有限元原理(加权余量法和变分法)

1、2021/8/61l第三讲l1.偏微分方程求解有限元法的原理（加权余量法和变分法）解析法应用范围有限，适用于理论求解，但有强烈的物理含义（常系数微分方程）某些复杂问题，很考虑根本找不到解析解2. 数值法工程实际中应用广泛，复杂场域问题，但物理含义不很清楚。任何问题总可以找到数值解（数学方法）222222tJtAA2021/8/62l2.数值求解方法2/41. 基本思想： 以偏微分方程的近似解来代替其真解，只要近似解与真解足够以偏微分方程的近似解来代替其真解，只要近似解与真解足够接近，就可以近似解作为问题的解，并满足足够的精度。接近，就可以近似解作为问题的解，并满足足够的精度。2. 基本方法：1

2、假设一个近似解，该解为一组（形式上）简单函数假设一个近似解，该解为一组（形式上）简单函数 的线性组合的线性组合来表示，线性组合的系数就是一组待定系数来表示，线性组合的系数就是一组待定系数2然后建立一种考虑了微分方程和边界条件的关于真解然后建立一种考虑了微分方程和边界条件的关于真解 和近似解和近似解间误差的目标函数间误差的目标函数 F用适当的算法使得该目标函数最小化用适当的算法使得该目标函数最小化最小化的过程就确定了最小化的过程就确定了待定系数，从而也就得到了问题的近似解。待定系数，从而也就得到了问题的近似解。 i iC尝试函数，基函数，形函数2021/8/63l2.数值求解方法2/4目标函数最

3、小化的目的：一方面，使得近似解最大程度接近真解；目标函数最小化的目的：一方面，使得近似解最大程度接近真解； 另一方面，求得构成近似解的待定系数。另一方面，求得构成近似解的待定系数。数学上，构成目标函数的方法很多，不同的构成方法就形成了不同的数学上，构成目标函数的方法很多，不同的构成方法就形成了不同的数值解法，电磁场中就常见的是：加权余量法和变分法。数值解法，电磁场中就常见的是：加权余量法和变分法。2021/8/64l3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法加权余量法电磁场问题总可以用位函数的偏微分方程和相应的边界条件表述电磁场问题总可以用位函数的偏微分方程和相应的边界条件表述222222tJt

4、AA ) 1(1g)2()2(22ht两个偏微分方程形式相同，故以电位方程的求解过程为例。磁位矢两个偏微分方程形式相同，故以电位方程的求解过程为例。磁位矢量的方程可以分解到各个分量上变为标量方程。量的方程可以分解到各个分量上变为标量方程。2021/8/65在求解场域内，偏微分方程的真解为在求解场域内，偏微分方程的真解为 ，近似解为，近似解为 它由一组简单函数它由一组简单函数 的线性组合表达，表达中有待定系数的线性组合表达，表达中有待定系数 即：即：l3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法加权余量法加权余量法加权余量法 i iC 1niiiC简单函数，一般选用简单形式的函数，一旦选定就是已知的

5、了待定系数是真正的求解目标问题的自由度近似解2021/8/66l3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法加权余量法加权余量法就是一种定义近似解与真解之间误差（即余数），并设加权余量法就是一种定义近似解与真解之间误差（即余数），并设法使其最小的方法。法使其最小的方法。 : 22）（）（上：边界内场域RR加权余量法误差（即余数）的定义：加权余量法误差（即余数）的定义：注意：一般余数并不表示近似解与真解间的代数差（场域内），加权余注意：一般余数并不表示近似解与真解间的代数差（场域内），加权余量法的采用拉普拉斯算子作用后的差别（即余数），来代表近似解量法的采用拉普拉斯算子作用后的差别（即余数），来代表

6、近似解整体接近偏微分方程真解的程度。整体接近偏微分方程真解的程度。问题的自由度2021/8/67l3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法加权余量法当余数小于要求的精度时，就可以认为近似解就是偏微分方程的解。当余数小于要求的精度时，就可以认为近似解就是偏微分方程的解。要减少余数，我们可以通过寻求适当的待定系数来实现。要减少余数，我们可以通过寻求适当的待定系数来实现。为有效表达减小余数的效果，还选取适当的加权函数，以使余数和该加为有效表达减小余数的效果，还选取适当的加权函数，以使余数和该加权函数的积分为权函数的积分为0。“加权余量法加权余量法”的来由。的来由。 ; *jjww设加权函数为：202

