平面向量数量积的物理背景及其含义教学设计

1、平面向量数量积的物理背景及其含义教学设计一、教学分析前面已经知道 晌量的线性运算有非常明确的几何意义，因此利用向量运算可 以讨论一些几何元素的位置关系.既然向量可以进行加减运算，一个自然的想法是 两个向量能否做乘法运算呢如果能，运算结果应该是什么呢另外，距离和角是刻画 几何元素（点、线、面）之间度量关系的基本量.我们需要一个向量运算来反映向量 的长度和两个向量间夹角的关系.众所周知，向量概念的引入与物理学的研究密切 相关,物理学家很早就知道，如果一个物体在力F的作用下产生位移s磔图1）,那么 力F所做的功图1W=|F|s|cos 0功W是一个数量，其中既涉及 长度”也涉及 诧”血且只与向量F,

2、s有关.熟悉 的数的运算启发我们把上式解释为两个向量的运算，从而引进向量的数量积的定义a b=| a| |b |cos 0 .这是一个好定义，它不仅满足人们熟悉的运算律（如交换律、分配律等）,而且还 可以用它来更加简洁地表述几何中的许多结果.向量的数量积是一种新的向量运算，与向量的加法、减法、数乘运算一样，它 也有明显的物理意义、几何意义.但与向量的线性运算不同的是，它的运算结果不 是向量而是数量.二、教学目标1、知识与技能：掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的重要性质及运 算律；了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；掌握向量垂直的条件。2、过程与方法：通

3、过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；体会 平面向量的数量积与向量投影的关系。3、情感态度与价值观：通过与物理中“功”的类比抽象出向量的数量积，培养学生的抽象概括能力。三、重点难点教学重点：平面向量数量积的定义.教学难点：平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应 用.四、教学设想（一）导入新课思路1.我们前面知道向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何 中的有向线段等概念，向量是既有大小、又有方向的量，它与物理学中的力学、运 动学等有着天然的联系，将向量这一工具应用到物理中，可以使物理题解答更简 捷、更清晰，并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利

4、工具，而且用数学的思 想方法去审视相关物理现象，研究相关物理问题，可使我们对物理问题认识更深刻 物理中有许多量，比如力、速度、加速度、位移等都是向量，这些物理现象都可以 用向量来研究.在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力F的作用下产生位移s, 那么力F所做白功W可由下式计算：W=|F|s|cos 0其中8是F与s的夹角.我们知道力和位移都是向量，而功是一个标量(数量). 故从力所做的功出发，我们就顺其自然地引入向量数量积的概念.思路2.前面我们已学过，任意的两个向量都可以进行加减运算，并且两个向量 的和与差仍是一个向量.我们结合任意的两个实数之间可以进行加减乘除(除数不 为零)运算

5、，就自然地会想到，任意的两个向量是否可以进行乘法运算呢如果能，其 运算结果是什么呢(二)推进新课、新知探究、提出问题a b的运算结果是向量还是数量它的名称是什么由所学知识可以知道，任何一种运算都有其相应的运算律，数量积是一种向 量的乘法运算，它是否满足实数的乘法运算律我们知道，对任意a,bC R,恒有(a+b)2=a2+2ab+氏(a+b)(a-b)=a2-b2.对任意向量 a、b,是否也有下面类似的结论(1)(a+b)2=a2+2a b+b2;(2)(a+b) (a-b)=a2-b2活动:已知两个非零向量a与b,我们把数量| a| b|cos 8叫做a与b的数量积 (或内积)，记作a b,即

6、a b=| a| b|cos 0 (0 0 tt ).其中8是a与b的夹角,| a|cos 0 (b|cos 8阴做向量a在b方向上(b在a方向 上)的投影.如图2为两向量数量积的关系，并且可以知道向量夹角的范围是 0 9 队而a b0;当9 0时,cos 9领，而a b0.与学生共22同探究并证明数量积的运算律.已知a,b,c和实数人则向量的数量积满足下列运算律：a b=b a(交换律)；(a) b=入a b)=a b)(数乘结合律);(a+b) c=a c+b c(分配律).特别是:当a加时，由ab=0不能推出b一定是零向量.这是因为任一与a垂 直的非零向量b,都有ab=0.图3(2)已知

