二次函数的存在性问题(相似三角形的存在性问题)

1、A图, CS 分）将H = 6代人名=二抛物线的斛析式为,工-2),+ 1,由一少+ 1 0 T 4得 - 0rit =以4.0),行=包,点的横里标为孔，即 y =- -7(2)如图1,当四边形OCDB是平行四边形时, CDJLOB.；*D（6,-3）； （6分图1(11分)U2分）二次函数的存在性问题(相似三角形)1、已知抛物线的顶点为A(2, 1),且经过原点O,与x轴的另一交点为R(1乐抛物线的解析式；(2靖点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点 的坐标；(3处接OA、AB,如图，在x轴下方的抛物线上是否存在点P,使得OBF与4

2、OAB相似若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。根据施物战的对称性可知，在对称轴的左网掩物就上存在点D,使得四边形QPCB斑桁四边形，此时Q点的坐标为(-2, 一 3). (7分)当四边形OOBD是平行四边形时Q点即为A点，此时D点的坐标为(2,1).顿图2,由抛物的对酬性可知*AO = /ABO.若与AOB相似，毋须有 ZOB = ZBOA = ZBPO. - 强分)设QF交撇锄缱的对称轴于火点.；*直线OP的解析式为y =一(10分)由一工二一十H*十H,得1 = 0=6.过F作FE_L式轴，在 RtABFP 中，BE = 2,PE$3, :* PB * -2* + 3, = 手 4

3、. APB # g，/田P # ZBPO. :PM 与BA。不相似，同理口J说明在对梆轴左边的地物堤上也不存荏符合条件的P点，所以在该抛物践上不存在点P,使得与ACWB相似. 13分) 2. 一， 、一_. 一一，、一，一2、设抛物线y ax bx 2与x轴交于两个不同的点A(1, 0)、B(m, 0),与y轴交于点C且/ ACB=90：(1m的值和抛物线的解析式；(2)已知点D(1, n庇抛物线上，过点A的直线y x 1交抛物线于另一点E若点P在x轴上，以点P、B、D为顶点的三角形与AEBf似，求点P的坐标.(3应(2)的条件下，BDP的外接圆半径等解：(1玲x=0,彳#y=-2，C(Q 2

4、). . ACB=9Q CO,AB,AAOC ACOB,22OC222 .OA- OB=OC; .OB= 4 ，m=4OA 1将R JL QIE% Gft入 =4炉十加-2， a二施物珑的解析式为 g j ：(2) D(l. n)代入7.3 7).过E作团LLt轴于屈 则口),二月亨厅,.二KA斤一41过Z)作 轴干F,则产(1, 0), .BF = DF=3. /.A EAH：.135*90* v ZBA EC(2) m为定值。/BON ZBNO .OBN与AOAB不相似，同理说明在对称轴左边白抛物线上也不存在符合条件的N点.故在抛物线上不存在N点，使得OBN与4OAB相似6、如图所示，将矩

5、形OABCgAE折叠，使点。恰好落在BC上F处，以CF为边作正方形CFGH延长BC至M,使CM= | CE-E0| ,再以CM、CO为边作矩形CMNO. ,*S四边形CFGH、，、_ _试比较EO EC的大小，并说明理由；(2玲m ,请问m是否为定值Sg边形CMNO一 ,，一 一 _1若是，请求出m的值；若不是，请说明理由；(3汪(2)的条件下，若CO= 1, CE=-,3 2Q为AE上一点且QF=抛物线y= mx2+bx+d过C Q两点，请求出此抛物线的解析式. 3(4渔(3)的条件下，若抛物线y= mx2+bx+cW线段AB交于点P,试问在直线BC上是否存在B K为顶点的三角形与4AEF相

6、似若存在，请求直线KP与y轴的交点T的坐标若不存在，请说明理理由如下：由折叠知，EO=EF在R匕EFO43, EF为斜边,EFEC 故EOEC S四邮cfg=CF=E户-EC=eG EC=(EO+EC)(EOEC)=CO (EO-EC)233S四好cmno=CM - CO=|CE-EO| CO=(EO-EC) CO，、“1COE CE 一, 3QF2一 .-.EF=EO=3180 60FEA 60OEA,EAO30.EFQ为等边三角形,、/1 /QF ，cos/ FEC= / 2S四边形CFGH1S四边形CMNO _ 1 _作 QI,EO于 I, EI= EQ23 ”EQ22.IO=-311-

