高等数学课件：曲线曲面积分习题课

1、2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系1曲线曲面积分习题课曲线曲面积分习题课2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系2（一）（一）曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分（二）各种积分之间的联系（二）各种积分之间的联系（三）场论初步（三）场论初步 一、主要内容2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系3曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分对面积的对面积的曲面积分曲面积分对坐标的对坐标的曲面积分曲面积分对弧长的对弧长的曲线积分曲线积分对坐标的对坐标的曲线积分曲线积分定义定义计算计算定义定义计算计算联系联系联系联系（一）（一）曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分2007年8月南京航空航天

2、大学 理学院 数学系4 曲曲 线线 积积 分分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分定定义义 niiiiLsfdsyxf10),(lim),( LdyyxQdxyxP),(),(),(),(lim10iiiniiiiyQxP 联联系系dsQPQdyPdxLL)coscos( 计计算算 dtfdsyxfL22,),(三代一定)( dtQPQdyPdxL),(),(二代一定 (与方向有关)2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系5与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件在在单单连连通通开开区区域域D上上),(),(yxQyxP具具有有连连续续的的一一

3、阶阶偏偏导导数数, ,则则以以下下四四个个命命题题成成立立. . LQdyPdxD与路径无关与路径无关内内在在)1( CDCQdyPdx闭曲线闭曲线, 0)2(QdyPdxduyxUD 使使内存在内存在在在),()3(xQyPD ,)4(内内在在等等价价命命题题2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系6 曲曲 面面 积积 分分对面积的曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分定定义义 niiiiisfdszyxf10),(lim),( xyiniiiiSRdxdyzyxR)( ),(lim),(10 联联系系 RdxdyQdzdxPdydz计计 算算一代,二换,三投(与侧无

4、关) 一代,二投,三定向 (与侧有关) dSRQP)coscoscos( dszyxf),( xyDyxdxdyzzyxzyxf221),(, dxdyzyxR),( xyDdxdyyxzyxR),(,2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系7定积分定积分曲线积分曲线积分重积分重积分曲面积分曲面积分计算计算计算计算计算计算Green公式公式Stokes公式公式Guass公式公式（二）（二）各种积分之间的联系各种积分之间的联系2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系8点函数点函数)(,)(lim)(10MfMfdMfnii .)()(,1 badxxfdMfbaR 时时上区间上区间当

5、当.),()(,2 DdyxfdMfDR 时时上区域上区域当当积分概念的联系定积分定积分二重积分二重积分2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系9 dVzyxfdMfR),()(,3 时时上区域上区域当当.),()(,3 dszyxfdMfR 时时上空间曲线上空间曲线当当.),()(,3 SdSzyxfdMfSR 时时上曲面上曲面当当曲面积分曲面积分曲线积分曲线积分三重积分三重积分.),()(,2 LdsyxfdMfLR 时时上平面曲线上平面曲线当当曲线积分曲线积分2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系10计算上的联系)( ,),(),()()(21面元素面元素 ddxdyyxf

6、dyxfbaxyxyD)( ,),(),()()(),(),(2121体元素体元素dVdzzyxfdydxdVzyxfbaxyxyyxzyxz baLdsdxyxyxfdsyxf)( ,1)(,),(2曲曲线元素线元素 baLdxdxxyxfdxyxf)( ,)(,),(投影投影线元素线元素2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系11 xyDyxdxdyzzyxzyxfdSzyxf221),(,),( xyDdxdyyxzyxfdxdyzyxR),(,),(其中其中dSRQPdxdyRQdzdxPdydz)coscoscos( dsQPQdyPdxLL)coscos( )(曲曲面元素面元

7、素dS)(投影投影面元素面元素dxdy2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系12理论上的联系1.定积分与不定积分的联系定积分与不定积分的联系)()()()()(xfxFaFbFdxxfba 牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式2.二重积分与曲线积分的联系二重积分与曲线积分的联系)()(的正向的正向沿沿LQdyPdxdxdyyPxQLD 格林公式格林公式2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系133.三重积分与曲面积分的联系三重积分与曲面积分的联系 RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(高斯公式高斯公式4.曲面积分与曲线积分的联系曲面积分与曲线积分的联系 dxdyyPxQ