7、1/8/68l3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法加权余量法 ,.2 , 1 d d *jRwRwjj，目标函数：加权余数的定义：加权余数的定义：加权函数的选取方法很多：如点重合、子域重合、最小二乘法、迦辽金法。加权函数的选取方法很多：如点重合、子域重合、最小二乘法、迦辽金法。效果较好的、运用较多的是迦辽金法：效果较好的、运用较多的是迦辽金法：jjjww*即：迦辽金法选取尝试函数本身为加权函数即：迦辽金法选取尝试函数本身为加权函数2021/8/69l3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法加权余量法 0 d d )()(趋于则余数最小，令，RjjjRjFRRF由此构建加权量法的目标函数：由

8、此构建加权量法的目标函数：上述过程中，已经将偏微分方程转化为上述过程中，已经将偏微分方程转化为j个代数方程组，便于计算机求解。个代数方程组，便于计算机求解。关于函数的函数，称为：泛函数，或泛函2021/8/610l3. 加权余量法例1例例1.两极电容板内部电场分布问题：两极电容板内部电场分布问题：根据问题特点将根据问题特点将3维问题简化为维问题简化为2维，维，进一步简化为进一步简化为1维。维。该问题是静态电场问题，该问题是静态电场问题，偏微分方程和边界条件：偏微分方程和边界条件：;10; 0002d2021/8/61122112211211 xCxCCCxCCiiiniii加权余量法求解：加权

9、余量法求解：1.选取尝试函数、构造近似解：选取尝试函数、构造近似解：1,2)(i iix2.结合问题，写出余数表达式：结合问题，写出余数表达式：22C R :22l3. 加权余量法例1理论上任意选取，操作中越简单越好 020 )()()(222221122122CxCxCxCiii2021/8/6122.结合问题，写出余数表达式：结合问题，写出余数表达式： ）（）（：Rl3. 加权余量法例1 )xCxC(dx )xCxC( xdxdx0 xx2211221100处：在处：在）（）（221121xCxCxCiii）（ 10 0 00处：在处：在）（）（dxxdxx )dCdC(Rdx R xdx

10、x100022110处：在处：在2021/8/6133. 加权余数表达式：加权余数表达式：2 , 1 d d )(jRRFjjRj，l3. 加权余量法例1010110010021221232212222110221102dC)d(dCd)ddCdC(dC d )xCxC( ( x d )xCxC( ( x d)C( x d Rd RF,jdx |dxx |0 xd11)R( 1得到一个代数方程：时2021/8/6143. 加权余数表达式：加权余数表达式：l3. 加权余量法例1010)32( )10(032 d )10)( ( d )0)( ( d)2( d d ,2223132423132 |

11、x221120 |0 x2211202222)(2dCddCdddCdCdCxCxCxxCxCxCxRRFjdxdxdR又得到一个代数方程：时2021/8/6154. 求解上述两个代数方程组，得到待定系数，从而确定近似解求解上述两个代数方程组，得到待定系数，从而确定近似解l3. 加权余量法例10 /10 21；解得：CdCxdxCxCxCiii10221121近似解：）（加权余量法求解流程：加权余量法求解流程：1.选取尝试函数、构造近似解选取尝试函数、构造近似解2.结合问题，写出余数表达式结合问题，写出余数表达式3. 写出加权余数表达式写出加权余数表达式4. 令各加权余数表达式为令各加权余数表

12、达式为0，得到代数方程组，解之得到待定，得到代数方程组，解之得到待定系数，从而确定近似解系数，从而确定近似解2021/8/616该静态电场问题的真解（解析解：）该静态电场问题的真解（解析解：）l3. 加权余量法例1真解与近似解相同是由于尝试函数选择的刚好，通常是有差别的，如选用三角函数，但求解过程会复杂，可见尝试函数的选取是有技巧的。2021/8/6172021/8/618l4. 加权余量法求解一般化偏微分方程的归纳 )( )(sq 一般化偏微分方程：线性线性微分算子则其余数为：sRqR)()()()()()( 1niiiC 其中：令加权余数为0，构建代数方程：0d )(d )(0d )(d

13、)(1*1*)(sCwqCwswqwFniiijniiijjjRj 2021/8/619l4. 加权余量法求解一般化偏微分方程的归纳由于是线性微分算子，故微分、求和、积分次序可调换,代数方程变形： d d d)(d)(*1*1swqwCwCwjjniiijniiij 0d )(d )(1*1sCwqCwniiijniiij d swd qwCd)(wd)(w*jjniii*jij1有j个代数方程，通常等于待定系数个数2021/8/620l4. 加权余量法求解一般化偏微分方程的归纳代数方程写成矩阵形式：d d d)(d)(*1*swqwCwwjjniiijij系数激励边界条件bFCK系数矩阵nn