7、实数a、b、c(b w0), ab=bc a=c.但对向量的数量积，该推理不正确， 即ab=bc不能推出a=c.由图3很容易看出，虽然a b=b c,但a花.(3)对于实数a、b、c有(ab)c=a(bc);但对于向量a、b、c,(a b)c=a(b c)不成立. 这是因为(a b)c表示一个与c共线的向量，而a(b c)表示一个与a共线勺向量，而c 与a不一定共线，所以(a b)c=a(b c)不成立.讨论结果：是数量，叫数量积.数量积满足ab=ba(交换律)；(a) b=入a b)=a . b)(数乘结合律)；(a+b) c=a c+b c(分酉己律).(1)(a+b)2=(a+b) (a

8、+b)=a b+a b+b a+b b=a2+2a b+b2;(2)(a+b) (a-b)=a a-a b+b a-b b=a2-b2.提出问题如何理解向量的投影与数量积它们与向量之间有什么关系能用 投影”来解释数量积的几何意义吗活动:教师引导学生来总结投影的概念，可以结合 探究”让学生用平面向量的 数量积的定义，从数与形两个角度进行探索研究.教师给出图形并作结论性的总结： 提出注意点 投影”的概念，如图4.图4定义:|b|cos 8叫做向量b在a方向上的投影.并引导学生思考：1 0投影也是一个数量，不是向量；2。当8为锐角时投影为正值；当8为钝角时投影为负值；当8为直角时投影为 0;当(=耐

9、投影为|b|;当(二18叫投影为-|b|.教师结合学生对 投影”的理解，让学生总结出向量的数量积的几何意义：数量积a b等于a的长度与b在a方向上投影| b|cos 8的乘积.让学生思考：这个投影值可正、可负也可为零，所以我们说向量的数量积的结 果是一个实数.教师和学生共同总结两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量.1 e a=a e=| a|cos 0.2aba b=0.3当a与b同向时,a b=| a| b|;当a与b反向时，a b二-| a| b|.特别地2&二m|2或|2|= Ja?a .a?b4 cos 4-=.|a|b|5 |a b| a| b|.上

10、述性质要求学生结合数量积的定义自己尝试推证，教师给予必要的补充和 提示,在推导过程中理解并记忆这些性质.讨论结果：略(见活动).向量的数量积的几何意义为数量积 ab等于a的长度与b在a方向上投影 |b|cos由勺乘积.(三)应用示例思路1例1已知平面上三点a、b、C满足| aB |=2,| BC |=1, |CA|二V3，求AB BC +BC CA+CAAB 的值.活动:教师引导学生利用向量的数量积并结合两向量的夹角来求解 ，先分析题 设然后找到所需条件.因为已知AB、BC、CA的长度，要求得两两之间的数量积， 必须先求出两两之间的夹角.结合勾股定理可以注意到 aaBC是直角三角形，然 后可利

11、用数形结合来求解结果.解:由已知,| Be |2+| CA|2=| AB |2,所以ABC是直角三角形.而且/ ACB=90,从而 sin/ ABC=- ,sin/ BAC=1 . 22 ./ABC=60,/BAC=30.AB与bC的夹角为i20,bC与cA的夹角为90,cA与AB的夹角为150.故 AB BC + BC cA+cA AB=2X 1Xcos1+oZ3cos90+73 X2cos150 =-4.点评:确定两个向量的夹角，应先平移向量，使它们的起点相同，再考察其角的 大小,而不是简单地看成两条线段的夹角，如例题中aB与BC的夹角是120,而不 是 60.变式训练已知 | a|=6,