7、，Q点坐标为(3 3抛物线 y=m&bx+ai点 C(Q 1),Q( , 1) , m=1,可求得 b33 , c=13 3，抛物线解析式为yx23x(4)由，AO2 .：2 -当 x 43 时，y (一43)331 -VAB3.P点坐标为(2.31、-).1.BP=132一AO3方法1:若PBKWAEFFf似，而AEgAEO则分情况如下:23时,BK2.34.383.K点坐标为(3 ,1)或(J#99;ytMAO BCN2BK 3时，BK2 32332,3，K点坐标为(4.31)或(0,1)5 .7.1、, 一 .、故直线KP与y轴交点T的坐标为(0,)或(0,)或(0,)或(0,1) 33

8、3方法2:若ABPR与4AEF相似，由(3)得：/BPK=30 或 60 ,过 P作 PR!y 轴于 R,贝U/RTP=60 或 30 当/RTP=30 时，RT 23 . 3 23 ,2.32当/RTP=60 时，RT 、. 3 33751、Ti(0,-), 丁2(0, -), T3(0, 一)，丁4(0,1)33327、如图，二次函数yax bx c ()的图象与x轴交于A、B两点，与轴相交于点.连结AC、BC, A、C两点的坐标分别为人(3,0)、0(0,73),且当x 4和时二次函数的函数值相等.(1)求实数a, b, c的值；(2)若点M、N同时从点出发，均以每秒1个单位长度的速度分

9、别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一 点也随之停止运动.当运动时间为t秒时，连结，将ABMN沿翻折，点恰好落在边上的处，求t的值及点的坐标；(3)在(2)的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点，使得以B, N, Q为项点的三角形与 ABC相似如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由.28、已知：在平面直角坐标系中，抛物线y ax x 3 ()交x轴于a、b两点，交轴于点C,且对称轴为直线x2. (1)求该抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)若点P (0, t)是轴上的一个动点，请进行如下探究：探究一：如图1,设4PAD的面积为S,令亚=1$,当0vt4时，W是否有最大值

10、如果有，求出W的最大值和此时 t的值；如果没有，说明理由；探究二：如图2,是否存在以P、A D为顶点的三角形与RtAOCf似如果存在，求点P的坐标；如果不存在，请说 明理由.DBAO图1x图2解：(1) ;抛物线2ax3 ()的对称轴为直线x y3. D( 2,4).(2)探究一：当0 t 4时，有最大值.1抛物线 y-x2 x 3交x轴于 A、B两点，交轴于点，二. A( 6,0), B(2,0) , C(0,3),4OA 6, OC 3.当0 t4时，作DM y轴于，则DM2, OM 4. P(0, t)，.二 OP t, MPOM OP 4t. SA PADS梯形 OADMSA AOPC

11、1.SAdmp2 (DMOA)gDM1 _ _150App 邢gMP112(2 6) 4 2 61t 2 (4 t) 12 2t 2W t(12 2t)2(t 3)218 ，当时，有最大值，W最大值探究二：存在.分三种情况:当 PDA 90时，作DE，x轴于，则OE2, DE 4,DEA 90 ,AE OA OE6 2 4 DE . DAEADE 45 ,AD 2DEPDE PDAADE 9045 45. ; DM y 轴，OA y 轴,DM / OA，二MDE DEAMDP1MDE RDE 9045 45.PD 2DM242.OC 此时PDOA 3、23,又因为 AOCRDA 90 ,AD

12、4RtA ADP1 s Rt AOC ,OROMRM42 2,P(0,2).当 PDA 90时，存在点，使RtADPis Rt AOC ,此时点的坐标为(0, 2).当P2AD90 时，则P2AO45,，P2AOA672, p-272.cos45OA 6AD 4.2AD P2 AOC OA. F2AD与4AOC不相似，此时点不存在.AD 一 一当 AP3D 90时，以为直径作，则的半径r 2V2 ,2圆心到轴的距离.，与轴相离.不存在点，使 AP3D 90.，综上所述，只存在一点P(0,2)使Rtz ADP与RtzXAOC相仅9、矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图13所示，A、C两点的坐标分别为A(6,0) , 0(0, 3),，3 一直线yx与BC边相交于D点.4(1)求点D的坐标；9(2)右抛物线y ax2 x经过点A，试确定此抛物线的表达式；4(3)设(2)中的抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点P为对称轴上一动点， 以P、O、M为顶点的三角形与AOCD相似，求符合条件的点P的坐标.解：(1)点D的坐标为(4, 3).39(2)抛物线的表达式为y 3x2 9X .84(3)抛物线的对称轴与x轴的交点R符合条件. OA/CB, POM CDO .OP1MDCO 90, RtAFOM sRtCDO .二抛物线的对称轴x 3 , 点P1的坐标为P(3Q).过点O作O