14、待定系数矩阵、源矩阵、边界矩阵n1矩阵元素值： d d ddswbqwFwwKjjjjijijji*)()( 虽然元素值还需要积分、微分的求得，还难以借助计算机求解，但至少化为了代数方程组。通过选择合适的加权函数和尝试函数可以大大简化矩阵元素的矩阵方程。有限元方法就是如此2021/8/621l5. 加权余量法的进一步优化（边界条件的处理）22112 hngq适当的选取加权函数，并对加权余数积分进行处理，可使某些边界条件从加权余数的表达式中消失，从而简化矩阵方程及其系数的求解。以有源静电场问题为例（帕松方程）2021/8/622由近似解表述的加权余数为：l5. 加权余量法求解一般化方法的进一步优

15、化 d d RwRwFjjRj*)(注意余数的实质可使上式第二项消失动满足，则第一类边界条件自，使得常常选取）可简化计算但适当的选取（作限制意选，理论上尝试函数可任其中近似解：gCiniii, 1 d d )()(*）（）（ jjww d d d 2112)()()(*hnwgwqwjjj ）（ d d d 2211122)()()(*）（）（）（ nwwwjjj2021/8/623通过尝试函数，简化加权余数后：l5. 加权余量法求解一般化方法的进一步优化njhwnwqwwhnwqwFjjjjjjRj,.,)()(*)(321d d d d d d 22222 上式第一项，由格林第一定律得：

16、d d d d 212nwnwwwjjjj 降了微分阶数，等于降了近似解（尝试函数）的连续性要求，从而扩展了其选择范围2021/8/624代入后：l5. 加权余量法求解一般化方法的进一步优化，则上式被大大简化如选取加权函数：*)(jjjjjjjjjjjjjjjRjwwhwqwwhwnwqwnwnwwhwnwqwwF d d d d d d d d d d d d d 22221222 由于近似解在1类边界上常数，所以此项为0选取特殊加权函数后，两项和为0第二类边界条件也消失了，说明已经自动满足了2021/8/625令加权余数为0即可得到求解原微分方程的一组代数方程：l5. 加权余量法求解一般化

17、方法的进一步优化njhwqwwFjjjRj,.3 , 2 , 10d d d 2)(这里加权函数只有一个了，进一步，用迦辽金法，选加权函数为尝试函数本身 1niiijjCw，且有近似解表达式：d d d 21hqCjjniiij）（2021/8/626l5. 加权余量法求解一般化方法的进一步优化d d d 21hqCjjniiij）（由于是线性微分算子，故微分、求和、积分次序可调换,代数方程变形： d d d 21hqCjjiniijd d d)(d)(*1*swqwCwwjjniiijij对比简化前的代数方程：已经大大简化，关键是边界条件项全部消失，微积分计算也降阶、简化2021/8/627

18、l5. 加权余量法求解一般化方法的进一步优化代数方程写成矩阵形式： d d d 21hqCjjiniij njnjnjnnnjnninijiinjbbbfffccckkkkkkkkkkkk1112121111211 d d d 2hbqfkkjjjjijjiij 对称矩阵，简化计算还有积分（求和），梯度（差分），有限元将作处理小结：简化后1、2类边界条件自动满足； （尝试函数、加权函数选取） 微分降阶，简化计算 对称矩阵，简化计算 根据情况源矩阵、边界矩阵可能为0对拉普拉斯方程和帕松方程问题适合2021/8/628l6. 简化后加权余量法 例2例1中的静电场问题，变为两电极板接地，中间充满电荷

19、。帕松方程2021/8/62934231201xaxaxaxa加权余量法求解：加权余量法求解：1.初选尝试函数、构造近似解：初选尝试函数、构造近似解：4)31,2(i :3210，、xxxxi利用问题，对近似解进行简化，对尝试函数进行优化利用问题，对近似解进行简化，对尝试函数进行优化l6. 简化后加权余量法 例2通过尝试函数的选取，近似解满足1类边界条件，使得1类边界条件在方程中消失324110 00|aaaaxx；由此，尝试函数和近似解优化为：由此，尝试函数和近似解优化为：2021/8/630)()(322312211xxcxxccc 2. 修正尝试函数，以满足修正尝试函数，以满足1类边界条

20、件：类边界条件：)(作好准备、其梯度为：、 3231222132231xxxxxxx l6. 简化后加权余量法 例22021/8/6313.代公式计算矩阵元素代公式计算矩阵元素 （边界矩阵（边界矩阵b为为0）l6. 简化后加权余量法 例22021/8/6324. 封装矩阵：封装矩阵：l6. 简化后加权余量法 例25. 求解矩阵，得近似解：求解矩阵，得近似解：2021/8/633该有源静态电场问题的真解（解析解：）该有源静态电场问题的真解（解析解：）l6. 简化后加权余量法 例2真解与近似解相同是由于尝试函数选择的刚好，通常有差别。如例32021/8/6342021/8/635l7. 简化后加权