12、| b|=4, a 与 b 的夹角为 60 ,求(a+2b) (a-3b).解:(a+2b) (a-3b)=a a-a b-6b b=|a|2-a b-6| b|2=|a|2-| a| b|cos -6| b|2=62-6 X4Xcos60义2=-72.例2已知|a|=3,| b|=4,且a与b不共线，当k为何值时，向量a+kb与a-kb互相解:a+kb与a-kb互相垂直的条件是(a+kb) (a-kb)=0, 即 a2-k2b2=0.= a2=32=9,b2=42=16, .9-16k2=0.3 k= 土一.4也就是说，当k=时,a+kb与a-kb互相垂直.4点评:本题主要考查向量的数量积性

13、质中垂直的充要条件 变式训练已知向量a、b满足:a2=9,a b=-12，求| b|的取值范围.解:| a| 2=a2=9,. . | a|=3.又a b=-12,|ab|=12. |ab|a| b|,124.故|b|的取值范围是4,+ oo).思路2例 1 已知在四边形 ABCD中，AB =a, BC =b, CD =c, DA =d，且 a b=cd=b c=d a, 试问四边形ABCD的形状如何解：=AB + BC+CD+ DA=0,即 a+b+c+d=0, a+b=-(c+d).由上可得(a+b)2=(c+d)2,即 a2+2a b+b2=c2+2c d+d2.又 = a b=cd,故

14、 a2+b2=c2+d2.同理可得a2+d2=b2+c2.由上两式可得a2=c2,且b2=d2,即| a|=| c|,且| b|=| d|,也即 AB=CD旦 BC=DA, .ABCD是平行四边形.故 AB = CD，即 a=-c.又 a b=b c=-a b,即 ab=O , . .a b,即 AB，BC .综上所述,ABCD是矩形.点评:本题考查的是向量数量积的性质应用，利用向量的数量积解决有关垂直 问题然后结合四边形的特点进而判断四边形的形状.例2已知a,b是两个非零向量，且|aH b|=| a+b|,求向量b与a-b的夹角.活动:教师引导学生利用向量减法的平行四边形法则，画出以a,b为

15、邻边的 二ABCM AB=a, CB=b,则 CA=a+b, DB =a-b.由 | a|-| b|=| a+b|,可知/ ABC=60,b 与DB所成角是150。.我们还可以利用数量积的运算 将出向量b与a-b的夹角，为 了巩固数量积的有关知识，我们采用另外一种角度来思考问题，教师给予必要的点 拨和指导，即由cos =b?(a b)作为切入点，进行求解.|b|a b|解：. |b|=| a+b|,| b|=| a|, . b2=(a+b)2 | b| 2=| a| 2+2a b+| b|2.1 . a b= | b| .而 b (a-b)=b a-b2= 11 b| 2-| b| 2= B

16、| b|2, 221c cc由(a-b)2=a2-2a b+b2=| b| 2-2 x (- )| b|2+| b|2=3| b|2,而| a-b| 2=(a-b)2=3| b|2, | a-b|=3| b|.b?(a b) . cos =-,|b|a b |代入 得cos 3|b|22 |b|?、3|b|又 :b,a-bC 0,田, 5 b,a-b=.点评:本题考查的是利用平面向量的数量积解决有关夹角问题，解完后教师及 时引导学生对本解法进行反思、总结、体会.变式训练设向量 c=ma+nb(m,n R),已知 | a|=2 22 ,| c|=4, ac,b c=-4，且 b 与 c 的夹角为 120 ,求m,n的值.解：: a，G 二 a c=0.又 c=ma+nb, . c c=(ma+nb) c,即 | c| 2=ma c+nb c. | c| 2=nb c.由已知 |c| 2=16,b c=-4, 16=-4n.； n=-4.从而 c=ma-4b. b c=| b| c|cos120 =-4, .|b| 4（ -）=-4. . | b|=2.2由 c=ma-4b