8、dzdxxRzPdydzzQyR)()()( RdzQdyPdx斯托克斯公式斯托克斯公式2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系14 DLdxdykArotsdA)( DLdxdyAdivdsnA)(Green公式,Guass公式,Stokes公式之间的关系 dSnArotdSA)( RQPzyxdxdydzdxdydzRdzQdyPdx dvAdivdsnA)(dvzRyQxPRdxdyQdzdxPdydz)( DLdxdyyPxQQdyPdx)( DLdxdyyQxPPdyQdx)(或推广推广为平面向量场为平面向量场)(MA为为空空间间向向量量场场)(MA2007年8月南京航空航天大

9、学 理学院 数学系15梯度梯度kzujyuixugradu 通量通量旋度旋度环流量环流量zRyQxPAdiv RdxdyQdzdxPdydzkyPxQjxRzPizQyRArot)()()( RdzQdyPdx散度散度（三）（三）场论初步场论初步2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系16例例 1 1 计算计算 LdyyxdxxyxI)()2(422, ,其中其中L为由点为由点)0 , 0(O到点到点)1 , 1(A的曲线的曲线xy2sin . .思路思路: LQdyPdxIxQyP xQyP 0 LQdyPdxI ),(),(00yxyxQdyPdxI闭合闭合非闭非闭闭合闭合 Ddxd

10、yyPxQI)(非闭非闭补充曲线或用公式补充曲线或用公式二、典型例题2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系17解解xxyxyyP2)2(2 知知xyxxxQ2)(42 ,xQyP 即即 104102)1(dyydxx故原式故原式.1523 xyo11A dyyxdxxyxI)()2(422由由2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系18例例 2 2 计计算算 LxxdymyedxmyyeI)cos()sin(, ,其其中中L为为由由点点)0 ,(a到到点点)0 , 0(的的上上半半圆圆周周0,22 yaxyx. .解解myemyyeyyPxx cos)sin(yemyexxQxx

11、cos)cos( xQyP 即即( (如下图如下图) )2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系19xyo)0 ,(aAMdxdyyPxQDAMOA )( Ddxdym,82am 0)(00 medxxaAO, 0 082 am.82am AMOAAOAOAOLI AMOAAOI2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系20曲面面积的计算法曲面面积的计算法SDxy),(yxfz xyoz dSS xyDyxdxdyzz221dsyxfSBAL ),(),(dxyyxfba 21),(zxoy),(yxfz sLABab2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系21曲顶柱体的表面积

12、曲顶柱体的表面积 LDyxdsyxfdffS),()11(22 xzyo),(yxfz LD如图曲顶柱体，如图曲顶柱体，2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系22例例 3 3 求求柱柱面面13232 yx在在球球面面1222 zyx内内的的侧侧面面积积. .解解由对称性由对称性 LLdsyxzdsS2218, 1:3232 yxL)20(,sin,cos33 ttytx参数方程为参数方程为2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系23,cossin3)()(22tdttdtyxdstt tdttttScossin3sincos182066 tdttttcossincossin324

13、2022 2022cossin324tdtt.233 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系24在第四卦限部分的上侧在第四卦限部分的上侧为平面为平面为连续函数为连续函数其中其中计算计算1,),(,),(),(2),( zyxzyxfdxdyzzyxfdzdxyzyxfdydzxzyxfI例例xyoz111 解解利用两类曲面积分之间的关系利用两类曲面积分之间的关系,1 , 1, 1 n的的法法向向量量为为.31cos,31cos,31cos 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系25dSzzyxfyzyxfxzyxfI),(31),(231),(31 dSzyx)(31 xyDd

14、xdy3131.21 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系26向量点积法向量点积法 ,1,),(:yxffyxfz 法向量为法向量为设设 RdxdyQdzdxPdydzIdxdyffRQPyx1 , dSnA0, dxdydzdxdydzRQP.1,dxdyffRQPxoyyx 面投影面投影在在将将2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系27.) 1 , 1 , 1 (, 0,1:同向法线方向与向量计算zyxzyxydzdxxdydzzdxdy例例52007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系28解解22101xzyyxyz 轴轴旋旋转转面面方方程程为为绕绕( (如下图如下图

15、) )2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系29xyzo132 * *I且有且有dvzRyQxP)(* dvyyy)4418(yzdxdydzdxyxdydzyI4)1(2)18(2 欲求欲求 dv xzDxzdydxdz3122 3120202dydd2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系30 203)2(2d,2 *2)31(2dzdx,32 )32(2 I故故.34 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系31一、一、 选择题选择题: :1 1、 设设L为为230,0 yxx, ,则则 Lds4的值为的值为( ).( ). (A) (A)04x， (B) (B),6

