等价 对矩阵对矩阵A实行有限次初等变换得到矩阵实行有限次初等变换得到矩阵B，则称矩，则称矩阵阵A与与B等价，记作等价，记作 A B. 等价矩阵具有自反性、对称性、传递性。即：等价

3、矩阵具有自反性、对称性、传递性。即：CACBBAABBAAA,;nmIA0000000000001000001000001A的标准形的标准形定理：定理：任何一个任何一个矩阵都有标准形。矩阵都有标准形。如上例：如上例：000022304131A00002230000114131243cccccc0000001000013232322423rcccc推论推论:矩阵矩阵 A与与 B 等价的等价的 充要条件是充要条件是A与与 B 有相同的标准形。有相同的标准形。矩阵的秩矩阵的秩. 12阶子式的阶行列式，称为矩阵的个元素，按原次序组成行、列相交处的列，位于这些行中任取阶子式：在kAkkkkAknm一般地

4、：一般地：个。阶子式有的矩阵knkmCCkAnm2.秩的定义秩的定义:矩阵矩阵 A 的所有不等于零的子式的最高的所有不等于零的子式的最高阶数称为矩阵阶数称为矩阵 A 的秩的秩.记作记作 r(A) .显然显然:r(O)=0;只要只要A不是零阵不是零阵,就有就有 r(A)0.并且并且:;,min)()(nmArinm.)(;)()(rArrrArrii阶子式全为零，则若所有的阶子式不为零，则若有一个).()()(ArAriiiT例例:求矩阵求矩阵A的秩的秩.00002222111211rnrrnrnraaaaaaaaaA.)(rAr显然利用初等变换可以求矩阵的秩利用初等变换可以求矩阵的秩. .)0

5、(2211rraaa秩的求法秩的求法定理定理:矩阵经初等变换后其秩不变矩阵经初等变换后其秩不变.证证:只证行变换的情形只证行变换的情形.);()(BrArBAijr);()(BrArBAikrmnmmjnjjiniinaaaaaaaaaaaaA21212111211jikrr Baaaaaakaakaakaaaaamnmmjnjjjninjijin2121221111211由此可以推出由此可以推出:)()()()(BrArBrAr)()(BrAr例例:求矩阵的秩求矩阵的秩:41311221222832. 1 A2832122122413131rrA66904460413100004460413

6、12)(Ar930012107022204321930053001110432193001210701110432140005300111043214)(Br5021011321014321. 2 B12233.43123119At？为何值时，3)(Art0770011803221tA0118001103221t030001103221t. 3)(, 3Art1 14.11( ).1 1xAxr Ax设三阶矩阵，试求解解2| (2)(1)Axx12( )3;xxr A 当且时，1 1 11 1 111 1 10 0 0( )11 1 10 0 0 xAr A当时，；1122110112121(

7、 )2.0001120 0 0 xAr A 当时，. 2)(21)(1; 3)(21ArxArxArxx时，当；时，当时，且当1 1111 1xxx1 1111 1xxx211011011xxxxx1101100(2)(1)xxxxx利用初等变换求秩：利用初等变换求秩：抽象矩阵求秩抽象矩阵求秩,0( )( )AmnBnsABr Ar Bn结论3：设为矩阵为矩阵，若， 则；,( )()()()AmnPQmnr Ar PAr AQr PAQ结论1：设为矩阵、分别为阶、阶满秩矩阵，则；,( )( )()min( ), ( )AmnBnsr Ar Bnr ABr A r B结论2：设为矩阵为矩阵，则；

8、,()( )( ).AmnBmnr ABr Ar B结论4：设为矩阵为矩阵，则2.应填1 0 21.43( )20 2 01 0 3()_.Ar ABr AB设 是矩阵，且，而，则1 0 20 2 0100.1 0 3BB因为即矩阵 满秩()( )2r ABr A解解,( )()()()AmnPQmnr Ar PAr AQr PAQ结论1：设为矩阵、分别为阶、阶满秩矩阵，则；1( )( ).r Ar Brr故，即解解111112.(A)(B)(C)(D)AmnCnArBACrrrrrrrrrC设 是矩阵， 是 阶可逆矩阵，矩阵 的秩为 ，矩阵的秩为 ，则与 的关系依 而定( )( )BACr

9、Br A一方面，由知：；1( )( ).ABCr Ar B另一方面，由知：(C).选解解1 11 212 1222123.0,0 (1,2, )( )_.nniinnnna ba ba ba ba ba bAabina ba ba bAr A 设，其中，则矩阵 的秩1212,nnaaAb bbGHa( )()1r Gr H ，( )min ( ), ()1r Ar G r H所以，00( ,1,2, )0( )1.iabi jnAr A由于，故，所以( )1r A 从而解解4.,0.mn AmnBnmCABC设为矩阵为矩阵，证明：( )( )mnr Anr Bn当时，由秩的定义知，()min(

10、 ), ( ).r ABr A r Bnm()0.ABmr ABmABAB又为 阶方程，当时，为降秩阵，此时( )( )()min ( ), ( ).()0.Cmnr Anr Bnr ABr A r BnmABmr ABmABAB当时，由秩的定义知，而又知为 阶方阵，当时，为降秩阵，此时选解解5.(A),0(B),0(C),0(D),0AmnBnmmnABmnABnmABnmAB设 是矩阵， 是矩阵，则当时 必有行列式当时 必有行列式当时 必有行列式当时 必有行列式解：解：C6.(A)0(B)0(C)0(D)0TTTTAmnmnA AA AAAAA设 是矩阵，则解解7.2*_.AA设四阶矩阵

11、的秩为 ，则其伴随矩阵的秩为( )( *)1( )10( )1nr Anr Ar Anr An，若，若，若( )20*0r AAA ，故 的所有三阶代数余子式全为 ，故4( )2(*)0.nr ArA，则显然，若两个矩阵有相同的秩，则这两个矩显然，若两个矩阵有相同的秩，则这两个矩阵有相同的标准形，从而等价；反之，若两个阵有相同的标准形，从而等价；反之，若两个矩阵等价，则它们的秩相同。即有：矩阵等价，则它们的秩相同。即有：定理：矩阵定理：矩阵A与与B等价的充要条件是等价的充要条件是r(A)=r(B).! 请记住：矩阵是否等价只须看矩阵的秩是否相同。请记住：矩阵是否等价只须看矩阵的秩是否相同。满秩矩阵满秩矩阵定义：若方阵定义：若方阵A的秩与其阶数相等，则称的秩与其阶数相等，则称A为满秩矩阵；为满秩矩阵； 否则称为降秩矩阵。否则称为降秩矩阵。( 满秩满秩非奇异非奇异 降秩降秩奇异）奇异）E-满秩阵满秩阵 O-降秩阵降秩阵定理：设定理：设A为满秩阵，则为满秩阵，则A的标准形为同阶单位阵的标准形为同阶单位阵 E .即即EA 矩阵的秩是矩阵的一个重要的数字特征。矩阵的秩是矩阵的一个重要的数字特征。推论推论1：以下命题等价：以下