21、余量法 求解一般化的微分方程 例3偏微分方程描述的问题如下：212|21 2212 xxdxdxxdxdxdxd| )()( ），（加权余量法求解：加权余量法求解：1.初选尝试函数、构造近似解：初选尝试函数、构造近似解：34231201xaxaxaxa 4)31,2(i 3210，、 xxxxi: 2021/8/636利用问题及其边界条件，对尝试函数进行优化（使近似解满足边界条件）利用问题及其边界条件，对尝试函数进行优化（使近似解满足边界条件）通过尝试函数的选取，近似解满足1类边界条件，使得1类边界条件在方程中消失2243211aaaax | 两个方程，两个独立未知数，消两个方程，两个独立未知

22、数，消a1、a2，重定尝试函数，边界条件自动满足，重定尝试函数，边界条件自动满足，简化求解过程简化求解过程l7. 简化后加权余量法 求解一般化的微分方程 例32124823221432224322 aaaxaxaaxdxdxxx|)(| )( 2021/8/6372. 修正尝试函数，以满足修正尝试函数，以满足1、2类边界条件：类边界条件：)()()()()(111314491111314492212321 xxxCxxCxxxxxxx且近似解为：、 l7. 简化后加权余量法 求解一般化的微分方程 例302102| 021 2212 xxdxdxRxdxdxdxdR| )(:)()( 条件自动满

23、足尝试函数的选取，边界），（余数为：余数为：2021/8/638l7. 简化后加权余量法 求解一般化的微分方程 例32221222124331441 2111314491xxCxCxdxdxdxdRxxxCxxCx )()()()()()(代入： 结合问题，余数的具体表达式为：结合问题，余数的具体表达式为：问题的加权余数（目标泛函）为：问题的加权余数（目标泛函）为： 0 d 24331441 d d 2221 )()()(xxCxCRRFjjjRj 2021/8/6394. j=2,3时得代数方程：时得代数方程：5. 求解矩阵，得近似解：求解矩阵，得近似解：l7. 简化后加权余量法 求解一般化

24、的微分方程 例3 0d 24331441 31 d 24331441 21222121222122 )()()()()()()(xxCxCxxxxCxCFR 0d 24331441 111 d 24331441 212221221222133 )()()()()()()(xxCxCxxxxxCxCFR 2021/8/6405. 求解矩阵，得待定系数和近似解：求解矩阵，得待定系数和近似解：l7. 简化后加权余量法 求解一般化的微分方程 例3)(.)(.)(.11134710311378244913471013782221 xxxxxxCC、 2021/8/641真解（解析解：）真解（解析解：）l

25、7. 简化后加权余量法 求解一般化的微分方程 例32021/8/642l8. 归纳加权余量求解偏微分方程步骤加权余量法求解流程：加权余量法求解流程：1.初步选取尝试函数、构造近似解初步选取尝试函数、构造近似解2.结合问题的边界条件对尝试函数进行修正，以简化求解结合问题的边界条件对尝试函数进行修正，以简化求解3.写出余数表达式写出余数表达式3. 写出加权余数表达式（迦辽金方法选取加权函数）写出加权余数表达式（迦辽金方法选取加权函数）4. 令权余数表达式在各尝试函数下为令权余数表达式在各尝试函数下为0，得到代数方程组，解，得到代数方程组，解之得到待定系数，从而确定近似解之得到待定系数，从而确定近似

26、解2021/8/643l8. 归纳加权余量求解偏微分方程步骤加权余数法求解一般性偏微分方程的方法：方程的近似解被表示为一系列独立的尝试函数的线性组合，其中包括未知的待定系数。通常用迦辽金原理选取加权函数，（即令加权函数等于尝试函数本身），从而完成对加权余数的定义，(尝试函数的选取满足边界条件)通过对加权函数在区域内和在边界上的积分使其平均值为零，也就是说，使近似解与精确解之间的差别在某种指标下达到最小化。如此可以形成一个矩阵形式的代数方程组，求解该矩阵方程可以确定待定系数从而得到偏微分方程的唯一近似解。2021/8/644l9. 变分法简介另外一种求解偏微分方程的一般方法，即变分法。变分法与加权余数法类似，近似解也用一系列线性独立的尝试函数表示包括未知的待定系数。与加权余数法不同的是，变分法用另外的方法来形成求解待定系数的矩阵方程。在变分法中，首先要构成一个近似解的函数，称为泛函。从广义来说，加权余数积分(即平均值)也是一种泛函。然后使该泛函最小化，从而减小近似解的误差。一般说来，要找到一个适合于偏微分方程及边界条件的泛函是一项难度很大的工作。由于前人已做了许多研究工作，已找到了适合于许多常见形式的偏微分方程的泛函。对于电磁场方程来说，偏微分方程常具有拉普拉斯、帕松和赫姆霍兹等形式。变分法