16、 (C) (C)06x. .2 2、 设设L为直线为直线0yy 上从点上从点),0(0yA到点到点),3(0yB的的有向直线段有向直线段, ,则则 Ldy2=( ).=( ). (A (A)6; (B) )6; (B) 06y; (C)0.; (C)0.3 3、 若若L是上半椭圆是上半椭圆 ,sin,costbytax取顺时针方向取顺时针方向, ,则则 Lxdyydx的值为的值为( ).( ). (A (A) )0 0; (B); (B)ab2 ; (C); (C)ab . .测验题测验题2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系324 4、设、设),(,),(yxQyxP在单连通区域在单

17、连通区域D内有一阶连续内有一阶连续 偏导数偏导数, ,则在则在D内与内与 LQdyPdx路径无关的条件路径无关的条件 DyxyPxQ ),(,是是( ).( ). (A) (A)充分条件充分条件; (B); (B)必要条件必要条件; (C); (C)充要条件充要条件. .5 5、设、设 为球面为球面1222 zyx, ,1 为其上半球面为其上半球面, ,则则 ( ) ( )式正确式正确. . (A) (A) 12zdszds; ; (B) (B) 12zdxdyzdxdy; ; (C) (C) 1222dxdyzdxdyz. .2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系336 6、若、若

18、为为)(222yxz 在在xoy面上方部分的曲面面上方部分的曲面 , , 则则 ds等于等于( ).( ). (A) (A) rrdrrd022041 ;(B);(B) 2022041rdrrd ; ; (C)(C) 2022041rdrrd . .7 7、若、若 为球面为球面2222Rzyx 的外侧的外侧, ,则则 zdxdyyx22等于等于( ).( ). (A) (A) xyDdxdyyxRyx22222; ; (B) (B) 2 2 xyDdxdyyxRyx22222; ; (C) 0(C) 0 . .2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系348 8、曲面积分、曲面积分 dxd

19、yz2在数值上等于在数值上等于( ).( ).(A)(A) 向量向量iz2穿过曲面穿过曲面 的流量；的流量；(B)(B) 面密度为面密度为2z的曲面的曲面 的质量；的质量；(C)(C) 向量向量kz2穿过曲面穿过曲面 的流量的流量 . .9 9、设、设 是球面是球面2222Rzyx 的外侧的外侧, ,xyD是是xoy面面 上的圆域上的圆域222Ryx , ,下述等式正确的是下述等式正确的是( ).( ). (A) (A) xyDdxdyyxRyxzdsyx2222222； (B) (B) xyDdxdyyxdxdyyx)()(2222； (C) (C) xyDdxdyyxRzdxdy2222.

20、 .2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系351010、若、若 是空间区域是空间区域 的外表面的外表面, ,下述计算中运用奥下述计算中运用奥- -高高 公式正确的是公式正确的是( ).( ). (A) (A) 外侧外侧dxdyyzdydzx)2(2 = = dxdydzx)22(； (B) (B) 外侧外侧zdxdyydzdxxdydzyzx232)( = = dxdydzxx)123(22； (C) (C) 内侧内侧dxdyyzdydzx)2(2 = = dxdydzx)12(. .2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系36二、计算下列各题二、计算下列各题: :1 1、求、求

21、 zds, ,其中其中 为曲线为曲线 ,sin,costzttyttx)0(0tt ；2 2、求、求 Lxxdyyedxyye)2cos()2sin(, ,其中其中L为上为上 半圆周半圆周222)(ayax , ,0 y, ,沿逆时针方向沿逆时针方向 . .三、计算下列各题三、计算下列各题: :1 1、求、求 222zyxds其中其中 是界于平面是界于平面Hzz 及及0 之间的圆柱面之间的圆柱面222Ryx ；2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系372 2、 求求 dxdyyxdzdxxzdydzzy)()()(222， 其中其中 为锥面为锥面)0(22hzyxz 的外侧；的外侧；3 3、 3222)(zyxzdxdyydzdxxdydz其中其中 为曲面为曲面9)1(16)2(5122 yxz)0( z的上侧的上侧 . .四、证明四、证明: :22